Teoría de absorción de Wheeler-Feynman

Interpretación de la electrodinámica

La teoría de absorción de Wheeler-Feynman (también llamada teoría simétrica temporal de Wheeler-Feynman ), llamada así por sus creadores, los físicos Richard Feynman y John Archibald Wheeler , es una teoría de la electrodinámica basada en una extensión relativista correcta de la acción de partículas electrónicas a distancia . La teoría no postula ningún campo electromagnético independiente. Más bien, toda la teoría está encapsulada por la acción invariante de Lorentz de las trayectorias de partículas definidas como ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a^{\mu }(\tau ),\,\,b^{\mu }(\tau ),\,\,\cdots }$

${\displaystyle S=-\sum _{a}m_{a}c\int {\sqrt {-da_{\mu }da^{\mu }}}+\sum _{a<b}{\frac {e_{a}e_{b}}{c}}\int \int da_{\nu }db^{\nu }\,\delta ^{4}(ab_{\mu }ab^{\mu }),}$

dónde . ${\displaystyle ab_{\mu }\equiv a_{\mu }-b_{\mu }}$

La teoría del absorbedor es invariante bajo la transformación de inversión temporal , lo que es coherente con la falta de cualquier base física para la ruptura de la simetría por inversión temporal microscópica. Otro principio clave resultante de esta interpretación, y que recuerda un poco al principio de Mach y al trabajo de Hugo Tetrode , es que las partículas elementales no interactúan consigo mismas. Esto elimina de inmediato el problema de la autoenergía del electrón , que da una infinitud en la energía de un campo electromagnético. ^[1]

Motivación

Wheeler y Feynman comienzan observando que la teoría clásica del campo electromagnético fue diseñada antes del descubrimiento de los electrones: la carga es una sustancia continua en la teoría. Una partícula de electrones no encaja naturalmente en la teoría: ¿debería una carga puntual ver el efecto de su propio campo? Reconsideran el problema fundamental de una colección de cargas puntuales, tomando una teoría de acción a distancia sin campo desarrollada por separado por Karl Schwarzschild , ^[2] Hugo Tetrode , ^[3] y Adriaan Fokker . ^[4] A diferencia de las teorías de acción instantánea a distancia de principios del siglo XIX, estas teorías de "interacción directa" se basan en la propagación de la interacción a la velocidad de la luz . Se diferencian de la teoría clásica del campo en tres formas: 1) no se postula ningún campo independiente; 2) las cargas puntuales no actúan sobre sí mismas; 3) las ecuaciones son simétricas en el tiempo . Wheeler y Feynman proponen desarrollar estas ecuaciones en una generalización relativistamente correcta del electromagnetismo basada en la mecánica newtoniana. ^[5]

Problemas con las teorías previas de interacción directa

El trabajo de Tetrode-Fokker dejó sin resolver dos problemas importantes. ^{[6] : 171} En primer lugar, en una teoría de acción no instantánea a distancia, la igualdad de acción y reacción de las leyes de movimiento de Newton entra en conflicto con la causalidad. Si una acción se propaga hacia adelante en el tiempo, la reacción se propagaría necesariamente hacia atrás en el tiempo. En segundo lugar, las explicaciones existentes de la fuerza de reacción de la radiación o la resistencia a la radiación dependían de la interacción de electrones acelerados con su propio campo; los modelos de interacción directa omiten explícitamente la autointeracción.

