En matemáticas , el teorema de Gelfand-Naimark establece que una C*-álgebra A arbitraria es isométricamente *-isomorfa a una C*-subálgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert . Este resultado fue demostrado por Israel Gelfand y Mark Naimark en 1943 y fue un punto significativo en el desarrollo de la teoría de las C*-álgebras, ya que estableció la posibilidad de considerar una C*-álgebra como una entidad algebraica abstracta sin referencia a realizaciones particulares como un álgebra de operadores .
La representación de Gelfand–Naimark π es el espacio de Hilbert análogo de la suma directa de representaciones π f de A donde f abarca el conjunto de estados puros de A y π f es la representación irreducible asociada a f por la construcción GNS . Por lo tanto, la representación de Gelfand–Naimark actúa sobre la suma directa de Hilbert de los espacios de Hilbert H f por
π( x ) es un operador lineal acotado ya que es la suma directa de una familia de operadores, cada uno con norma ≤ || x ||.
Teorema . La representación de Gelfand–Naimark de un C*-álgebra es una *-representación isométrica.
Basta con mostrar que la función π es inyectiva , ya que para los *-morfismos de las C*-álgebras, inyectiva implica isométrica. Sea x un elemento distinto de cero de A. Por el teorema de extensión de Krein para funcionales lineales positivos , existe un estado f en A tal que f ( z ) ≥ 0 para todos los z no negativos en A y f (− x * x ) < 0. Considérese la representación GNS π f con el vector cíclico ξ. Ya que
de ello se deduce que π f (x) ≠ 0, por lo que π (x) ≠ 0, por lo que π es inyectiva.
La construcción de la representación de Gelfand–Naimark depende únicamente de la construcción GNS y, por lo tanto, tiene sentido para cualquier *-álgebra de Banach A que tenga una identidad aproximada . En general (cuando A no es una C*-álgebra) no será una representación fiel . La clausura de la imagen de π( A ) será una C*-álgebra de operadores llamada álgebra envolvente de C* de A . De manera equivalente, podemos definir el álgebra envolvente de C* de la siguiente manera: Definamos una función de valor real en A mediante
como f varía sobre estados puros de A . Esta es una seminorma, a la que nos referimos como la seminorma C* de A . El conjunto I de elementos de A cuya seminorma es 0 forma un ideal bilateral en A cerrado bajo involución. Por lo tanto, el espacio vectorial cociente A / I es un álgebra involutiva y la norma
factores a través de una norma sobre A / I , que, salvo por su completitud, es una norma C* sobre A / I (a veces se las llama normas pre-C*). Tomar la completitud de A / I en relación con esta norma pre-C* produce una C*-álgebra B .
Por el teorema de Kerin-Milman se puede demostrar sin demasiada dificultad que para x un elemento del *-álgebra de Banach A que tiene una identidad aproximada:
De ello se deduce que una forma equivalente para la norma C* en A es tomar el supremo anterior sobre todos los estados.
La construcción universal también se utiliza para definir C*-álgebras universales de isometrías.
Observación . La representación de Gelfand o isomorfismo de Gelfand para un C*-álgebra conmutativa con unidad es un *-isomorfismo isométrico de al álgebra de funciones complejas continuas en el espacio de funcionales lineales multiplicativos, que en el caso conmutativo son precisamente los estados puros, de A con la topología débil*.
![{\displaystyle \pi(x)[\bigoplus _{f}H_{f}]=\bigoplus _{f}\pi _{f}(x)H_{f}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95081fda4ca534e0dc15c765c9b4e604628c6c7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}\|\pi _{f}(x)\xi \|^{2}&=\langle \pi _{f}(x)\xi \mid \pi _{f }(x)\xi \rangle =\langle \xi \mid \pi _{f}(x^{*})\pi _{f}(x)\xi \rangle \\[6pt]&=\langle \xi \mid \pi _{f}(x^{*}x)\xi \rangle =f(x^{*}x)>0,\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd899623394b6032df1195d15b69ce29136865ad)
