Teorema de Takens

Condiciones en las que se puede reconstruir un sistema caótico mediante la observación

Atractor de Rössler reconstruido mediante el teorema de Takens, utilizando diferentes longitudes de retardo. Las órbitas alrededor del atractor tienen un período entre 5,2 y 6,2.

En el estudio de sistemas dinámicos , un teorema de incrustación de retardo proporciona las condiciones bajo las cuales un sistema dinámico caótico puede reconstruirse a partir de una secuencia de observaciones del estado de ese sistema. La reconstrucción preserva las propiedades del sistema dinámico que no cambian bajo cambios suaves de coordenadas (es decir, difeomorfismos ), pero no preserva la forma geométrica de las estructuras en el espacio de fases .

El teorema de Takens es el teorema de incrustación retardada de Floris Takens de 1981. Proporciona las condiciones bajo las cuales se puede reconstruir un atractor suave a partir de las observaciones realizadas con una función genérica . Resultados posteriores reemplazaron el atractor suave con un conjunto de dimensiones de conteo de cajas arbitrarias y la clase de funciones genéricas con otras clases de funciones.

Es el método más utilizado para la reconstrucción de atractores . ^[1]

Los teoremas de incrustación de retardo son más simples de enunciar para sistemas dinámicos de tiempo discreto . El espacio de estados del sistema dinámico es una variedad ν -dimensional M. La dinámica está dada por un mapa suave .

${\displaystyle f:M\to M.}$

Supongamos que la dinámica f tiene un atractor extraño con dimensión de conteo de cajas d _A . Utilizando ideas del teorema de incrustación de Whitney , A puede incrustarse en un espacio euclidiano de dimensión k con ${\displaystyle A\subset M}$

${\displaystyle k>2d_{A}.}$

Es decir, existe un difeomorfismo φ que mapea A en tal que la derivada de φ tiene rango completo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Un teorema de incrustación por retardo utiliza una función de observación para construir la función de incrustación. Una función de observación debe ser dos veces diferenciable y asociar un número real a cualquier punto del atractor A . También debe ser típica , por lo que su derivada es de rango completo y no tiene simetrías especiales en sus componentes. El teorema de incrustación por retardo establece que la función ${\displaystyle \alpha :M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{T}(x)={\bigl (}\alpha (x),\,\alpha (f(x)),\,\dots ,\,\alpha (f^{k-1}(x))\,{\bigr )}}$

es una incrustación del atractor extraño A en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$

Versión simplificada

Supongamos que el vector de estado -dimensional evoluciona según una dinámica desconocida pero continua y (crucialmente) determinista. Supongamos también que el observable unidimensional es una función suave de , y está “acoplado” a todos los componentes de . Ahora bien, en cualquier momento podemos observar no sólo la medición actual , sino también las observaciones realizadas en momentos alejados de nosotros por múltiplos de algún desfase , etc. Si utilizamos desfases, tenemos un vector -dimensional. Se podría esperar que, a medida que aumenta el número de desfases, el movimiento en el espacio desfasado se vuelva cada vez más predecible, y tal vez en el límite se vuelva determinista. De hecho, la dinámica de los vectores desfasados ​​se vuelve determinista en una dimensión finita; no sólo eso, sino que la dinámica determinista es completamente equivalente a la del espacio de estado original (precisamente, están relacionadas por un cambio suave e invertible de coordenadas, o difeomorfismo). De hecho, el teorema dice que el determinismo aparece una vez que se alcanza la dimensión , y la dimensión de incrustación mínima es a menudo menor. ^{[2] [3]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle 2d+1}$

Elección del retraso

El teorema de Takens se utiliza habitualmente para reconstruir atractores extraños a partir de datos experimentales que presentan contaminación por ruido. Por ello, la elección del tiempo de retardo cobra importancia. Mientras que para los datos sin ruido cualquier elección de retardo es válida, para los datos ruidosos el atractor sería destruido por el ruido si los retardos se eligieran de forma incorrecta.