Absorbente y resistencia a la radiación

Wheeler y Feynman postulan el "universo" de todos los demás electrones como un absorbedor de radiación para superar estos problemas y ampliar las teorías de interacción directa. En lugar de considerar una carga puntual aislada no física, modelan todas las cargas del universo con un absorbedor uniforme en una capa alrededor de una carga. A medida que la carga se mueve en relación con el absorbedor, irradia hacia el absorbedor que "empuja hacia atrás", lo que provoca la resistencia a la radiación. ^[6]

Resultado clave

Feynman y Wheeler obtuvieron su resultado de una manera muy simple y elegante. Consideraron todas las partículas cargadas (emisores) presentes en nuestro universo y asumieron que todas ellas generaban ondas simétricas con inversión temporal. El campo resultante es

${\displaystyle E_{\text{tot}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}.}$

Luego observaron que si la relación

${\displaystyle E_{\text{free}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}=0}$

se cumple, entonces , al ser una solución de la ecuación homogénea de Maxwell, se puede utilizar para obtener el campo total ${\displaystyle E_{\text{free}}}$

${\displaystyle E_{\text{tot}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}+\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}=\sum _{n}E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t).}$

El campo total es entonces el campo retardado puro observado. ^{[6] : 173}

La suposición de que el campo libre es idénticamente cero es el núcleo de la idea del absorbedor. Esto significa que la radiación emitida por cada partícula es absorbida completamente por todas las demás partículas presentes en el universo. Para entender mejor este punto, puede ser útil considerar cómo funciona el mecanismo de absorción en materiales comunes. A escala microscópica, resulta de la suma de la onda electromagnética entrante y las ondas generadas por los electrones del material, que reaccionan a la perturbación externa. Si la onda entrante es absorbida, el resultado es un campo saliente cero. Sin embargo, en la teoría del absorbedor se utiliza el mismo concepto en presencia de ondas retardadas y avanzadas.

Flecha de la ambigüedad del tiempo

La onda resultante parece tener una dirección temporal preferida, porque respeta la causalidad. Sin embargo, esto es sólo una ilusión. De hecho, siempre es posible invertir la dirección temporal simplemente intercambiando las etiquetas de emisor y absorbedor . Por lo tanto, la dirección temporal aparentemente preferida resulta del etiquetado arbitrario. ^{[7] : 52} Wheeler y Feynman afirmaron que la termodinámica eligió la dirección observada; también se han propuesto selecciones cosmológicas. ^[8]

El requisito de simetría de inversión temporal, en general, es difícil de conciliar con el principio de causalidad . Las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones para ondas electromagnéticas tienen, en general, dos posibles soluciones: una solución retardada (retardada) y una avanzada. En consecuencia, cualquier partícula cargada genera ondas, por ejemplo en el tiempo y punto , que llegarán al punto en el instante (aquí está la velocidad de la luz), después de la emisión (solución retardada), y otras ondas, que llegarán al mismo lugar en el instante , antes de la emisión (solución avanzada). Esto último, sin embargo, viola el principio de causalidad: las ondas avanzadas podrían detectarse antes de su emisión. Por lo tanto, las soluciones avanzadas suelen descartarse en la interpretación de las ondas electromagnéticas. ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle t_{1}=x_{1}/c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t_{2}=-x_{1}/c}$

En la teoría del absorbedor, en cambio, las partículas cargadas se consideran tanto emisoras como absorbentes, y el proceso de emisión está conectado con el proceso de absorción de la siguiente manera: se consideran tanto las ondas retardadas del emisor al absorbedor como las ondas avanzadas del absorbedor al emisor. Sin embargo, la suma de las dos da como resultado ondas causales , aunque las soluciones anticausales (avanzadas) no se descartan a priori .

Alternativamente, la forma en que Wheeler/Feynman llegaron a la ecuación primaria es la siguiente: supusieron que su lagrangiano solo interactuaba cuando y donde los campos de las partículas individuales estaban separados por un tiempo propio de cero. Entonces, dado que solo las partículas sin masa se propagan desde la emisión hasta la detección con una separación de tiempo propio cero, este lagrangiano exige automáticamente una interacción de tipo electromagnético.

