Dualidad coherente

Generalizaciones de la dualidad de Serre en matemáticas

En matemáticas, la dualidad coherente es cualquiera de una serie de generalizaciones de la dualidad de Serre , que se aplican a haces coherentes , en geometría algebraica y teoría de variedades complejas , así como algunos aspectos del álgebra conmutativa que son parte de la teoría "local".

Las raíces históricas de la teoría se encuentran en la idea del sistema lineal adjunto de un sistema lineal de divisores en la geometría algebraica clásica. Esto fue reexpresado, con el advenimiento de la teoría de haces , de una manera que hizo más evidente una analogía con la dualidad de Poincaré . Luego, de acuerdo con un principio general, el punto de vista relativo de Grothendieck , la teoría de Jean-Pierre Serre se extendió a un morfismo propio ; la dualidad de Serre se recuperó como el caso del morfismo de una variedad proyectiva no singular (o variedad completa ) a un punto. La teoría resultante ahora se llama a veces dualidad de Serre-Grothendieck-Verdier , y es una herramienta básica en geometría algebraica. Un tratamiento de esta teoría, Residues and Duality (1966) de Robin Hartshorne , se convirtió en una referencia. Un derivado concreto fue el residuo de Grothendieck.

Para ir más allá de los morfismos propios, como en el caso de las versiones de la dualidad de Poincaré que no son para variedades cerradas , se requiere alguna versión del concepto de soporte compacto . Esto se abordó en SGA2 en términos de cohomología local y dualidad local de Grothendieck ; y posteriormente. La dualidad de Greenlees-May, formulada por primera vez en 1976 por Ralf Strebel y en 1978 por Eben Matlis , es parte de la consideración continua de esta área.

Punto de vista del funtor adjunto

Si bien la dualidad de Serre utiliza un fibrado lineal o un haz invertible como un haz dualizante , la teoría general (resulta) no puede ser tan simple. (Más precisamente, puede, pero al costo de imponer la condición del anillo de Gorenstein ). En un giro característico, Grothendieck reformuló la dualidad coherente general como la existencia de un funtor adjunto derecho , llamado funtor de imagen inversa retorcida o excepcional , a una imagen directa superior con funtor de soporte compacto . ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$

Las imágenes directas superiores son una forma gavillada de cohomología de gavillas en este caso con soporte propio (compacto); se agrupan en un único funtor mediante la formulación de categoría derivada del álgebra homológica (introducida con este caso en mente). Si es propio, entonces es un adjunto derecho del funtor de imagen inversa . El teorema de existencia para la imagen inversa torcida es el nombre dado a la prueba de la existencia de lo que sería el counidad para la comonada de la adjuntación buscada, es decir, una transformación natural . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf_{!}=Rf_{\ast }}$ ${\displaystyle f^{\ast }}$

${\displaystyle Rf_{!}f^{!}\rightarrow id}$,

que se denota por (Hartshorne) o (Verdier). Es el aspecto de la teoría más cercano al significado clásico, como sugiere la notación, que la dualidad se define por integración. ${\displaystyle Tr_{f}}$ ${\displaystyle \int _{f}}$

Para ser más precisos, existe como un funtor exacto de una categoría derivada de haces cuasi-coherentes en , a la categoría análoga en , siempre que ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

es un morfismo propio o cuasi proyectivo de esquemas noetherianos, de dimensión finita de Krull . ^[1] De aquí se puede derivar el resto de la teoría: los complejos dualizantes se retraen mediante , el símbolo del residuo de Grothendieck, el haz dualizante en el caso de Cohen-Macaulay . ${\displaystyle f^{!}}$

Para obtener un enunciado en un lenguaje más clásico, pero aún más amplio que la dualidad de Serre, Hartshorne ( Geometría Algebraica ) utiliza el funtor Ext de haces; este es una especie de trampolín hacia la categoría derivada.

El enunciado clásico de la dualidad de Grothendieck para un morfismo proyectivo o propio de esquemas noetherianos de dimensión finita, encontrado en Hartshorne ( Residues and duality ) es el siguiente cuasi-isomorfismo ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle Rf_{\ast }RHom_{X}(F^{\bullet },f^{!}G^{\bullet })\to RHom_{Y}(Rf_{\ast }F^{\bullet },G^{\bullet })}$

para un complejo acotado por encima de módulos con cohomología cuasi coherente y un complejo acotado por debajo de módulos con cohomología coherente. Aquí los ' son haces de homomorfismos. ${\displaystyle F^{\bullet }}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle G^{\bullet }}$ ${\displaystyle O_{Y}}$ ${\displaystyle Hom}$

Construcción de laF!pseudofunctor que utiliza complejos dualizantes rígidos

A lo largo de los años, han surgido varios enfoques para construir el pseudofunctor. Un enfoque exitoso bastante reciente se basa en la noción de un complejo dualizante rígido. Esta noción fue definida por primera vez por Van den Bergh en un contexto no conmutativo. ^[2] La construcción se basa en una variante de la cohomología de Hochschild derivada (cohomología de Shukla): Sea un anillo conmutativo y sea un álgebra conmutativa. Hay un functor que toma un complejo de cocadena para un objeto en la categoría derivada sobre . ^{[3] [4]} ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k-}$ ${\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}$ ${\displaystyle A}$

