Teorema de incrustación de Whitney

Cualquier variedad real suave de dimensión m se puede incrustar suavemente en un espacio real de 2m

En matemáticas , particularmente en topología diferencial , hay dos teoremas de incrustación de Whitney, llamados así por Hassler Whitney :

• El teorema fuerte de incrustación de Whitney establece que cualquier variedad real lisa de dimensión m (que también debe ser de Hausdorff y de segundo contable ) puede incrustarse suavemente en el espacio real de 2 m , si m > 0. Este es el mejor límite lineal en el espacio euclidiano de dimensión más pequeña en el que se incrustan todas las variedades m -dimensionales, ya que los espacios proyectivos reales de dimensión m no pueden incrustarse en el espacio real (2 m − 1) si m es una potencia de dos (como se puede ver a partir de un argumento de clase característico , también debido a Whitney). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m},}$
• El teorema de incrustación débil de Whitney establece que cualquier función continua de una variedad n -dimensional a una variedad m -dimensional puede aproximarse mediante una incrustación suave siempre que m > 2 n . Whitney demostró de manera similar que dicha función podría aproximarse mediante una inmersión siempre que m > 2 n − 1 . Este último resultado a veces se denomina teorema de inmersión de Whitney .

Sobre la prueba

Teorema de incrustación débil

La débil incrustación de Whitney se demuestra mediante un argumento de proyección.

Cuando la variedad es compacta , se puede utilizar primero una cobertura mediante un número finito de cartas locales y luego reducir la dimensión con proyecciones adecuadas. ^{[1] : Cap. 1 §3  [2] : Cap. 6  [3] : Cap. 5 §3}

Teorema de incrustación fuerte

El esquema general de la prueba es comenzar con una inmersión ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{2m}}$ con autointersecciones transversales . Se sabe que existen a partir del trabajo anterior de Whitney sobre el teorema de inmersión débil . La transversalidad de los puntos dobles se desprende de un argumento de posición general. La idea es eliminar de alguna manera todas las autointersecciones. Si M tiene frontera, se pueden eliminar las autointersecciones simplemente isotopando M en sí mismo (la isotopía está en el dominio de f ), a una subvariedad de M que no contenga los puntos dobles. Por lo tanto, rápidamente llegamos al caso en el que M no tiene frontera. A veces es imposible eliminar los puntos dobles mediante una isotopía; considere, por ejemplo, la inmersión en forma de 8 del círculo en el plano. En este caso, es necesario introducir un punto doble local.

Presentamos el punto doble.

Una vez que uno tiene dos puntos dobles opuestos, uno construye un bucle cerrado que conecta los dos, dando un camino cerrado en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}.}$ Dado que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ está simplemente conectado , uno puede asumir que este camino limita un disco, y siempre que 2 m > 4 uno puede asumir además (por el teorema de incrustación débil de Whitney ) que el disco está incrustado en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ de modo que interseca la imagen de M solo en su límite. Whitney luego usa el disco para crear una familia de inmersiones de 1 parámetro , en efecto empujando a M a través del disco, eliminando los dos puntos dobles en el proceso. En el caso de la inmersión en forma de 8 con su punto doble introducido, el movimiento de empuje es bastante simple (en la imagen).

Cancelación de puntos dobles opuestos.

Este proceso de eliminar puntos dobles de signos opuestos empujando la variedad a lo largo de un disco se llama el truco de Whitney .

Para introducir un punto doble local, Whitney creó inmersiones que son ${\displaystyle \alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ aproximadamente lineales fuera de la bola unitaria, pero que contienen un único punto doble. Para m = 1, dicha inmersión está dada por

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Nótese que si α se considera como una función de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)}$

Entonces el punto doble se puede resolver en una incrustación:

${\displaystyle \beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).}$

Observe que β( t , 0) = α( t ) y para a ≠ 0 entonces, como función de t , β( t ,  a ) es una incrustación.

Para dimensiones mayores m , hay α _m que se pueden resolver de manera similar en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m+1}.}$ Para una incrustación en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5},}$ por ejemplo, defina

${\displaystyle \alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).}$

Este proceso finalmente nos lleva a la definición:

${\displaystyle \alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),}$

dónde

${\displaystyle u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).}$

La propiedad clave de α _m es que es una incrustación excepto por el punto doble α _m (1, 0, ... , 0) = α _m (−1, 0, ... , 0) . Además, para |( t ₁ , ... ,  t _m ​​)| grande, es aproximadamente la incrustación lineal (0,  t ₁ , 0,  t ₂ , ... , 0,  t _m ​​) .

Consecuencias finales del truco del Whitney

El truco de Whitney fue utilizado por Stephen Smale para demostrar el teorema del h -cobordismo ; del cual se desprende la conjetura de Poincaré en dimensiones m ≥ 5 y la clasificación de estructuras lisas en discos (también en dimensiones 5 y superiores). Esto proporciona la base para la teoría de la cirugía , que clasifica las variedades en dimensión 5 y superiores.

Dadas dos subvariedades orientadas de dimensiones complementarias en una variedad simplemente conexa de dimensión ≥ 5, se puede aplicar una isotopía a una de las subvariedades de modo que todos los puntos de intersección tengan el mismo signo.