El retraso óptimo suele ser de alrededor de una décima parte a la mitad del período orbital medio alrededor del atractor. ^{[4] [5]}

Véase también

• Teorema de incrustación de Whitney
• Reducción de dimensionalidad no lineal

Referencias

1. Sauer, Timothy D. (24 de octubre de 2006). "Reconstrucción de atractores". Scholarpedia . 1 (10): 1727. Bibcode :2006SchpJ...1.1727S. doi : 10.4249/scholarpedia.1727 . ISSN  1941-6016.
2. Shalizi, Cosma R. (2006). "Métodos y técnicas de la ciencia de sistemas complejos: una descripción general". En Deisboeck, Thomas S; Kresh, J. Yasha (eds.). Ciencia de sistemas complejos en biomedicina . Temas de ingeniería biomédica. Springer US. págs. 33–114. arXiv : nlin/0307015 . doi :10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN . 978-0-387-30241-6.S2CID11972113  .​
3. Baranski, Krzysztof; Gutman, Yonatan; Śpiewak, Adam (1 de septiembre de 2020). "Un teorema probabilístico de Takens". No linealidad . 33 (9): 4940–4966. arXiv : 1811.05959 . Código Bib : 2020Nonli..33.4940B. doi :10.1088/1361-6544/ab8fb8. ISSN  0951-7715. S2CID  119137065.
4. Strogatz, Steven (2015). "12.4 Caos químico y reconstrucción de atractores". Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería (segunda edición). Boulder, CO. ISBN 978-0-8133-4910-7.OCLC 842877119  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Fraser, Andrew M.; Swinney, Harry L. (1 de febrero de 1986). "Coordenadas independientes para atractores extraños a partir de información mutua" . Physical Review A. 33 ( 2): 1134–1140. Bibcode :1986PhRvA..33.1134F. doi :10.1103/PhysRevA.33.1134. PMID  9896728.

Lectura adicional

• N. Packard , J. Crutchfield , D. Farmer y R. Shaw (1980). "Geometría a partir de una serie temporal". Physical Review Letters . 45 (9): 712–716. Código Bibliográfico :1980PhRvL..45..712P. doi :10.1103/PhysRevLett.45.712.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• F. Takens (1981). "Detección de atractores extraños en turbulencia". En DA Rand y L.-S. Young (ed.). Sistemas dinámicos y turbulencia, Lecture Notes in Mathematics, vol. 898. Springer-Verlag. págs. 366–381.
• R. Mañé (1981). "Sobre la dimensión de los conjuntos invariantes compactos de ciertas aplicaciones no lineales". En DA Rand y L.-S. Young (ed.). Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, vol. 898. Springer-Verlag. págs. 230–242.
• G. Sugihara y RM May (1990). "Pronóstico no lineal como una forma de distinguir el caos del error de medición en series temporales". Nature . 344 (6268): 734–741. Bibcode :1990Natur.344..734S. doi :10.1038/344734a0. PMID  2330029. S2CID  4370167.
• Tim Sauer, James A. Yorke y Martin Casdagli (1991). "Embedología". Revista de Física Estadística . 65 (3–4): 579–616. Bibcode :1991JSP....65..579S. doi :10.1007/BF01053745.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• G. Sugihara (1994). "Predicción no lineal para la clasificación de series temporales naturales". Phil. Trans. R. Soc. Lond. A . 348 (1688): 477–495. Bibcode :1994RSPTA.348..477S. doi :10.1098/rsta.1994.0106. S2CID  121604829.
• PA Dixon, MJ Milicich y G. Sugihara (1999). "Fluctuaciones episódicas en el suministro de larvas". Science . 283 (5407): 1528–1530. Bibcode :1999Sci...283.1528D. doi :10.1126/science.283.5407.1528. PMID  10066174.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• G. Sugihara , M. Casdagli, E. Habjan, D. Hess, P. Dixon y G. Holland (1999). "Los mapas de retardo residual revelan patrones globales de no linealidad atmosférica y producen pronósticos locales mejorados". PNAS . 96 (25): 210–215. Bibcode :1999PNAS...9614210S. doi : 10.1073/pnas.96.25.14210 . PMC  24416 . PMID  10588685.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• C. Hsieh; Glaser, SM; Lucas, AJ; Sugihara, G (2005). "Distinguir fluctuaciones ambientales aleatorias de catástrofes ecológicas para el Océano Pacífico Norte". Nature . 435 (7040): 336–340. Bibcode :2005Natur.435..336H. doi :10.1038/nature03553. PMID  15902256. S2CID  2446456.
• RA Rios, L. Parrott, H. Lange y RF de Mello (2015). "Estimación de tasas de determinismo para detectar patrones en conjuntos de datos geoespaciales". Teledetección del medio ambiente . 156 : 11–20. Bibcode :2015RSEnv.156...11R. doi :10.1016/j.rse.2014.09.019.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Enlaces externos

• [1] El producto ChaosKit de Scientio utiliza la integración para crear análisis y predicciones. El acceso se proporciona en línea a través de un servicio web y una interfaz gráfica.
• [2] Las herramientas de modelado dinámico empírico pyEDM y rEDM utilizan incrustaciones para análisis, predicción e inferencia causal.