Teorema de Gelfand-Raikov

El teorema de Gel'fand-Raikov (Гельфанд-Райков) es un teorema de las matemáticas de grupos topológicos localmente compactos . Afirma que un grupo localmente compacto está completamente determinado por sus representaciones unitarias (posiblemente de dimensión infinita) . El teorema se publicó por primera vez en 1943. ^{[1] [2]}

Una representación unitaria de un grupo localmente compacto en un espacio de Hilbert define para cada par de vectores una función continua en el coeficiente de la matriz , por ${\displaystyle \rho :G\to U(H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H=(H,\langle \,,\rangle )}$ ${\displaystyle h,k\in H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g\mapsto \langle h,\rho (g)k\rangle }$.

El conjunto de todos los coeficientes matriciales para todas las representaciones unitarias está cerrado bajo multiplicación escalar (porque podemos reemplazar ), suma (debido a representaciones de suma directa ), multiplicación (debido a representaciones tensoriales ) y conjugación compleja (debido a representaciones conjugadas complejas ). ${\displaystyle k\to \lambda k}$

El teorema de Gel'fand-Raikov establece ahora que los puntos de están separados por sus representaciones unitarias irreducibles, es decir, para dos elementos cualesquiera del grupo existe un espacio de Hilbert y una representación unitaria irreducible tal que . Los elementos de la matriz separan así puntos, y del teorema de Stone-Weierstrass se deduce que en cada subconjunto compacto del grupo, los elementos de la matriz son densos en el espacio de funciones continuas, que determinan el grupo por completo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g,h\in G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho :G\to U(H)}$ ${\displaystyle \rho (g)\neq \rho (h)}$

Ver también

• Teorema de Gelfand-Naimark
• Teoría de la representación

Referencias

1. И. M. Gelfánd, D. A. Райков, Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных групп, Матем. сб., 13(55):2–3 (1943), 301–316, (I. Gelfand, D. Raikov, "Representaciones unitarias irreducibles de grupos localmente bicompactos", Recueil Mathématique. NS, 13(55):2– 3 (1943), 301–316)
2. Yoshizawa, Hisaaki. "Representaciones unitarias de grupos localmente compactos. Reproducción del teorema de Gelfand-Raikov". Revista de Matemáticas de Osaka 1.1 (1949): 81–89.