Teoría de Nevanlinna

En el campo matemático del análisis complejo , la teoría de Nevanlinna forma parte de la teoría de funciones meromórficas . Fue ideado en 1925, por Rolf Nevanlinna . Hermann Weyl lo llamó "uno de los pocos grandes acontecimientos matemáticos del siglo (XX)". ^[1] La teoría describe la distribución asintótica de las soluciones de la ecuación f ( z ) = a , a medida que a varía. Una herramienta fundamental es la característica de Nevanlinna T ( r , f ) que mide la tasa de crecimiento de una función meromórfica.

Otros contribuyentes principales en la primera mitad del siglo XX fueron Lars Ahlfors , André Bloch , Henri Cartan , Edward Collingwood , Otto Frostman , Frithiof Nevanlinna , Henrik Selberg , Tatsujiro Shimizu, Oswald Teichmüller y Georges Valiron . En su forma original, la teoría de Nevanlinna trata de funciones meromórficas de una variable compleja definida en un disco. z | ≤ R o en todo el plano complejo ( R  = ∞). Las generalizaciones posteriores extendieron la teoría de Nevanlinna a funciones algebroides, curvas holomorfas , mapas holomórficos entre variedades complejas de dimensión arbitraria, mapas cuasiregulares y superficies mínimas .

Este artículo describe principalmente la versión clásica para funciones meromorfas de una variable, con énfasis en funciones meromorfas en el plano complejo. Las referencias generales para esta teoría son Goldberg & Ostrovskii, ^[2] Hayman ^[3] y Lang (1987).

Característica de Nevanlinna

La definición original de Nevanlinna

Sea f una función meromórfica. Para cada r  ≥ 0, sea n ( r , f ) el número de polos, contando la multiplicidad, de la función meromorfa f en el disco | z | ≤r . _ Luego defina la función de conteo de Nevanlinna mediante

${\displaystyle N(r,f)=\int \limits _{0}^{r}\left(n(t,f)-n(0,f)\right){\dfrac {dt}{t}}+n(0,f)\log r.\,}$

Esta cantidad mide el crecimiento del número de polos en los discos. z | ≤ r , a medida que r aumenta. Explícitamente, sean a ₁ ,  a ₂ , ...,  an _n los polos de ƒ en el disco perforado 0 < | z | ≤ r repetido según multiplicidad. Entonces n = n ( r , f ) - n (0, f ), y

${\displaystyle N(r,f)=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+n(0,f)\log r.\,}$

Sea log ⁺ x  = max(log  x , 0). Entonces la función de proximidad está definida por

${\displaystyle m(r,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}\left|f(re^{i\theta })\right|d\theta .\,}$

Finalmente, defina la característica de Nevanlinna por (cf. fórmula de Jensen para funciones meromórficas)

${\displaystyle T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).\,}$

Versión Ahlfors-Shimizu

Un segundo método para definir la característica de Nevanlinna se basa en la fórmula

${\displaystyle \int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1),\,}$

donde dm es el elemento de área en el plano. La expresión del lado izquierdo se llama característica de Ahlfors-Shimizu. El término acotado O (1) no es importante en la mayoría de las preguntas.

El significado geométrico de la característica Ahlfors-Shimizu es el siguiente. La integral interior dm es el área esférica de la imagen del disco | z | ≤ t , contando multiplicidad (es decir, las partes de la esfera de Riemann cubiertas k veces se cuentan k veces). Esta área se divide por π , que es el área de toda la esfera de Riemann. El resultado puede interpretarse como el número medio de láminas que cubren la esfera de Riemann por el disco | z | ≤t . _ Luego este número de cobertura promedio se integra con respecto a t con peso 1/ t .

Propiedades

El papel de la función característica en la teoría de las funciones meromórficas en el plano es similar al de

${\displaystyle \log M(r,f)=\log \max _{|z|\leq r}|f(z)|\,}$

en la teoría de funciones enteras . De hecho, es posible comparar directamente T ( r , f ) y M ( r , f ) para una función completa:

${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\,}$

y

${\displaystyle \log M(r,f)\leq \left({\dfrac {R+r}{R-r}}\right)T(R,f),\,}$

para cualquier R  >  r .

Si f es una función racional de grado d , entonces T ( r , f ) ~  d  log  r ; de hecho, T ( r , f ) =  O (log  r ) si y sólo si f es una función racional.

El orden de una función meromórfica está definido por

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log ^{+}T(r,f)}{\log r}}.}$

Las funciones de orden finito constituyen una subclase importante que fue muy estudiada.

Cuando el radio R del disco | z | ≤ R , en el que se define la función meromorfa, es finita, la característica de Nevanlinna puede estar acotada. Las funciones en un disco con característica acotada, también conocidas como funciones de tipo acotado , son exactamente aquellas funciones que son razones de funciones analíticas acotadas. Las funciones de tipo acotado también pueden definirse así para otro dominio, como el semiplano superior .