Suponiendo que es noetheriano, un complejo dualizante rígido sobre relativo a es por definición un par donde es un complejo dualizante sobre el cual tiene dimensión plana finita sobre , y donde es un isomorfismo en la categoría derivada . Si existe un complejo dualizante rígido de este tipo, entonces es único en un sentido fuerte. ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (R,\rho )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)}$ ${\displaystyle D(A)}$

Suponiendo que es una localización de un álgebra de tipo finito, la existencia de un complejo dualizante rígido sobre relativo a fue probada por primera vez por Yekutieli y Zhang ^[5] asumiendo que es un anillo noetheriano regular de dimensión Krull finita, y por Avramov , Iyengar y Lipman ^[6] asumiendo que es un anillo de Gorenstein de dimensión Krull finita y es de dimensión plana finita sobre . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

Si es un esquema de tipo finito sobre , se pueden pegar los complejos dualizantes rígidos que tienen sus piezas afines, ^[7] y obtener un complejo dualizante rígido . Una vez que se establece una existencia global de un complejo dualizante rígido, dado un mapa de esquemas sobre , se puede definir , donde para un esquema , establecemos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{X}:=RHom_{{\mathcal {O}}_{X}}(-,R_{X})}$

Ejemplos complejos de dualización

Complejo dualizante para una variedad proyectiva

El complejo dualizante para una variedad proyectiva viene dado por el complejo ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{n}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{n}}[+n])}$

^[8]

Plano que interseca una recta

Consideremos la variedad proyectiva

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x)(y,z)}}\right)={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,xz)}}\right)}$

Podemos calcular utilizando una resolución por haces libres localmente. Esto viene dado por la ecuación compleja ${\displaystyle \mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{3}}[+3])}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\bullet }\to {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z\\-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy&xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

Ya que tenemos eso ${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)}$

${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet },{\mathcal {O}}(-4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O}}(4)[-3],{\mathcal {O}})}$

Este es el complejo

${\displaystyle [{\mathcal {O}}(-4){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy\\xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z&-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-1)][-3]}$

Véase también

• La dualidad de Verdier

Notas

1. Verdier 1969, Amnon Neeman encontró un enfoque elegante y más general al utilizar métodos de la topología algebraica, en particular la representabilidad de Brown (véase Neeman 1996).
2. van den Bergh, Michel (septiembre de 1997). "Teoremas de existencia para complejos dualizantes sobre anillos filtrados y graduados no conmutativos". Journal of Algebra . 195 (2): 662–679. doi : 10.1006/jabr.1997.7052 .
3. Yekutieli, Amnon (2016). "La operación de cuadratura para anillos DG conmutativos". Journal of Algebra . 449 : 50–107. arXiv : 1412.4229 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.09.038 .
4. Avramov, Luchezar L.; Iyengar, Srikanth B.; Lipman, Joseph; Nayak, Suresh (enero de 2010). "Reducción de funtores de Hochschild derivados sobre álgebras y esquemas conmutativos". Avances en Matemáticas . 223 (2): 735–772. arXiv : 0904.4004 . doi : 10.1016/j.aim.2009.09.002 . S2CID  15218584.
5. Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (31 de mayo de 2008). "Complejos dualizantes rígidos sobre anillos conmutativos". Álgebras y teoría de la representación . 12 (1): 19–52. arXiv : math/0601654 . doi :10.1007/s10468-008-9102-9. S2CID  13597155.
6. Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (14 de enero de 2010). "Reflexividad y rigidez para complejos, I: Anillos conmutativos". Álgebra y teoría de números . 4 (1): 47–86. arXiv : 0904.4695 . doi :10.2140/ant.2010.4.47. S2CID  18255441.
7. Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (10 de septiembre de 2011). "Reflexividad y rigidez para complejos, II: Esquemas". Álgebra y teoría de números . 5 (3): 379–429. arXiv : 1001.3450 . doi :10.2140/ant.2011.5.379. S2CID  21639634.
8. Kovacs, Sandor. "Singularidades de variedades estables" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de agosto de 2017.

Referencias

• Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Functores derivados de completitud I -ádica y homología local", Journal of Algebra , 149 (2): 438–453, doi : 10.1016/0021-8693(92)90026-I , ISSN  0021-8693, MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Residuos y dualidad , Lecture Notes in Mathematics 20 , vol. 20, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 20–48, doi :10.1007/BFb0080482, ISBN 978-3-540-03603-6
• Neeman, Amnon (1996), "El teorema de dualidad de Grothendieck a través de las técnicas de Bousfield y la representabilidad de Brown", Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347, MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Cambio de base para la imagen inversa torcida de haces coherentes", Geometría algebraica (Coloquio internacional, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , págs. 393–408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, Un enfoque algebraico para el símbolo de residuo de Grothendieck (PDF)