En geometría algebraica , el teorema de Cramer sobre curvas algebraicas proporciona el número necesario y suficiente de puntos en el plano real que caen sobre una curva algebraica para determinar de manera única la curva en casos no degenerados . Este número es
donde n es el grado de la curva. El teorema se debe a Gabriel Cramer , quien lo publicó en 1750. [1]
Por ejemplo, una recta (de grado 1) está determinada por 2 puntos distintos en ella: una y sólo una recta pasa por esos dos puntos. Del mismo modo, una cónica no degenerada ( ecuación polinómica en x e y con la suma de sus potencias en cualquier término no mayor que 2, por lo tanto con grado 2) está determinada unívocamente por 5 puntos en posición general (ningún tres de los cuales están en una recta).
La intuición del caso cónico es la siguiente: supongamos que los puntos dados caen, específicamente, sobre una elipse . En ese caso, son necesarios y suficientes cinco datos para identificar la elipse: la posición horizontal del centro de la elipse, la posición vertical del centro, el eje mayor (la longitud de la cuerda más larga ), el eje menor (la longitud de la cuerda más corta que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor) y la orientación rotacional de la elipse (la medida en que el eje mayor se aparta de la horizontal). Cinco puntos en posición general son suficientes para proporcionar estos cinco datos, mientras que cuatro puntos no.
El número de términos distintos (incluidos aquellos con coeficiente cero) en una ecuación de grado n en dos variables es ( n + 1)( n + 2) / 2. Esto se debe a que los términos de grado n suman n + 1 en total; los términos de grado ( n − 1) suman n en total; y así sucesivamente hasta los términos de primer grado y suman 2 en total, y el único término de grado cero (la constante). La suma de estos es ( n + 1) + n + ( n − 1) + ... + 2 + 1 = ( n + 1)( n + 2) / 2 términos, cada uno con su propio coeficiente . Sin embargo, uno de estos coeficientes es redundante para determinar la curva, porque siempre podemos dividir la ecuación polinómica por cualquiera de los coeficientes, obteniendo una ecuación equivalente con un coeficiente fijo en 1, y por lo tanto [( n + 1)( n + 2) / 2] − 1 = n ( n + 3) / 2 coeficientes restantes.
Por ejemplo, una ecuación de cuarto grado tiene la forma general
con 4(4+3)/2 = 14 coeficientes.
La determinación de una curva algebraica a través de un conjunto de puntos consiste en determinar valores para estos coeficientes en la ecuación algebraica de manera que cada uno de los puntos satisfaga la ecuación. Dados n ( n + 3) / 2 puntos ( x i , y i ), cada uno de estos puntos se puede utilizar para crear una ecuación separada al sustituirlo en la ecuación polinómica general de grado n , dando n ( n + 3) / 2 ecuaciones lineales en los n ( n + 3) / 2 coeficientes desconocidos. Si este sistema es no degenerado en el sentido de tener un determinante distinto de cero , los coeficientes desconocidos están determinados de forma única y, por lo tanto, la ecuación polinómica y su curva están determinadas de forma única. Más de este número de puntos sería redundante, y menos sería insuficiente para resolver el sistema de ecuaciones de forma única para los coeficientes.
Cramer proporcionó un ejemplo de un caso degenerado, en el que n ( n + 3) / 2 puntos en la curva no son suficientes para determinar la curva de forma única, como parte de la paradoja de Cramer . Sea el grado n = 3, y sean nueve puntos todas las combinaciones de x = −1, 0, 1 e y = −1, 0, 1. Más de una cúbica contiene todos estos puntos, es decir, todas las cúbicas de ecuación. Por lo tanto, estos puntos no determinan una cúbica única, aunque haya n ( n + 3) / 2 = 9 de ellos. De manera más general, hay infinitas cúbicas que pasan por los nueve puntos de intersección de dos cúbicas ( el teorema de Bézout implica que dos cúbicas tienen, en general, nueve puntos de intersección).
De la misma manera, para el caso cónico de n = 2, si tres de los cinco puntos dados caen en la misma línea recta, es posible que no determinen de manera única la curva.
Si se requiere que la curva esté en una subcategoría particular de ecuaciones polinómicas de grado n , entonces pueden ser necesarios y suficientes menos de n ( n + 3) / 2 puntos para determinar una curva única. Por ejemplo, tres puntos (no colineales) determinan un círculo : el círculo genérico está dado por la ecuación donde el centro está ubicado en ( a , b ) y el radio es r . Equivalentemente, al expandir los términos al cuadrado, la ecuación genérica es donde Aquí se han impuesto dos restricciones en comparación con el caso cónico general de n = 2: el coeficiente del término en xy está restringido a ser igual a 0, y el coeficiente de y 2 está restringido a ser igual al coeficiente de x 2 . Por lo tanto, en lugar de necesitar cinco puntos, solo se necesitan 5 − 2 = 3, que coinciden con los 3 parámetros a , b , k (equivalentemente a , b , r ) que necesitan ser identificados.
