Gavilla dualizante

Concepto de geometría algebraica

En geometría algebraica, el haz dualizante sobre un esquema propio X de dimensión n sobre un cuerpo k es un haz coherente junto con una función lineal ${\displaystyle \omega _{X}}$

${\displaystyle t_{X}:\operatorname {H} ^{n}(X,\omega _{X})\to k}$

que induce un isomorfismo natural de los espacios vectoriales

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(F,\omega _{X})\simeq \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi }$

para cada haz coherente F en X (el superíndice * se refiere a un espacio vectorial dual ). ^[1] El funcional lineal se denomina morfismo de traza . ${\displaystyle t_{X}}$

Un par , si existe, es único salvo que se produzca un isomorfismo natural. De hecho, en el lenguaje de la teoría de categorías , es un objeto que representa el funtor contravariante de la categoría de haces coherentes en X a la categoría de espacios vectoriales k . ${\displaystyle (\omega _{X},t_{X})}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle F\mapsto \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*}}$

Para una variedad proyectiva normal X , el haz dualizante existe y es, de hecho, el haz canónico : donde es un divisor canónico . De manera más general, el haz dualizante existe para cualquier esquema proyectivo. ${\displaystyle \omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(K_{X})}$ ${\displaystyle K_{X}}$

Existe la siguiente variante del teorema de dualidad de Serre : para un esquema proyectivo X de dimensión pura n y un haz de Cohen-Macaulay F sobre X tal que es de dimensión pura n , existe un isomorfismo natural ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Supp} (F)}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)\simeq \operatorname {H} ^{n-i}(X,\operatorname {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}}$.

En particular, si X en sí mismo es un esquema de Cohen-Macaulay , entonces la dualidad anterior se cumple para cualquier haz localmente libre.

Haz dualizante relativo

Dado un morfismo finitamente presentado adecuado de esquemas , (Kleiman 1980) define el haz dualizante relativo o como ^[3] el haz tal que para cada subconjunto abierto y un haz cuasi-coherente en , existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$ ${\displaystyle \omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle U\subset Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (f|_{U})^{!}F=\omega _{f}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}F}$,

que es funcional y conmuta con restricciones abiertas. ${\displaystyle F}$

Ejemplo : ^[4] Si es un morfismo de intersección completo local entre esquemas de tipo finito sobre un cuerpo, entonces (por definición) cada punto de tiene un vecindario abierto y una factorización , una incrustación regular de codimensión seguida de un morfismo suave de dimensión relativa . Entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f|_{U}:U{\overset {i}{\to }}Z{\overset {\pi }{\to }}Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega _{f}|_{U}\simeq \wedge ^{r}i^{*}\Omega _{\pi }^{1}\otimes \wedge ^{k}N_{U/Z}}$

donde es el haz de diferenciales de Kähler relativos y es el haz normal a . ${\displaystyle \Omega _{\pi }^{1}}$ ${\displaystyle N_{U/Z}}$ ${\displaystyle i}$

Ejemplos

Haz dualizante de una curva nodal

Para una curva suave C , su haz dualizante puede ser dado por el haz canónico . ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{1}}$

Para una curva nodal C con un nodo p , podemos considerar la normalización con dos puntos x , y identificados. Sea el haz de 1-formas racionales en con posibles polos simples en x e y , y sea el subhaz que consiste en 1-formas racionales con la suma de residuos en x e y igual a cero. Entonces la imagen directa define un haz dualizante para la curva nodal C . La construcción se puede generalizar fácilmente a curvas nodales con múltiples nodos. ${\displaystyle \pi :{\tilde {C}}\to C}$ ${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$ ${\displaystyle \pi _{*}\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$

Esto se utiliza en la construcción del fibrado de Hodge en el espacio de módulos compactificado de curvas : nos permite extender el haz canónico relativo sobre el límite que parametriza las curvas nodales. El fibrado de Hodge se define entonces como la imagen directa de un haz dualizante relativo.

Haz dualizante de esquemas proyectivos

Como se mencionó anteriormente, el haz dualizante existe para todos los esquemas proyectivos. Para X, un subesquema cerrado de P ⁿ de codimensión r , su haz dualizante puede darse como . En otras palabras, se utiliza el haz dualizante en el entorno P ⁿ para construir el haz dualizante en X . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{\mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})}$

Véase también

• dualidad coherente
• gavilla reflexiva
• Anillo de Gorenstein
• Módulo dualizador

Nota

1. Hartshorne 1977, Cap. III, § 7.
2. Kollár y Mori 1998, teorema 5.71.
3. Kleiman 1980, Definición 6
4. Arbarello, Cornalba y Griffiths 2011, Cap. X., cerca del final del § 2.

Referencias

• Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, Pensilvania (2011). Geometría de Curvas Algebraicas . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 268.doi : 10.1007 /978-3-540-69392-5. ISBN 978-3-540-42688-2.Sr. 2807457  .
• Kleiman, Steven L. (1980). "Dualidad relativa para haces cuasi-coherentes" (PDF) . Compositio Mathematica . 41 (1): 39–60. MR  0578050.
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63277-5, Sr.  1658959
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157

Enlaces externos

• Vakil, Ravi. "FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA ALGEBRAICA CLASES 53 Y 54" (PDF) . Matemáticas 216: Fundamentos de geometría algebraica 2005-06 .
• Haz dualizante relativo (referencia, comportamiento)