Duplicación de fermiones

Colocar fermiones en una red con simetría quiral da como resultado más fermiones de los esperados

En la teoría de campos reticulares , la duplicación de fermiones ocurre cuando se colocan ingenuamente campos fermiónicos en una red , lo que da como resultado más estados fermiónicos de lo esperado. Para los fermiones de Dirac discretizados ingenuamente en dimensiones euclidianas , cada campo fermiónico da como resultado especies de fermiones idénticas , denominadas diferentes sabores del fermión. El problema de la duplicación de fermiones está vinculado de manera inextricable con la invariancia quiral por el teorema de Nielsen-Ninomiya . La mayoría de las estrategias utilizadas para resolver el problema requieren el uso de fermiones modificados que se reducen al fermión de Dirac solo en el límite continuo . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{d}}$

Discretización ingenua de fermiones

Para simplificar, consideraremos una teoría de cuatro dimensiones de un fermión libre, aunque el problema de duplicación del fermión permanece en dimensiones arbitrarias e incluso si se incluyen interacciones . La teoría de campos reticulares se lleva a cabo generalmente en el espacio-tiempo euclidiano al que se llega a partir del espacio-tiempo de Minkowski después de una rotación de Wick , donde la acción de Dirac del continuo toma la forma

${\displaystyle S_{F}[\psi ,{\bar {\psi }}]=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(x)(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi (x).}$

Esto se discretiza introduciendo una red con espaciado de red y puntos indexados por un vector de números enteros . La integral se convierte en una suma sobre todos los puntos de la red, mientras que los campos fermiónicos se reemplazan por variables de Grassmann de cuatro componentes en cada sitio de la red denotado por y . La discretización derivada utilizada es la discretización derivada simétrica , con los vectores siendo vectores unitarios en la dirección . Estos pasos dan la acción del fermión libre ingenuo ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle S_{F}^{L}[\psi ,{\bar {\psi }}]=a^{4}\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.}$

Esta acción se reduce a la acción de Dirac del continuo en el límite del continuo, por lo que se espera que sea una teoría de un solo fermión. Sin embargo, en su lugar describe dieciséis fermiones idénticos, y se dice que cada fermión tiene un sabor diferente, de manera análoga a cómo las partículas tienen diferentes sabores en la física de partículas . Los quince fermiones adicionales a menudo se denominan duplicadores. Este contenido de partículas extendidas se puede ver analizando las simetrías o las funciones de correlación de la teoría reticular.

Duplicación de simetría

La acción ingenua del fermión posee una nueva simetría de intercambio de gustos que no se encuentra en la teoría del continuo que actúa sobre los campos fermiónicos como ^[2]

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}_{n}S_{A}^{\dagger }e^{in\cdot \pi _{A}},}$

donde los vectores son los dieciséis vectores con entradas distintas de cero de especificados por . Por ejemplo, , , y . La estructura de Dirac en la simetría se define de manera similar por los índices de como donde y ; por ejemplo con . ${\displaystyle \pi _{A}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi _{0}=(0,0,0,0)}$ ${\displaystyle \pi _{2}=(0,\pi ,0,0)}$ ${\displaystyle \pi _{14}=(\pi ,0,0,\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{1234}=(\pi ,\pi ,\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S_{A}=S_{\nu _{1}}S_{\nu _{2}}S_{\nu _{3}}S_{\nu _{4}}}$ ${\displaystyle S_{0}=I}$ ${\displaystyle S_{\nu }=i\gamma _{5}\gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle S_{14}=(i\gamma _{5}\gamma _{1})(i\gamma _{5}\gamma _{4})}$

La presencia de estas dieciséis transformaciones de simetría implica la existencia de dieciséis estados fermiónicos idénticos en lugar de solo uno. Comenzando con un campo fermiónico , la simetría lo asigna a otro campo . La transformación de Fourier de esto muestra que su momento se ha desplazado como . Por lo tanto, un fermión con momento cerca del centro de la zona de Brillouin se asigna a una de sus esquinas mientras que uno de los fermiones de las esquinas entra para reemplazar al fermión central, lo que muestra que la transformación actúa para intercambiar los sabores de los fermiones. Dado que esta es una simetría de la acción, los diferentes sabores deben ser físicamente indistinguibles entre sí. Aquí, el momento de Brillouin para pequeño no es el momento físico de la partícula, sino que es . En cambio, actúa más como un número cuántico adicional que especifica el sabor de un fermión. ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle \psi '_{n}=e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n}}$ ${\displaystyle p^{\mu }\rightarrow p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$ ${\displaystyle k^{\mu }=p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$ ${\displaystyle p^{\mu }}$ ${\displaystyle p^{\mu }}$ ${\displaystyle \pi _{A}^{\mu }}$