Nueva interpretación de la amortiguación de la radiación

Uno de los principales resultados de la teoría del absorbedor es la interpretación elegante y clara del proceso de radiación electromagnética. Se sabe que una partícula cargada que experimenta aceleración emite ondas electromagnéticas, es decir, pierde energía. Por lo tanto, la ecuación newtoniana para la partícula ( ) ${\displaystyle F=ma}$ debe contener una fuerza disipativa (término de amortiguamiento), que tenga en cuenta esta pérdida de energía. En la interpretación causal del electromagnetismo, Hendrik Lorentz y Max Abraham propusieron que dicha fuerza, posteriormente llamada fuerza de Abraham-Lorentz , se debe a la autointeracción retardada de la partícula con su propio campo. Esta primera interpretación, sin embargo, no es completamente satisfactoria, ya que conduce a divergencias en la teoría y necesita algunas suposiciones sobre la estructura de la distribución de carga de la partícula. Paul Dirac generalizó la fórmula para hacerla relativistamente invariante. Al hacerlo, también sugirió una interpretación diferente. Demostró que el término de amortiguamiento puede expresarse en términos de un campo libre que actúa sobre la partícula en su propia posición:

${\displaystyle E^{\text{damping}}(\mathbf {x} _{j},t)={\frac {E_{j}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)-E_{j}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}.}$

Sin embargo, Dirac no propuso ninguna explicación física de esta interpretación.

En cambio, una explicación clara y sencilla se puede obtener en el marco de la teoría de los absorbentes, partiendo de la idea sencilla de que cada partícula no interactúa consigo misma. Esto es en realidad lo opuesto a la primera propuesta de Abraham-Lorentz. El campo que actúa sobre la partícula en su propia posición (el punto ) es entonces ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}.}$

Si sumamos el término de campo libre de esta expresión, obtenemos

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}+\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}}$

y, gracias al resultado de Dirac,

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E^{\text{damping}}(\mathbf {x} _{j},t).}$

De esta forma, la fuerza de amortiguamiento se obtiene sin necesidad de autointeracción, que se sabe que conduce a divergencias, y dando además una justificación física a la expresión derivada de Dirac.

Evolución desde la formulación original

Teoría de la gravedad

Inspirados por la naturaleza machista de la teoría de absorción de Wheeler-Feynman para la electrodinámica, Fred Hoyle y Jayant Narlikar propusieron su propia teoría de la gravedad ^{[9] [10] [8]} en el contexto de la relatividad general . Este modelo todavía existe a pesar de las recientes observaciones astronómicas que han desafiado la teoría. ^[11] Stephen Hawking había criticado la teoría original de Hoyle-Narlikar creyendo que las ondas avanzadas que se alejaban hacia el infinito conducirían a una divergencia, como de hecho ocurriría, si el universo solo se estuviera expandiendo.

Interpretación transaccional de la mecánica cuántica

Nuevamente inspirada en la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman, la interpretación transaccional de la mecánica cuántica (TIQM), propuesta por primera vez en 1986 por John G. Cramer , ^{[12] [13]} describe las interacciones cuánticas en términos de una onda estacionaria formada por ondas retardadas (hacia adelante en el tiempo) y avanzadas (hacia atrás en el tiempo). Cramer afirma que evita los problemas filosóficos con la interpretación de Copenhague y el papel del observador, y resuelve varias paradojas cuánticas, como la no localidad cuántica , el entrelazamiento cuántico y la retrocausalidad . ^{[14] [15]}

Intento de resolución de causalidad

TC Scott y RA Moore demostraron que la aparente acausalidad sugerida por la presencia de potenciales avanzados de Liénard-Wiechert podría eliminarse reformulando la teoría en términos de potenciales retardados solamente, sin las complicaciones de la idea del absorbedor. ^{[16] [17]} El lagrangiano que describe una partícula ( ) bajo la influencia del potencial simétrico en el tiempo generado por otra partícula ( ) es ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

${\displaystyle L_{1}=T_{1}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{1}^{2}+(V_{A})_{1}^{2}\right),}$

donde es la energía cinética relativista funcional de la partícula , y y son respectivamente los potenciales de Liénard-Wiechert retardado y avanzado que actúan sobre la partícula y generados por la partícula . El lagrangiano correspondiente para la partícula es ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (V_{R})_{i}^{j}}$ ${\displaystyle (V_{A})_{i}^{j}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