Historia

Se dice (de manera bastante sorprendente) que la demostración por parte de Hassler Whitney del teorema de incrustación para variedades lisas fue la primera exposición completa del concepto de variedad precisamente porque reunió y unificó los diferentes conceptos de variedad de la época: ya no había ninguna confusión sobre si las variedades abstractas, definidas intrínsecamente mediante gráficos, eran más o menos generales que las variedades definidas extrínsecamente como subvariedades del espacio euclidiano. Véase también la historia de las variedades y las variedades para el contexto.

Resultados más nítidos

Aunque cada n -variedad se incrusta en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ con frecuencia se puede hacer mejor. Sea e ( n ) el entero más pequeño de modo que todas las n -variedades compactas conexas se incrustan en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{e(n)}.}$ El teorema de incrustación fuerte de Whitney establece que e ( n ) ≤ 2 n . Para n = 1, 2 tenemos e ( n ) = 2 n , como lo muestran el círculo y la botella de Klein . De manera más general, para n = 2 ^k tenemos e ( n ) = 2 n , como lo muestra el espacio proyectivo real de 2 ^k -dimensional . El resultado de Whitney se puede mejorar a e ( n ) ≤ 2 n − 1 a menos que n sea una potencia de 2. Este es un resultado de André Haefliger y Morris Hirsch (para n > 4 ) y CTC Wall (para n = 3 ); Estos autores utilizaron resultados preliminares importantes y casos particulares demostrados por Hirsch, William S. Massey , Sergey Novikov y Vladimir Rokhlin . ^[4] En la actualidad, la función e no se conoce en forma cerrada para todos los números enteros (compárese con el teorema de inmersión de Whitney , donde se conoce el número análogo).

Restricciones en las variedades

Se pueden reforzar los resultados poniendo restricciones adicionales a la variedad. Por ejemplo, la n -esfera siempre se incrusta en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$  – que es lo mejor posible ( las n -variedades cerradas no pueden incrustarse en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ). Cualquier superficie compacta orientable y cualquier superficie compacta con borde no vacío se incrusta en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ aunque cualquier superficie cerrada no orientable necesita ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Si N es una variedad compacta orientable n -dimensional, entonces N se incrusta en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-1}}$ (para n no una potencia de 2 la condición de orientabilidad es superflua). Para n una potencia de 2 esto es un resultado de André Haefliger y Morris Hirsch (para n > 4 ), y Fuquan Fang (para n = 4 ); estos autores utilizaron importantes resultados preliminares demostrados por Jacques Boéchat y Haefliger, Simon Donaldson , Hirsch y William S. Massey . ^[4] Haefliger demostró que si N es una variedad compacta n -dimensional k -conexa , entonces N se incrusta en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k}}$ siempre que 2 k + 3 ≤ n . ^[4]

Versiones isotópicas

Un resultado relativamente 'fácil' es demostrar que dos inserciones cualesquiera de una 1-variedad en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ son isotópicas (ver Teoría de nudos#Dimensiones superiores ). Esto se demuestra usando la posición general, que también permite demostrar que dos inserciones cualesquiera de una n -variedad en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+2}}$ son isotópicas. Este resultado es una versión isotópica del teorema de inserciones débiles de Whitney.

Wu demostró que para n ≥ 2 , dos incrustaciones cualesquiera de una n -variedad en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$ son isotópicas. Este resultado es una versión isotópica del teorema de incrustación fuerte de Whitney.

Como una versión isotópica de su resultado de incrustación, Haefliger demostró que si N es una variedad compacta n -dimensional k -conexa, entonces dos incrustaciones cualesquiera de N en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k+1}}$ son isotópicas siempre que 2 k + 2 ≤ n . La restricción de dimensión 2 k + 2 ≤ n es estricta: Haefliger continuó dando ejemplos de 3-esferas incrustadas no trivialmente en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$ (y, más generalmente, (2 d − 1) -esferas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3d}}$ ). Véanse más generalizaciones.

Véase también

• Teorema de representación
• Teorema de inmersión de Whitney
• Teorema de incrustación de Nash
• Teorema de Takens
• Reducción de dimensionalidad no lineal
• Espacio universal

Notas

1. Hirsch, Morris W. (1976). Topología diferencial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York, Heidelberg, Berlín: Springer . ISBN. 978-1-4684-9449-5.
2. Lee, John M. (2013). Introducción a las variedades suaves. Textos de posgrado en matemáticas (2.ª ed.). Nueva York; Londres: Springer. ISBN 978-1-4419-9981-8.OCLC 800646950  .
3. Prasolov, Victor V. (2006). Elementos de topología combinatoria y diferencial . Providence: American Mathematical Society . ISBN 978-1-4704-1153-4.
4. Véase la sección 2 de Skopenkov (2008)

Referencias

• Whitney, Hassler (1992), Eells, James ; Toledo, Domingo (eds.), Documentos recopilados , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
• Milnor, John (1965), Lecciones sobre el teorema del h -cobordismo , Princeton University Press
• Adachi, Masahisa (1993), Incrustaciones e inmersiones, traducido por Hudson, Kiki, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4612-4
• Skopenkov, Arkadiy (2008), "Incrustación y anudamiento de variedades en espacios euclidianos", en Nicholas Young; Yemon Choi (eds.), Encuestas en matemáticas contemporáneas , London Math. Soc. Lect. Notes., vol. 347, Cambridge: Cambridge University Press , págs. 248–342, arXiv : math/0604045 , Bibcode :2006math......4045S, MR  2388495

Enlaces externos

• Clasificación de incrustaciones