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Teorema de Blakers-Massey

En matemáticas, el primer teorema de Blakers-Massey , llamado así por Albert Blakers y William S. Massey , [1] [2] [3] proporcionó condiciones de desaparición para ciertos grupos de homotopía de tríadas de espacios .

Descripción del resultado

Este resultado de conectividad puede expresarse con mayor precisión de la siguiente manera: supongamos que X es un espacio topológico que es el extremo del diagrama.

,

donde f es una función m -conexa y g es n -conexa. Entonces la función de pares

induce un isomorfismo en grupos de homotopía relativa en grados y una sobreyección en el siguiente grado.

Sin embargo, el tercer artículo de Blakers y Massey en esta área [4] determina el grupo de homotopía de tríada crítico, es decir, el primer grupo no nulo, como un producto tensorial , bajo una serie de supuestos, incluyendo cierta conectividad simple. Esta condición y algunas condiciones de dimensión fueron relajadas en el trabajo de Ronald Brown y Jean-Louis Loday . [5] El resultado algebraico implica el resultado de conectividad, ya que un producto tensorial es cero si uno de los factores es cero. En el caso no simplemente conexo , uno tiene que usar el producto tensorial no abeliano de Brown y Loday. [5]

El resultado de la conectividad de la tríada se puede expresar de varias otras maneras, por ejemplo, dice que el cuadrado de expulsión anterior se comporta como un retroceso de homotopía hasta la dimensión .

Generalización a topos superiores

La generalización de la parte de conectividad del teorema de la teoría de homotopía tradicional a cualquier otro topos infinito con un sitio infinito de definición fue dada por Charles Rezk en 2010. [6]

Prueba completamente formal

En 2013 , Peter LeFanu Lumsdaine anunció una prueba bastante corta y completamente formal que utiliza la teoría de tipos de homotopía como fundamento matemático y una variante de Agda como asistente de prueba ; [7] esto se convirtió en el Teorema 8.10.2 de la Teoría de tipos de homotopía – Fundamentos univalentes de las matemáticas . [8] Esto induce una prueba interna para cualquier topos infinitos (es decir, sin referencia a un sitio de definición); en particular, da una nueva prueba del resultado original.

Referencias

  1. ^ Blakers, Albert L.; Massey, William S. (1949). "Los grupos de homotopía de una tríada". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 35 (6): 322–328. Bibcode :1949PNAS...35..322B. doi : 10.1073/pnas.35.6.322 . MR  0030757. PMC  1063027 . PMID  16588898.
  2. ^ Blakers, Albert L.; Massey, William S. (1951), "Los grupos de homotopía de una tríada. I", Anales de Matemáticas , (2), 53 (1): 161–204, doi :10.2307/1969346, JSTOR  1969346, MR  0038654
  3. ^ Hatcher, Allen , Topología algebraica, Teorema 4.23
  4. ^ Blakers, Albert L.; Massey, William S. (1953). "Los grupos de homotopía de una tríada. III". Anales de Matemáticas . (2). 58 (3): 409–417. doi :10.2307/1969744. JSTOR  1969744. MR  0058971.
  5. ^ ab Brown, Ronald ; Loday, Jean-Louis (1987). "Escisión homotópica y teoremas de Hurewicz para n -cubos de espacios". Actas de la London Mathematical Society . (3). 54 (1): 176–192. doi :10.1112/plms/s3-54.1.176. MR  0872255.
  6. ^ Rezk, Charles (2010). "Topos y topos de homotopía" (PDF) . Prop. 8.16.
  7. ^ "El teorema de Blakers-Massey en la teoría de tipos de homotopía (charla en la Conferencia sobre teoría de tipos, teoría de homotopía y fundamentos univalentes)". 2013.
  8. ^ The Univalent Foundations Program (2013). Teoría de tipos de homotopía: Fundamentos univalentes de las matemáticas. Instituto de Estudios Avanzados .

Enlaces externos