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Conectividad homotópica

En topología algebraica , la conectividad homotópica es una propiedad que describe un espacio topológico en función de la dimensión de sus agujeros. En general, una conectividad homotópica baja indica que el espacio tiene al menos un agujero de baja dimensión. El concepto de n -conectividad generaliza los conceptos de conectividad de trayectorias y conectividad simple .

Una definición equivalente de conectividad homotópica se basa en los grupos de homotopía del espacio. Un espacio está n -conexo (o n -simplemente conexo ) si sus primeros n grupos de homotopía son triviales.

La conectividad homotópica también se define para los mapas. Un mapa está n -conexo si es un isomorfismo "hasta la dimensión n, en homotopía ".

Definición usando agujeros

Todas las definiciones a continuación consideran un espacio topológico X.

Un agujero en X es, informalmente, algo que impide que una esfera colocada adecuadamente se encoja continuamente hasta convertirse en un punto. [1] : 78  De manera equivalente, es una esfera que no se puede extender continuamente hasta convertirse en una bola . Formalmente,

Ejemplos

Un agujero bidimensional (un agujero con un límite unidimensional).
Un agujero unidimensional.

Conectividad homotópica de esferas

En general, para cada entero d , (y ) [1] : 79, Teoría 4.3.2  La prueba requiere dos direcciones:

Definición utilizando grupos

Un espacio X se llama n -conexo , para n ≥ 0, si no está vacío, y todos sus grupos de homotopía de orden dn son el grupo trivial : donde denota el i -ésimo grupo de homotopía y 0 denota el grupo trivial. [3] Las dos definiciones son equivalentes. El requisito para un espacio n -conexo consiste en requisitos para todos los dn :

Los requisitos de no estar vacío y estar conectado por trayectorias se pueden interpretar como (−1)-conectado y 0-conectado , respectivamente, lo que resulta útil para definir mapas 0-conectados y 1-conectados, como se muestra a continuación. El conjunto de homotopía 0 se puede definir como:

Este es solo un conjunto puntiagudo , no un grupo, a menos que X sea en sí mismo un grupo topológico ; el punto distinguido es la clase de la función trivial, enviando S 0 al punto base de X. Usando este conjunto, un espacio es 0-conexo si y solo si el 0º conjunto de homotopía es el conjunto de un punto. La definición de grupos de homotopía y este conjunto de homotopía requieren que X sea puntiagudo (tenga un punto base elegido), lo que no se puede hacer si X está vacío.

Un espacio topológico X es conexo por caminos si y solo si su grupo de homotopía 0 se anula de manera idéntica, ya que la conexidad por caminos implica que dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 en X pueden conectarse con un camino continuo que comienza en x 1 y termina en x 2 , lo que es equivalente a la afirmación de que cada aplicación de S 0 (un conjunto discreto de dos puntos) a X puede deformarse continuamente a una aplicación constante. Con esta definición, podemos definir que X es n -conexo si y solo si

Ejemplos

norte-mapa conectado

La noción relativa correspondiente a la noción absoluta de un espacio n -conexo es una función n -conexa , que se define como una función cuya fibra de homotopía Ff es un espacio ( n  − 1)-conexo. En términos de grupos de homotopía, significa que una función es n -conexa si y solo si:

La última condición es frecuentemente confusa; esto se debe a que la desaparición del ( n  − 1)-ésimo grupo de homotopía de la fibra de homotopía Ff corresponde a una sobreyección sobre los n ésimos grupos de homotopía, en la secuencia exacta:

Si el grupo de la derecha desaparece, entonces el mapa de la izquierda es una sobreyección.

Ejemplos de baja dimensión:

La n -conectividad de los espacios puede definirse a su vez en términos de la n -conectividad de las funciones: un espacio X con punto base x 0 es un espacio n -conexo si y solo si la inclusión del punto base es una función n -conexa. El conjunto de puntos es contráctil, por lo que todos sus grupos de homotopía se anulan y, por lo tanto, el "isomorfismo por debajo de n y sobre en n " corresponde a la anulación de los primeros n grupos de homotopía de X.

Interpretación

Esto es instructivo para un subconjunto: una inclusión n -conectada es aquella que, hasta la dimensión n  − 1, las homotopías en el espacio mayor X pueden ser homotopadas en homotopías en el subconjunto A .

Por ejemplo, para que un mapa de inclusión sea 1-conectado, debe ser:

Uno a uno significa que si hay un camino que conecta dos puntos pasando por X, hay un camino en A que los conecta, mientras que sobre significa que, de hecho, un camino en X es homotópico a un camino en A.

