En matemáticas , el teorema de desaparición de Kodaira es un resultado básico de la teoría de variedades complejas y la geometría algebraica compleja , que describe las condiciones generales bajo las cuales los grupos de cohomología de haces con índices q > 0 son automáticamente cero. Las implicaciones para el grupo con índice q = 0 es usualmente que su dimensión —el número de secciones globales independientes— coincide con una característica de Euler holomorfa que puede ser calculada usando el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch .
El enunciado del resultado de Kunihiko Kodaira es que si M es una variedad de Kähler compacta de dimensión compleja n , L cualquier fibrado lineal holomorfo en M que sea positivo , y K M es el fibrado lineal canónico , entonces
para q > 0. Aquí representa el producto tensorial de los fibrados de líneas . Por medio de la dualidad de Serre , también se obtiene la desaparición de para q < n . Hay una generalización, el teorema de desaparición de Kodaira–Nakano , en el que , donde Ω n ( L ) denota el haz de formas ( n ,0) -holomorfas en M con valores en L , se reemplaza por Ω r ( L ), el haz de formas ( r ,0)-holomorfas con valores en L . Entonces el grupo de cohomología H q ( M , Ω r ( L )) se desvanece siempre que q + r > n .
El teorema de desaparición de Kodaira se puede formular en el lenguaje de la geometría algebraica sin ninguna referencia a métodos trascendentales como las métricas de Kähler. La positividad del fibrado lineal L se traduce en que el haz invertible correspondiente es amplio (es decir, alguna potencia tensorial da una incrustación proyectiva). El teorema de desaparición algebraico de Kodaira–Akizuki–Nakano es el siguiente enunciado:
Raynaud (1978) demostró que este resultado no siempre se cumple en campos de característica p > 0, y en particular falla para superficies de Raynaud . Posteriormente, Sommese (1986) dio un contraejemplo para variedades singulares con singularidades no logarítmicas canónicas, [1] y también, Lauritzen y Rao (1997) dieron contraejemplos elementales inspirados en espacios homogéneos propios con estabilizadores no reducidos.
Hasta 1987, la única prueba conocida en la característica cero se basaba en la prueba analítica compleja y en los teoremas de comparación GAGA . Sin embargo, en 1987 Pierre Deligne y Luc Illusie dieron una prueba puramente algebraica del teorema de desaparición en (Deligne & Illusie 1987). Su prueba se basa en demostrar que la secuencia espectral de Hodge-de Rham para la cohomología de De Rham algebraica degenera en grado 1. Esto se demuestra extrayendo un resultado más específico correspondiente de la característica p > 0 — el resultado de la característica positiva no se cumple sin limitaciones, pero se puede extraer para proporcionar el resultado completo.
Históricamente, el teorema de incrustación de Kodaira se derivó con la ayuda del teorema de desaparición. Con la aplicación de la dualidad de Serre, la desaparición de varios grupos de cohomología de haces (generalmente relacionados con el fibrado de líneas canónico) de curvas y superficies ayuda con la clasificación de variedades complejas, por ejemplo, la clasificación de Enriques-Kodaira .