El término es responsable de cambiar la representación de las matrices de los duplicadores a , lo que tiene el efecto de cambiar los signos de las matrices como . Dado que cualquier cambio de signo de este tipo da como resultado un conjunto de matrices que aún satisfacen el álgebra de Dirac , las matrices resultantes forman una representación válida. También es el término que ingresa a la función de onda de los duplicadores dada por y , donde y son las soluciones habituales de la ecuación de Dirac con momento . ^[3] ${\displaystyle S_{A}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }^{(A)}=S_{A}^{\dagger }\gamma _{\mu }S_{A}}$ ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4})\rightarrow (\pm \gamma _{1},\pm \gamma _{2},\pm \gamma _{3},\pm \gamma _{4})}$ ${\displaystyle S_{A}^{\dagger }u({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle S_{A}^{\dagger }v({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$

Relación de propagación y dispersión

En la teoría del continuo, el propagador de Dirac tiene un solo polo , ya que la teoría describe solo una partícula. Sin embargo, al calcular el propagador a partir de la acción ingenua se obtiene

${\displaystyle S(p)={\frac {m-ia^{-1}\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin(p^{\mu }a)}{m^{2}+a^{-2}\sum _{\mu }\sin(p^{\mu }a)^{2}}},}$

para un fermión con momento . ^[4] Para momentos bajos esto todavía tiene el polo esperado en , pero hay quince polos adicionales cuando . Cada uno de estos es una nueva especie de fermión con duplicación que surge porque la función tiene dos polos en el rango . Esto contrasta con lo que sucede cuando se discretizan partículas de diferentes espines . Por ejemplo, los escalares adquieren propagadores que toman una forma similar excepto con , que solo tiene un polo único en el rango de momento y, por lo tanto, la teoría no sufre un problema de duplicación. ^[5] ${\displaystyle p^{\mu }}$ ${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)\approx p^{\mu }a}$ ${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)}$ ${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)+\pi _{A}^{\mu }}$ ${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)}$ ${\displaystyle p^{\mu }\in [-\pi /a,\pi /a]}$ ${\displaystyle \sin(p^{\mu }a/2)}$

Comparación entre las relaciones de dispersión continua y reticular de un fermión libre, teniendo este último un doblador en el límite de la zona de Brillouin.

La necesidad de la duplicación de fermiones se puede deducir del hecho de que el propagador de fermiones sin masa es impar alrededor del origen . ^[6] Es decir, en el límite continuo es proporcional a , lo que todavía debe ser el caso en la red en el límite de momento pequeño. Pero como cualquier teoría de red local que se pueda construir debe tener un propagador que sea continuo y periódico , debe cruzar el eje cero al menos una vez más, que es exactamente lo que ocurre en las esquinas de la zona de Brillouin donde para el propagador de fermiones ingenuo. Esto contrasta con el propagador bosónico que es cuadrático alrededor del origen y, por lo tanto, no tiene ese problema. La duplicación se puede evitar si se utiliza un propagador discontinuo, pero esto da como resultado una teoría no local. ${\displaystyle \gamma _{\mu }p^{\mu }}$ ${\displaystyle ap_{\mu }=\pi _{A}^{\mu }}$

La presencia de duplicadores también se refleja en la relación de dispersión del fermión . Como se trata de una relación entre la energía del fermión y su momento, es necesario realizar una transformación de Wick inversa , con la relación de dispersión que surge del polo del propagador ^[7] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$

${\displaystyle \sinh \omega ({\boldsymbol {p}})={\sqrt {m^{2}+\sum _{j=1}^{3}\sin ^{2}p_{j}}}.}$

Los ceros de esta relación de dispersión son mínimos de energía local alrededor de los cuales las excitaciones corresponden a diferentes especies de partículas. Lo anterior tiene ocho especies diferentes que surgen debido a la duplicación en las tres direcciones espaciales. Los ocho duplicadores restantes ocurren debido a otra duplicación en la dirección temporal euclidiana, que parece haberse perdido. Pero esto se debe a una aplicación ingenua de la transformación de Wick inversa. La teoría tiene una obstrucción que no permite el reemplazo simple de y en su lugar requiere realizar la integración de contorno completa . Hacer esto para el propagador del espacio de posición da como resultado dos términos separados, cada uno de los cuales tiene la misma relación de dispersión de ocho especies de fermiones, lo que da un total de dieciséis. ^[8] La obstrucción entre las teorías de red de fermiones ingenuas de Minkowski y Euclidiana ocurre porque la duplicación no ocurre en la dirección temporal de Minkowski, por lo que las dos teorías difieren en su contenido de partículas. ${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$

Resoluciones para la duplicación de fermiones

La duplicación de fermiones es una consecuencia de un teorema de no-go en la teoría de campos reticulares conocido como el teorema de Nielsen-Ninomiya. Afirma que cualquier teoría fermiónica local, hermítica , invariante en la traducción y bilineal de dimensión par siempre tiene el mismo número de fermiones de Weyl levógiros y diestros , generando los fermiones adicionales cuando faltan. ^[9] El teorema no dice cuántos duplicadores surgirán, pero sin romper los supuestos del teorema, siempre habrá al menos un duplicador, y la discretización ingenua tendrá quince. Una consecuencia del teorema es que la anomalía quiral no se puede simular con teorías quirales invariantes, ya que se desvanece trivialmente.