En otras palabras, una función que es un isomorfismo en solo implica que todos los elementos de que son homotópicos en X son abstractamente homotópicos en A – la homotopía en A puede no estar relacionada con la homotopía en X – mientras que estar n -conectado (por lo tanto también sobre ) significa que (hasta la dimensión n  − 1) las homotopías en X pueden ser empujadas hacia homotopías en A .

Esto da una explicación más concreta de la utilidad de la definición de n -conectividad: por ejemplo, un espacio donde la inclusión del k -esqueleto está n -conectada (para n  >  k ) –como la inclusión de un punto en la n -esfera– tiene la propiedad de que cualquier celda en dimensiones entre k y n no afecta los tipos de homotopía de dimensión inferior.

Límites inferiores

Muchas demostraciones topológicas requieren límites inferiores para la conectividad homotópica. Existen varias "recetas" para demostrar dichos límites inferiores.

Homología

El teorema de Hurewicz relaciona la conectividad homotópica con la conectividad homológica , denotada por . Esto es útil para calcular la conectividad homotópica, ya que los grupos homológicos se pueden calcular más fácilmente.

Supóngase primero que X es simplemente conexo, es decir, . Sea ; por lo que para todos , y . El teorema de Hurewicz [5] : 366, Teoría 4.32  dice que, en este caso, para todos , y es isomorfo a , así también. Por lo tanto: Si X no es simplemente conexo ( ), entonces sigue siendo válido. Cuando esto es trivial. Cuando (por lo que X es conexo por trayectorias pero no simplemente conexo), se debería demostrar que . [ aclaración necesaria ]

La desigualdad puede ser estricta: hay espacios en los que pero . [6]

Por definición, el k -ésimo grupo de homología de un complejo simplicial depende únicamente de los símplices de dimensión k +1 como máximo (véase homología simplicial ). Por lo tanto, el teorema anterior implica que un complejo simplicial K está k -conexo si y solo si su esqueleto ( k +1)-dimensional (el subconjunto de K que contiene únicamente símplices de dimensión k +1 como máximo) está k -conexo. [1] : 80, Prop.4.4.2 

Unirse

Sean K y L complejos de celdas no vacías . Su unión se denota comúnmente por . Entonces: [1] : 81, Prop.4.4.3 

La identidad es más sencilla con la notación eta: como ejemplo, supongamos un conjunto de dos puntos desconectados. Hay un agujero unidimensional entre los puntos, por lo que eta es 1. La unión es un cuadrado, que es homeomorfo a un círculo, por lo que su eta es 2. La unión de este cuadrado con una tercera copia de K es un octaedro , que es homeomorfo a , y su eta es 3. En general, la unión de n copias de es homeomorfa a y su eta es n .

La prueba general se basa en una fórmula similar para la conectividad homológica.

Nervio

Sean K 1 ,..., K n complejos simples abstractos , y denotemos su unión por K .

Denotemos el complejo nervioso de { K 1 , ... , K n } (el complejo abstracto que registra el patrón de intersección de K i ) por N .

Si, para cada no vacío , la intersección está vacía o ( k −| J |+1)-conectada, entonces para cada jk , el j -ésimo grupo de homotopía de N es isomorfo al j -ésimo grupo de homotopía de K.

En particular, N está k -conectado si y sólo si K está k -conectado. [7] : Teoría 6 

Principio de homotopía

En topología geométrica , se dice que los casos en los que la inclusión de un espacio definido geométricamente, como el espacio de inmersiones, en un espacio topológico más general, como el espacio de todas las aplicaciones continuas entre dos espacios asociados que están n -conectados, satisfacen un principio de homotopía o "principio h". Hay varias técnicas generales poderosas para demostrar los principios h.

Véase también

Referencias

  1. ^ abcdef Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
  2. ^ Aharoni, Ron; Berger, Eli (2006). "La intersección de un matroide y un complejo simplicial". Transactions of the American Mathematical Society . 358 (11): 4895–4917. doi : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN  0002-9947.
  3. ^ "Espacio n-conexo en nLab". ncatlab.org . Consultado el 18 de septiembre de 2017 .
  4. ^ Frick, Florian; Soberón, Pablo (11 de mayo de 2020). "El problema topológico de Tverberg más allá de las potencias primos". arXiv : 2005.05251 [math.CO].
  5. ^ Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1
  6. ^ Véase el ejemplo 2.38 en el libro de Hatcher. Véase también esta respuesta.
  7. ^ Björner, Anders (1 de abril de 2003). "Nervios, fibras y grupos de homotopía". Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 102 (1): 88–93. doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN  0097-3165.