Functor de imagen inversa excepcional

En matemáticas , más específicamente en la teoría de haces , una rama de la topología y la geometría algebraica , el excepcional funtor imagen inverso es el cuarto y más sofisticado de una serie de funtores imagen para haces . Es necesario para expresar la dualidad de Verdier en su forma más general.

Definición

Sea f : X → Y una función continua de espacios topológicos o un morfismo de esquemas . Entonces la imagen inversa excepcional es un funtor

Rf ^!: D( Y ) → D( X )

donde D(–) denota la categoría derivada de haces de grupos o módulos abelianos sobre un anillo fijo.

Se define como el adjunto derecho del funtor total derivado R f _! de la imagen directa con soporte compacto . Su existencia se desprende de ciertas propiedades de R f _! y teoremas generales sobre la existencia de funtores adjuntos, como lo hace la unicidad.

La notación R f ^! es un abuso de notación en la medida en que en general no existe ningún funtor f ^! cuyo funtor derivado sería R f ^! .

Ejemplos y propiedades

• Si f : X → Y es una inmersión de un subespacio localmente cerrado , entonces es posible definir

f ^! ( F ) := f ^∗ G ,

donde G es el subhaz de F cuyas secciones en algún subconjunto abierto U de Y son las secciones s ∈ F ( U ) cuyo soporte está contenido en X . El funtor f ^! es exacto a la izquierda , y el R f ^! anterior , cuya existencia está garantizada por un sinsentido abstracto , es de hecho el funtor derivado de este f ^! . Además f ^! también es adjunto derecho a f ! .

• De manera un poco más general, una afirmación similar se aplica a cualquier morfismo cuasi-finito, como un morfismo étale .
• Si f es una inmersión abierta , la imagen inversa excepcional es igual a la imagen inversa habitual .

Dualidad del funtor de imagen inversa excepcional

Sea una variedad de dimensión suave y sea la función única que asigna todo a un punto. Para un anillo , se encuentra que es el haz de orientación desplazada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow *}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle f^{!}\Lambda =\omega _{X,\Lambda }[d]}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Por otra parte, sea una variedad suave de dimensión . Si denota el morfismo de estructura, entonces es el haz canónico desplazado en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle f^{!}k\cong \omega _{X}[d]}$ ${\displaystyle X}$

Además, sea una variedad suave de dimensión y un primo invertible en . Entonces donde denota el giro de Tate . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }\cong \mathbb {Q} _{\ell }(d)[2d]}$ ${\displaystyle (d)}$

Recordando la definición de la cohomología con soporte compacto como empuje hacia adelante de chillido inferior y notando que debajo del último significa el haz constante en y el resto significa que en , y ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle f:X\to *}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}(X)^{*}\cong \operatorname {Hom} \left(f_{!}f^{*}\mathbb {Q} _{\ell }[n],\mathbb {Q} _{\ell }\right)\cong \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Q} _{\ell },f_{*}f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }[-n]\right),}$

El cálculo anterior proporciona la dualidad de Poincaré -ádica . ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}\left(X;\mathbb {Q} _{\ell }\right)^{*}\cong \mathrm {H} ^{2d-n}(X;\mathbb {Q} (d))}$

de la aplicación repetida de la condición de adjunción.

Referencias

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, Sr.  0842190trata la configuración topológica
• Artín, Michael (1972). Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 305. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.vi+640. doi :10.1007/BFb0070714. ISBN 978-3-540-06118-2. trata el caso de las gavillas de estrellas en los esquemas. Véase Exposé XVIII, sección 3.
• Gallauer, Martin, Introducción a los seis formalismos functores (PDF) , pp.10-11da las declaraciones de dualidad.