Teorema de De Branges

En análisis complejo , el teorema de de Branges , o conjetura de Bieberbach , es un teorema que da una condición necesaria sobre una función holomorfa para que pueda mapear el disco unitario abierto del plano complejo de manera inyectiva al plano complejo. Fue planteado por Ludwig Bieberbach  (1916) y finalmente demostrado por Louis de Branges  (1985).

La afirmación se refiere a los coeficientes de Taylor de una función univalente , es decir, una función holomorfa uno a uno que mapea el disco unitario en el plano complejo, normalizado como siempre es posible para que y . Es decir, consideramos una función definida en el disco unitario abierto que es holomorfa e inyectiva ( univalente ) con series de Taylor de la forma ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}$

Estas funciones se denominan Schlicht . El teorema establece entonces que

${\displaystyle |a_{n}|\leq n\quad {\text{for all }}n\geq 2.}$

La función de Koebe (ver más abajo) es una función para la cual para todos y es schlicht, por lo que no podemos encontrar un límite más estricto para el valor absoluto del coeficiente ésimo. ${\displaystyle a_{n}=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

funciones de Schlicht

Las normalizaciones

${\displaystyle a_{0}=0\ {\text{and}}\ a_{1}=1}$

Significa que

${\displaystyle f(0)=0\ {\text{and}}\ f'(0)=1.}$

Esto siempre se puede obtener mediante una transformación afín : comenzando con una función holomorfa inyectiva arbitraria definida en el disco unitario abierto y configurando ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}$

Estas funciones son de interés porque aparecen en el teorema de mapeo de Riemann . ${\displaystyle g}$

Una función de Schlicht se define como una función analítica que es uno a uno y satisface y . Una familia de funciones de Schlicht son las funciones de Koebe rotadas. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

con un número complejo de valor absoluto . Si es una función de Schlicht y para algunos , entonces es una función de Koebe rotada. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |a_{n}|=n}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f}$

La condición del teorema de de Branges no es suficiente para demostrar que la función es Schlicht, ya que la función

${\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}$

muestra: es holomorfo en el disco unitario y satisface para todos , pero no es inyectivo desde . ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-1/2+z)=f(-1/2-z)}$

Historia

Koepf (2007) ofrece un estudio de la historia.

Bieberbach (1916) demostró y planteó la conjetura de que . Löwner (1917) y Nevanlinna (1921) demostraron de forma independiente la conjetura de las funciones estelares . Luego lo demostró Charles Loewner (Löwner (1923)) , utilizando la ecuación de Löwner . Su trabajo fue utilizado en la mayoría de los intentos posteriores y también se aplica en la teoría de la evolución de Schramm-Loewner . ${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle |a_{3}|\leq 3}$

Littlewood (1925, teorema 20) demostró que para todos , mostrando que la conjetura de Bieberbach es verdadera hasta un factor de Varios autores redujeron posteriormente la constante en la desigualdad siguiente . ${\displaystyle |a_{n}|\leq en}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e=2.718\ldots }$ ${\displaystyle e}$

Si es una función de Schlicht, entonces es una función de Schlicht impar. Paley y Littlewood  (1932) demostraron que sus coeficientes de Taylor satisfacen para todos . Conjeturaron que esto puede sustituirse por una generalización natural de la conjetura de Bieberbach. La conjetura de Littlewood-Paley implica fácilmente la conjetura de Bieberbach utilizando la desigualdad de Cauchy, pero pronto fue refutada por Fekete y Szegő (1933), quienes demostraron que existe una función de Schlicht impar con , y que este es el valor máximo posible de . Isaak Milin demostró más tarde que puede ser reemplazado por , y Hayman demostró que los números tienen un límite menor que si no es una función de Koebe (para la cual son todos ). Entonces, el límite siempre es menor o igual que , lo que significa que la conjetura de Littlewood y Paley es cierta para todos los coeficientes excepto para un número finito. Robertson (1936) encontró una forma más débil de la conjetura de Littlewood y Paley. ${\displaystyle f(z)=z+\cdots }$ ${\displaystyle \varphi (z)=z(f(z^{2})/z^{2})^{1/2}}$ ${\displaystyle b_{k}\leq 14}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b_{5}=1/2+\exp(-2/3)=1.013\ldots }$ ${\displaystyle b_{5}}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 1.14}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b_{2k+1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$

