Teorema de Nielsen-Ninomiya

Teorema de no-go sobre la quiralidad de los fermiones regularizados

En la teoría de campos reticulares , el teorema de Nielsen-Ninomiya es un teorema de no aplicación sobre la colocación de fermiones quirales en una red . En particular, bajo supuestos muy generales como localidad , hermiticidad y simetría traslacional , cualquier formulación reticular de fermiones quirales conduce necesariamente a la duplicación de fermiones , donde hay el mismo número de fermiones zurdos y diestros. Fue demostrado por primera vez por Holger Bech Nielsen y Masao Ninomiya en 1981 utilizando dos métodos, uno que se basaba en la teoría de homotopía ^[1] y otro que se basaba en la topología diferencial . ^[2] Otra prueba proporcionada por Daniel Friedan utiliza geometría diferencial . ^[3] El teorema también se generalizó a cualquier esquema de regularización de teorías quirales . ^[4] Una consecuencia del teorema es que el Modelo Estándar no se puede poner en una red. ^[5] Los métodos comunes para superar el problema de duplicación de fermiones son utilizar formulaciones de fermiones modificadas, como fermiones escalonados , fermiones de Wilson o fermiones de Ginsparg-Wilson , entre otros.

Regularización de red

El teorema se formuló originalmente en la formulación hamiltoniana de la teoría de campos en red, donde el tiempo es continuo pero el espacio ha sido discretizado. ^{[1] [2]} Consideremos una teoría con un hamiltoniano de la forma

${\displaystyle H=\sum _{{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}}\psi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}})F({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})\psi ({\boldsymbol {y}})}$

junto con una carga . El teorema de Nielsen-Ninomiya establece que hay un número igual de fermiones zurdos y diestros para cada conjunto de cargas si se cumplen los siguientes supuestos ^[6] ${\displaystyle Q}$

• Invariancia traslacional: Implica que . ${\displaystyle F({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=F({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}$
• Localidad: debe desaparecer lo suficientemente rápido para tener una transformada de Fourier con derivadas continuas . ${\displaystyle F({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}$
• Hermiticidad: Para que el hamiltoniano sea hermítico, también debe ser hermítico. ${\displaystyle F({\boldsymbol {x}})}$
• La carga se define localmente a través de una cierta densidad de carga local.
• La carga está cuantificada .
• La carga se conserva exactamente .

Este teorema se cumple trivialmente en dimensiones impares, ya que las teorías de dimensiones impares no admiten fermiones quirales debido a la ausencia de un operador de quiralidad válido, es decir, un operador que anticonmuta con todas las matrices gamma . Esto se desprende de las propiedades de las álgebras de Dirac en dimensiones impares.

El teorema de Nielsen-Ninomiya también ha sido demostrado en la formulación euclidiana . Por ejemplo, considere una versión más débil del teorema que supone una acción menos genérica de la forma ^[7]

${\displaystyle S=\sum _{x,y,\mu }{\bar {\psi }}(x)i\gamma _{\mu }F_{\mu }(x,y)P_{R}\psi (y),}$

¿Dónde está el operador de proyección diestro, junto con tres suposiciones? ${\displaystyle P_{R}}$

• Invariancia traslacional: . ${\displaystyle F_{\mu }(x,y)=F_{\mu }(x-y)}$
• Hermiticidad: Para que la acción sea hermitiana, debe cumplirse que . ${\displaystyle F_{\mu }(-x)=F_{\mu }(x)^{*}}$
• Localidad: El propagador inverso decrece lo suficientemente rápido como para que exista su transformada de Fourier y todas sus derivadas sean continuas.

Si se cumplen todas estas condiciones, entonces hay nuevamente un número igual de fermiones zurdos y diestros. ^[8]