${\displaystyle L_{2}=T_{2}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{2}^{1}+(V_{A})_{2}^{1}\right).}$

Se demostró originalmente con álgebra computacional ^[18] y luego se demostró analíticamente ^[19] que

${\displaystyle (V_{R})_{j}^{i}-(V_{A})_{i}^{j}}$

es una derivada temporal total, es decir, una divergencia en el cálculo de variaciones y, por lo tanto, no aporta ninguna contribución a las ecuaciones de Euler-Lagrange . Gracias a este resultado, se pueden eliminar los potenciales avanzados; aquí la derivada total desempeña el mismo papel que el campo libre . Por lo tanto, el lagrangiano para el sistema de N cuerpos es

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{N}T_{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}(V_{R})_{j}^{i}.}$

El lagrangiano resultante es simétrico bajo el intercambio de con . Porque este lagrangiano generará exactamente las mismas ecuaciones de movimiento de y . Por lo tanto, desde el punto de vista de un observador externo , todo es causal. Esta formulación refleja la simetría partícula-partícula con el principio variacional aplicado al sistema de N partículas en su conjunto, y por lo tanto el principio de Machian de Tetrode. ^[19] Sólo si aislamos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo particular hacen su aparición los potenciales avanzados. Esta reformulación del problema tiene un precio: el lagrangiano de N cuerpos depende de todas las derivadas temporales de las curvas trazadas por todas las partículas, es decir, el lagrangiano es de orden infinito. Sin embargo, se avanzó mucho en el examen de la cuestión no resuelta de la cuantización de la teoría. ^{[20] [21] [22]} Además, esta formulación recupera el lagrangiano de Darwin , del que se derivó originalmente la ecuación de Breit , pero sin los términos disipativos. ^[19] Esto asegura la concordancia con la teoría y el experimento, hasta pero sin incluir el desplazamiento de Lamb . También se encontraron soluciones numéricas para el problema clásico. ^[23] Además, Moore demostró que un modelo de Feynman y Albert Hibbs es susceptible a los métodos de Lagrangianos de orden superior al primero y reveló soluciones caóticas. ^[24] Moore y Scott ^[16] demostraron que la reacción de radiación se puede derivar alternativamente utilizando la noción de que, en promedio, el momento dipolar neto es cero para una colección de partículas cargadas, evitando así las complicaciones de la teoría del absorbedor. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

Esta aparente acausalidad puede considerarse meramente aparente y todo el problema desaparecerá. Einstein sostuvo una opinión opuesta. ^{[ cita requerida ]}

Cálculo alternativo del desplazamiento de Lamb

Como se mencionó anteriormente, una crítica seria contra la teoría del absorbedor es que su suposición machista de que las partículas puntuales no actúan sobre sí mismas no permite energías propias (infinitas) y, en consecuencia, una explicación para el desplazamiento de Lamb según la electrodinámica cuántica (EDQ). Ed Jaynes propuso un modelo alternativo donde el desplazamiento de tipo Lamb se debe en cambio a la interacción con otras partículas en gran medida siguiendo las mismas nociones de la propia teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman. Un modelo simple es calcular el movimiento de un oscilador acoplado directamente con muchos otros osciladores. Jaynes ha demostrado que es fácil obtener tanto la emisión espontánea como el comportamiento del desplazamiento de Lamb en la mecánica clásica. ^[25] Además, la alternativa de Jaynes proporciona una solución al proceso de "suma y resta de infinitos" asociado con la renormalización . ^[26]

Este modelo conduce al mismo tipo de logaritmo de Bethe (una parte esencial del cálculo del desplazamiento de Lamb), lo que reivindica la afirmación de Jaynes de que dos modelos físicos diferentes pueden ser matemáticamente isomorfos entre sí y, por lo tanto, producir los mismos resultados, un punto también aparentemente planteado por Scott y Moore sobre la cuestión de la causalidad.