Simular teorías de campos reticulares con duplicación de fermiones conduce a resultados incorrectos debido a los duplicadores, por lo que se han desarrollado muchas estrategias para superar este problema. Si bien los duplicadores se pueden ignorar en una teoría libre, ya que allí los diferentes gustos se desacoplan, no se pueden ignorar en una teoría de interacción donde las interacciones mezclan diferentes gustos, ya que el momento se conserva solo hasta módulo . Por ejemplo, dos fermiones de gusto pueden dispersarse mediante el intercambio de un bosón de calibración altamente virtual para producir dos fermiones de gusto sin violar la conservación del momento. Por lo tanto, para superar el problema de duplicación de fermiones, uno debe violar uno o más supuestos del teorema de Nielsen-Ninomiya, lo que da lugar a una multitud de resoluciones propuestas: ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$

• Fermión de pared de dominio : viola explícitamente la simetría quiral, aumenta la dimensionalidad espacial. ^{[10] [11]}
• Fermión de Ginsparg-Wilson : viola explícitamente la simetría quiral. ^[12]
• Fermión superpuesto : viola explícitamente la simetría quiral (tipo de fermión de Ginsparg–Wilson). ^{[13] [14]}
• Fermión reticular perfecto: formulación no local. ^[15]
• Fermión SLAC: formulación no local. ^[16]
• Fermión de Stacey: formulación no local. ^[17]
• Fermión escalonado (fermión de Kogut-Susskind): viola explícitamente la invariancia traslacional y reduce el número de duplicadores. ^[18]
• Generación de masa simétrica: este enfoque va más allá del modelo bilineal de fermiones e introduce efectos de interacción no perturbativa. ^{[19] [20]} Una realización basada en el modelo de Eichten-Preskill ^[21] parte de un modelo de fermiones simétricos vectoriales en el que los fermiones quirales y los fermiones espejo se realizan en dos paredes de dominio. Al separar el fermión espejo mediante la generación de masa simétrica se obtienen fermiones quirales a baja energía sin duplicación de fermiones. ^{[22] [23]}
• Fermión de masa torcida : viola explícitamente la simetría quiral (tipo de fermión de Wilson). ^[24]
• Fermión de Wilson : viola explícitamente la simetría quiral. ^[25]

Cada una de estas formulaciones de fermiones tiene sus propias ventajas y desventajas. ^[26] Se diferencian en la velocidad a la que se pueden simular, la facilidad de su implementación y la presencia o ausencia de configuraciones excepcionales. Algunas de ellas tienen una simetría quiral residual que permite simular anomalías axiales. También pueden diferir en la cantidad de duplicadores que eliminan, y algunas consisten en un doblete o un cuarteto de fermiones. Por esta razón, se utilizan diferentes formulaciones de fermiones para diferentes problemas.

Discretización derivada

Otra solución posible aunque poco práctica para el problema de duplicación es adoptar una discretización derivada diferente de la diferencia simétrica.

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x-a{\hat {\mu }})}{2a}},}$

Se utiliza en la acción fermiónica ingenua. En su lugar, es posible utilizar la diferencia directa

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x)}{a}},}$

o una discretización de diferencias hacia atrás. El efecto de las discretizaciones derivadas en la duplicación se ve al considerar el problema de juguete unidimensional de encontrar las soluciones propias de . ^[27] En el continuo, esta ecuación diferencial tiene una única solución. Sin embargo, la implementación de la derivada de diferencias simétricas conduce a la presencia de dos soluciones propias distintas, mientras que una derivada de diferencias hacia adelante o hacia atrás tiene una solución propia. Este efecto se traslada a la acción del fermión donde la duplicación del fermión está ausente con discretizaciones hacia adelante o hacia atrás. ${\displaystyle -i\partial _{x}f(x)=\lambda f(x)}$

La razón de esta disparidad en el contenido de partículas es que la derivada de la diferencia simétrica mantiene la propiedad de hermiticidad del operador continuo, mientras que las discretizaciones hacia adelante y hacia atrás no lo hacen. Estas últimas discretizaciones conducen a acciones no hermíticas, rompiendo los supuestos del teorema de Nielsen-Ninomiya, y así evitan el problema de duplicación de fermiones. El desarrollo de una teoría interactuante con una discretización derivada no hermítica conduce a una teoría con contribuciones no covariantes a la autoenergía del fermión y la función de vértice , lo que hace que la teoría no sea renormalizable y difícil de trabajar. ^[28] Por esta razón, una resolución de este tipo para el problema de duplicación de fermiones generalmente no se implementa. ${\displaystyle i\partial _{\mu }}$

Véase también

• Fonones acústicos y ópticos : un fenómeno similar en cristales de estado sólido

Referencias

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