Primer teorema fundamental

Sea a  ∈  C y defina

${\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right).\,}$

Para a  = ∞, establecemos N ( r ,∞, f ) =  N ( r , f ), m ( r ,∞, f ) =  m ( r , f ).

El primer teorema fundamental de la teoría de Nevanlinna establece que para cada a en la esfera de Riemann ,

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}$

donde el término acotado O (1) puede depender de f y a . ^[4] Para funciones meromorfas no constantes en el plano, T ( r ,  f ) tiende al infinito cuando r tiende al infinito, por lo que el Primer Teorema Fundamental dice que la suma N ( r , a , f ) +  m ( r , a , f ), tiende al infinito a una velocidad que es independiente de a . El primer teorema fundamental es una simple consecuencia de la fórmula de Jensen .

La función característica tiene las siguientes propiedades del grado:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}}$

donde m es un número natural. El término acotado O (1) es insignificante cuando T ( r , f ) tiende al infinito. Estas propiedades algebraicas se obtienen fácilmente a partir de la definición de Nevanlinna y la fórmula de Jensen.

Segundo teorema fundamental

Definimos N ( r ,  f ) de la misma manera que N ( r , f ) pero sin tener en cuenta la multiplicidad (es decir, solo contamos el número de polos distintos). Entonces N ₁ ( r , f ) se define como la función de conteo de Nevanlinna de los puntos críticos de f , es decir

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)=N(r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).\,}$

El Segundo Teorema Fundamental dice que para cada k valores distintos _aj en la esfera de Riemann, tenemos

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).\,}$

Esto implica

${\displaystyle (k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),\,}$

donde S ( r , f ) es un "término de error pequeño".

Para funciones meromorfas en el plano, S ( r , f ) = o( T ( r , f )), fuera de un conjunto de longitud finita, es decir, el término de error es pequeño en comparación con la característica para "la mayoría" de los valores de r . Se conocen estimaciones mucho mejores del término de error, pero André Bloch hizo conjeturas y Hayman demostró que no se puede disponer de un conjunto excepcional.

El Segundo Teorema Fundamental permite dar un límite superior para la función característica en términos de N ( r , a ). Por ejemplo, si f es una función entera trascendental, usando el Segundo Teorema Fundamental con k  = 3 y a ₃  = ∞, obtenemos que f toma todos los valores infinitamente veces, con como máximo dos excepciones, demostrando el Teorema de Picard .

La demostración original de Nevanlinna del Segundo Teorema Fundamental se basó en el llamado Lema de la derivada logarítmica , que dice que m ( r , f' / f ) =  S ( r , f ). Una prueba similar se aplica también a muchas generalizaciones multidimensionales. También hay pruebas de geometría diferencial que lo relacionan con el teorema de Gauss-Bonnet . El Segundo Teorema Fundamental también puede derivarse de la teoría métrico-topológica de Ahlfors , que puede considerarse como una extensión de la fórmula de Riemann-Hurwitz a las coberturas de grado infinito.

Las demostraciones de Nevanlinna y Ahlfors indican que la constante 2 en el Segundo Teorema Fundamental está relacionada con la característica de Euler de la esfera de Riemann. Sin embargo, existe una explicación muy diferente de esto 2, basada en una profunda analogía con la teoría de números descubierta por Charles Osgood y Paul Vojta . Según esta analogía, 2 es el exponente del teorema de Thue-Siegel-Roth . Sobre esta analogía con la teoría de números nos remitimos al estudio de Lang (1987) y al libro de Ru (2001).

Relación de defecto

La relación de defectos es uno de los principales corolarios del Segundo Teorema Fundamental. El defecto de una función meromorfa en el punto a está definido por la fórmula

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.\,}$

Según el primer teorema fundamental, 0 ≤  δ ( a , f ) ≤ 1, si T ( r , f ) tiende al infinito (que es siempre el caso de funciones meromorfas no constantes en el plano). Los puntos a para los cuales δ ( a , f ) > 0 se denominan valores deficientes . El Segundo Teorema Fundamental implica que el conjunto de valores deficientes de una función meromorfa en el plano es como mucho contable y se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,}$

donde la sumatoria es sobre todos los valores deficientes. ^[5] Esto puede considerarse como una generalización del teorema de Picard . Muchos otros teoremas de tipo Picard pueden derivarse del Segundo Teorema Fundamental.

Como otro corolario del Segundo Teorema Fundamental, se puede obtener que

${\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,}$

que generaliza el hecho de que una función racional de grado d tiene 2 d  − 2 < 2 d puntos críticos.