Relación con la teoría cuántica de campos

Esta teoría del absorbedor universal se menciona en el capítulo titulado "Monster Minds" en la obra autobiográfica de Feynman Surely You're Joking, Mr. Feynman! y en el Vol. II de las Feynman Lectures on Physics . Condujo a la formulación de un marco de mecánica cuántica utilizando un lagrangiano y una acción como puntos de partida, en lugar de un hamiltoniano, es decir, la formulación utilizando integrales de trayectoria de Feynman , que resultó útil en los primeros cálculos de Feynman en electrodinámica cuántica y teoría cuántica de campos en general. Tanto los campos retardados como los avanzados aparecen respectivamente como propagadores retardados y avanzados y también en el propagador de Feynman y el propagador de Dyson. ^{[ cita requerida ]} En retrospectiva, la relación entre los potenciales retardados y avanzados que se muestra aquí no es tan sorprendente en vista del hecho de que, en la teoría cuántica de campos, el propagador avanzado se puede obtener del propagador retardado intercambiando los roles de fuente de campo y partícula de prueba (generalmente dentro del núcleo de un formalismo de función de Green ). En la teoría cuántica de campos, los campos avanzados y retardados se consideran simplemente soluciones matemáticas de las ecuaciones de Maxwell cuyas combinaciones están decididas por las condiciones de contorno . ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Fuerza de Abraham-Lorentz
• Causalidad
• Paradoja de la radiación de partículas cargadas en un campo gravitacional
• Retrocausalidad
• Simetría en física y simetría T
• Interpretación transaccional
• Formalismo vectorial de dos estados