Resumen de la prueba

La versión euclidiana simplificada del teorema tiene una prueba mucho más corta, que se basa en un teorema clave de la topología diferencial conocido como el teorema de Poincaré-Hopf . ^[9] Se puede resumir de la siguiente manera. A partir del supuesto de localidad, la transformada de Fourier del propagador inverso debe ser un campo vectorial continuo en la zona de Brillouin cuyos ceros aislados corresponden a diferentes especies de partículas de la teoría. Alrededor de cada cero, el comportamiento del campo vectorial es una singularidad de silla de montar o una singularidad de sumidero/fuente. Esto se captura por el índice del campo vectorial en el cero que toma los valores para los dos casos. Se puede demostrar que los dos casos determinan si la partícula es zurda o dextrógira. El teorema de Poincaré-Hopf establece que la suma de los índices de un campo vectorial en una variedad es igual a la característica de Euler de esa variedad. En este caso, el campo vectorial vive en la zona de Brillouin, que topológicamente es un 4-toro que tiene una característica de Euler cero. Por lo tanto, debe haber un número igual de partículas zurdas y diestras. ${\displaystyle F_{\mu }(k)}$ ${\displaystyle \pm 1}$

Esquemas generales de regularización

El teorema de Nielsen-Ninomiya se puede generalizar a todos los esquemas de regularización posibles, no solo a la regularización reticular. ^[4] Este teorema general de no aplicación establece que ninguna teoría de fermiones quirales regularizados puede satisfacer todas las condiciones siguientes:

• Invariancia al menos bajo la parte global del grupo de calibre .
• Número diferente de especies de Weyl zurdas y diestras para una combinación dada de generadores.
• La anomalía quiral correcta .
• Una acción bilineal en campos de Weyl.

Una breve prueba por contradicción señala que la corriente de Noether adquirida a partir de algunas suposiciones se conserva, mientras que otras suposiciones implican que no es así.

Todo esquema de regularización debe violar una o más de las condiciones. Para la regularización reticular, el teorema de Nielsen-Ninomiya conduce al mismo resultado bajo supuestos aún más débiles, donde el requisito de la anomalía quiral correcta se reemplaza por un supuesto de localidad de interacciones. La regularización dimensional depende de la implementación particular de la quiralidad. Si la matriz se define como para infinitesimal , esto conduce a una anomalía quiral que se desvanece, mientras que el uso rompe la invariancia global. Mientras tanto, la regularización de Pauli-Villars rompe la invariancia global ya que introduce una masa reguladora. ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{[1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{4+\epsilon ]}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma _{[1}\gamma _{2}\gamma _{3}\gamma _{4]}}$

Véase también

• Teoría de calibres reticulares

Referencias

1. Nielsen, HB ; Ninomiya, M. (1981). "Ausencia de neutrinos en una red: (I). Demostración mediante teoría de homotopía". Física nuclear B . 185 (1): 20–40. Código Bibliográfico :1981NuPhB.185...20N. doi :10.1016/0550-3213(81)90361-8.
2. Nielsen, HB ; Ninomiya, M. (1981). "Ausencia de neutrinos en una red: (II). Prueba topológica intuitiva". Física nuclear B . 193 (1): 173–194. Código Bibliográfico :1981NuPhB.193..173N. doi :10.1016/0550-3213(81)90524-1.
3. Friedan, D. (1982). "Una demostración del teorema de Nielsen-Ninomiya". Commun. Math. Phys . 85 (4): 481–490. Código Bibliográfico :1982CMaPh..85..481F. doi :10.1007/BF01403500. S2CID  2649595.
4. Nielsen, HB ; Ninomiya, M. (1981). "Un teorema de no-go para regularizar fermiones quirales". Physics Letters B . 105 (2–3): 219–223. Código Bibliográfico :1981PhLB..105..219N. doi :10.1016/0370-2693(81)91026-1.
5. Tong, D. (2018), "4", Notas de clase sobre teoría de calibres , pág. 232
6. Montvay, I.; Munster, G. (1994). "4". Campos cuánticos en una red . Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. págs. 208-213. doi :10.1017/CBO9780511470783. ISBN. 9780511470783. Número de identificación del sujeto  118339104.
7. Karsten, LH (1981). "Fermiones reticulares en el espacio-tiempo euclidiano". Phys. Lett. B . 104 (4): 315–319. Código Bibliográfico :1981PhLB..104..315K. doi :10.1016/0370-2693(81)90133-7.
8. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "7". Cromodinámica cuántica en la red: una presentación introductoria . Apuntes de clase en Física 788. Springer. págs. 162-163. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
9. Smit, Jan (2002). "8". Introducción al campo cuántico en una red . Cambridge Lecture Notes in Physics. Cambridge: Cambridge University Press. págs. 221–222. doi :10.1017/CBO9780511583971. hdl :20.500.12657/64022. ISBN . 9780511583971.