Aplicaciones

La teoría de Nevanlinna es útil en todas las cuestiones donde surgen funciones meromórficas trascendentales, como la teoría analítica de ecuaciones diferenciales y funcionales ^{[6] [7] ,} dinámica holomorfa , superficies mínimas y geometría hiperbólica compleja, que trata de generalizaciones del teorema de Picard a dimensiones superiores. ^[8]

Mayor desarrollo

Una parte sustancial de la investigación sobre funciones de una variable compleja en el siglo XX se centró en la teoría de Nevanlinna. Una dirección de esta investigación fue descubrir si las principales conclusiones de la teoría de Nevanlinna son las mejores posibles. Por ejemplo, la teoría del Problema Inverso de Nevanlinna consiste en construir funciones meromórficas con deficiencias preasignadas en puntos dados. Esto fue resuelto por David Drasin en 1976. ^[9] Otra dirección se concentró en el estudio de varias subclases de la clase de todas las funciones meromórficas en el plano. La subclase más importante consta de funciones de orden finito. Resulta que para esta clase, las deficiencias están sujetas a varias restricciones, además de la relación de defecto (Norair Arakelyan, David Drasin, Albert Edrei, Alexandre Eremenko , Wolfgang Fuchs , Anatolii Goldberg , Walter Hayman , Joseph Miles, Daniel Shea, Oswald Teichmüller , Alan Weitsman y otros).

Henri Cartan , Joachim y Hermann Weyl ^[1] y Lars Ahlfors ampliaron la teoría de Nevanlinna a las curvas holomorfas . Esta extensión es la herramienta principal de Geometría Hiperbólica Compleja. ^[10] Henrik Selberg y Georges Valiron ampliaron la teoría de Nevanlinna a funciones algebroides . ^[11] Aún continúa la investigación intensiva en la teoría unidimensional clásica. ^[12]

Ver también

• La conjetura de Vojta

Referencias

1. H. Weyl (1943). Funciones meromórficas y curvas analíticas . Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 8.
2. Goldberg, A .; Ostrovskii, I. (2008). Distribución de valores de funciones meromórficas . Sociedad Matemática Estadounidense .
3. Hayman, W. (1964). Funciones meromórficas . Prensa de la Universidad de Oxford .
4. Ru (2001) p.5
5. Ru (2001) p.61
6. Ilpo Laine (1993). Teoría de Nevanlinna y ecuaciones diferenciales complejas . Berlín: Walter de Gruyter .
7. Eremenko, A. (1982). "Soluciones meromórficas de ecuaciones diferenciales algebraicas". Encuestas matemáticas rusas . 37 (4): 61–95. Código bibliográfico : 1982RuMaS..37...61E. CiteSeerX 10.1.1.139.8499 . doi :10.1070/RM1982v037n04ABEH003967. 
8. Lang (1987) p.39
9. Drasin, David (1976). "El problema inverso de la teoría de Nevanlinna". Acta Matemáticas. 138 (1): 83-151. doi : 10.1007/BF02392314 . SEÑOR  0585644.
10. Lang (1987) capítulo VII
11. Valiron, G. (1931). "Sur la derivaée des fonctions algébroïdes". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . vol. 59, págs. 17–39.
12. A. Eremenko y J. Langley (2008). Funciones meromórficas de una variable compleja. Una encuesta apareció como apéndice de Goldberg, A .; Ostrovskii, I. (2008). Distribución de valores de funciones meromórficas . Sociedad Matemática Estadounidense .

• Lang, Serge (1987). Introducción a los espacios hiperbólicos complejos . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96447-8. Zbl  0628.32001.
• Lang, Serge (1997). Estudio de la geometría diofántica . Springer-Verlag . págs. 192-204. ISBN 978-3-540-61223-0. Zbl  0869.11051.
• Nevanlinna, Rolf (1925), "Zur Theorie der Meromorphen Funktionen", Acta Mathematica , 46 (1–2): 1–99, doi : 10.1007/BF02543858 , ISSN  0001-5962
• Nevanlinna, Rolf (1970) [1936], Funciones analíticas, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 162, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0279280
• Ru, Min (2001). Teoría de Nevanlinna y su relación con la aproximación diofántica . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 978-981-02-4402-6.

Otras lecturas

• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). "13. Teoría de Nevanlinna". Alturas en Geometría Diofántica . Nuevas monografías matemáticas. vol. 4. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 444–478. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl  1115.11034.
• Kodaira, Kunihiko (2017). Teoría de Nevanlinna . SpringerBriefs en Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 978-981-10-6786-0. Zbl  1386.30002.
• Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1239. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-17551-3. Zbl  0609.14011.
• Vojta, Paul (2011). "Aproximación diofántica y teoría de Nevanlinna". En Corvaja, Pietro; Gasbarri, Carlo (eds.). Geometría aritmética. Conferencias impartidas en la escuela de verano del CIME, Cetraro, Italia, 10 al 15 de septiembre de 2007 . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 2009. Berlín: Springer-Verlag . págs. 111-224. ISBN 978-3-642-15944-2. Zbl  1258.11076.

enlaces externos

• Petrenko, VP (2001) [1994], "Teoría de la distribución del valor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Petrenko, VP (2001) [1994], "Teoremas de Nevanlinna", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press