La conjetura de Robertson establece que si

${\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }$

es una función de Schlicht impar en el disco unitario con then para todos los números enteros positivos , ${\displaystyle b_{1}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n.}$

Robertson observó que su conjetura todavía es lo suficientemente fuerte como para implicar la conjetura de Bieberbach y la demostró . Esta conjetura introdujo la idea clave de acotar varias funciones cuadráticas de los coeficientes en lugar de los coeficientes mismos, lo que equivale a acotar normas de elementos en ciertos espacios de Hilbert de funciones de Schlicht. ${\displaystyle n=3}$

Hubo varias pruebas de la conjetura de Bieberbach para ciertos valores más altos de , en particular Garabedian y Schiffer (1955) probaron , Ozawa (1969) y Pederson (1968) probaron , y Pederson y Schiffer (1972) probaron . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |a_{4}|\leq 4}$ ${\displaystyle |a_{6}|\leq 6}$ ${\displaystyle |a_{5}|\leq 5}$

Hayman (1955) demostró que el límite de existe y tiene un valor absoluto menor que a menos que sea una función de Koebe. En particular, esto demostró que para cualquiera puede haber como máximo un número finito de excepciones a la conjetura de Bieberbach. ${\displaystyle a_{n}/n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La conjetura de Milin establece que para cada función de Schlicht en el disco unitario, y para todos los números enteros positivos , ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0}$

donde los coeficientes logarítmicos de están dados por ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}$

Milin (1977) demostró, utilizando la desigualdad de Lebedev-Milin , que la conjetura de Milin (posteriormente demostrada por De Branges) implica la conjetura de Robertson y, por tanto, la conjetura de Bieberbach.

Finalmente de Branges (1987) demostró para todos . ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle n}$

La prueba de De Branges

La prueba utiliza un tipo de espacio de Hilbert de funciones completas . El estudio de estos espacios se convirtió en un subcampo de análisis complejo y los espacios pasaron a denominarse espacios de De Branges . De Branges demostró la conjetura más fuerte de Milin (Milin 1977) sobre coeficientes logarítmicos. Ya se sabía que esto implicaba la conjetura de Robertson (Robertson 1936) sobre funciones univalentes impares, que a su vez implicaba la conjetura de Bieberbach sobre funciones de Schlicht (Bieberbach 1916). Su prueba utiliza la ecuación de Loewner , la desigualdad de Askey-Gasper sobre polinomios de Jacobi y la desigualdad de Lebedev-Milin sobre series de potencias exponenciadas.

De Branges redujo la conjetura a algunas desigualdades para los polinomios de Jacobi y verificó las primeras a mano. Walter Gautschi verificó más de estas desigualdades por computadora para De Branges (probando la conjetura de Bieberbach para los primeros 30 coeficientes aproximadamente) y luego preguntó a Richard Askey si conocía alguna desigualdad similar. Askey señaló que Askey y Gasper (1976) habían demostrado las desigualdades necesarias ocho años antes, lo que permitió a De Branges completar su demostración. La primera versión era muy larga y tenía algunos errores menores que causaron cierto escepticismo al respecto, pero fueron corregidos con la ayuda de miembros del seminario de Leningrado sobre Teoría de Funciones Geométricas ( Departamento de Leningrado del Instituto de Matemáticas Steklov ) cuando De Branges la visitó en 1984.

De Branges demostró el siguiente resultado, que implica la conjetura de Milin (y por tanto la conjetura de Bieberbach). Supongamos que y son números reales para enteros positivos con límite y tales que ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu >-3/2}$ ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}$

no es negativo, no es creciente y tiene límite . Luego, para todas las funciones de mapeo de Riemann univalentes en el disco unitario con ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F(z)=z+\cdots }$

${\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}}$

el valor máximo de

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}}$

se logra mediante la función de Koebe . ${\displaystyle z/(1-z)^{2}}$

Carl FitzGerald y Christian Pommerenke (FitzGerald & Pommerenke (1985)) publicaron una versión simplificada de la prueba en 1985 , y una descripción aún más breve de Jacob Korevaar (Korevaar (1986)).

Ver también

• matriz de Grunsky
• Desigualdad de Fekete-Szegő
• Lema negro

Referencias

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Otras lecturas

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