Notas

1. Wheeler, JA; Feynman, RP (julio de 1949). "Electrodinámica clásica en términos de acción directa entre partículas". Reseñas de física moderna . 21 (3): 425–433. Bibcode :1949RvMP...21..425W. doi : 10.1103/RevModPhys.21.425 .
2. K. Schwarzschild, Nachr. ges. Wiss. Göttingen (1903) 128.132
3. H. Tetrode, Zeitschrift für Physik 10:137, 1922
4. AD Fokker, Zeitschrift für Physik 58:386, 1929
5. Wheeler, John Archibald; Feynman, Richard Phillips (1 de julio de 1949). "Electrodinámica clásica en términos de acción directa entre partículas". Reseñas de física moderna . 21 (3): 425–433. Bibcode :1949RvMP...21..425W. doi : 10.1103/RevModPhys.21.425 . ISSN  0034-6861.
6. Narlikar, JV (septiembre de 2003). "Acción a distancia y cosmología: una perspectiva histórica". Revista anual de astronomía y astrofísica . 41 (1): 169–189. Bibcode :2003ARA&A..41..169N. doi :10.1146/annurev.astro.41.112202.151716. ISSN  0066-4146.
7. Price, Huw (1997). La flecha del tiempo y la punta de Arquímedes: nuevas direcciones para la física del tiempo . Oxford paperbacks (1.ª edición en rústica de Oxford Univ. Press). Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-511798-1.
8. Hoyle, F.; Narlikar, JV (1995). "Cosmología y electrodinámica de acción a distancia" (PDF) . Reseñas de Física Moderna . 67 (1): 113–155. Código Bibliográfico :1995RvMP...67..113H. doi :10.1103/RevModPhys.67.113. Archivado desde el original (PDF) el 2022-11-05 . Consultado el 2018-11-04 .
9. F. Hoyle; JV Narlikar (1964). "Una nueva teoría de la gravitación". Actas de la Royal Society A . 282 (1389): 191–207. Código Bibliográfico :1964RSPSA.282..191H. doi :10.1098/rspa.1964.0227. S2CID  59402270.
10. "Cosmología: matemáticas más Mach equivalen a gravedad extrema". Time . 26 de junio de 1964. Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2011 . Consultado el 7 de agosto de 2010 .
11. Edward L. Wright. "Errores en los modelos de estado estacionario y cuasi-SS" . Consultado el 7 de agosto de 2010 .
12. Cramer, John G. (julio de 1986). "La interpretación transaccional de la mecánica cuántica". Reseñas de física moderna . 58 (3): 647–688. Bibcode :1986RvMP...58..647C. doi :10.1103/RevModPhys.58.647.
13. Cramer, John G. (febrero de 1988). "Una visión general de la interpretación transaccional" (PDF) . Revista internacional de física teórica . 27 (2): 227–236. Bibcode :1988IJTP...27..227C. doi :10.1007/BF00670751. S2CID  18588747.
14. Cramer, John G. (3 de abril de 2010). "Enredo cuántico, no localidad, mensajes retrospectivos" (PPT) . Página de inicio de John G. Cramer . Universidad de Washington.
15. Cramer, John G. (2016). El apretón de manos cuántico: entrelazamiento, no localidad y transacciones . Springer Science+Business Media. ISBN 978-3319246406.
16. Moore, RA; Scott, TC; Monagan, MB (1987). "Lagrangiano relativista de múltiples partículas para interacciones electromagnéticas". Physical Review Letters . 59 (5): 525–527. Bibcode :1987PhRvL..59..525M. doi :10.1103/PhysRevLett.59.525. PMID  10035796.
17. Moore, RA; Scott, TC; Monagan, MB (1988). "Un modelo para un lagrangiano relativista de múltiples partículas con interacciones electromagnéticas". Revista Canadiense de Física . 66 (3): 206–211. Código Bibliográfico :1988CaJPh..66..206M. doi :10.1139/p88-032.
18. Scott, TC; Moore, RA; Monagan, MB (1989). "Resolución de la electrodinámica de muchas partículas mediante manipulación simbólica". Computer Physics Communications . 52 (2): 261–281. Bibcode :1989CoPhC..52..261S. doi :10.1016/0010-4655(89)90009-X.
19. Scott, TC (1986). "Tratamiento relativista clásico y mecánico cuántico del problema de los dos cuerpos". Tesis de maestría en matemáticas . Universidad de Waterloo , Canadá.
20. Scott, TC; Moore, RA (1989). "Cuantización de hamiltonianos a partir de lagrangianos de orden superior". Física nuclear B: Suplementos de actas . 6 . Actas del Simposio internacional sobre simetrías del espacio-tiempo, Univ. de Maryland: 455–457. Bibcode :1989NuPhS...6..455S. doi :10.1016/0920-5632(89)90498-2.
21. Moore, RA; Scott, TC (1991). "Cuantización de lagrangianos de segundo orden: problema de modelo". Physical Review A . 44 (3): 1477–1484. Bibcode :1991PhRvA..44.1477M. doi :10.1103/PhysRevA.44.1477. PMID  9906108.
22. Moore, RA; Scott, TC (1992). "Cuantización de lagrangianos de segundo orden: el modelo de electrodinámica de Fokker-Wheeler-Feynman". Physical Review A . 46 (7): 3637–3645. Bibcode :1992PhRvA..46.3637M. doi :10.1103/PhysRevA.46.3637. PMID  9908553.
23. Moore, RA; Qi, D.; Scott, TC (1992). "Causalidad de las teorías relativistas de dinámica clásica de múltiples partículas". Can. J. Phys. 70 (9): 772–781. Bibcode :1992CaJPh..70..772M. doi :10.1139/p92-122.
24. Moore, RA (1999). "Cuantización formal de un problema de modelo caótico". Revista Canadiense de Física . 77 (3): 221–233. Código Bibliográfico :1999CaJPh..77..221M. doi :10.1139/p99-020.
25. ET Jaynes, "El desplazamiento de Lamb en la mecánica clásica" en "Probabilidad en la teoría cuántica", págs. 13-15, (1996) Análisis de Jaynes del desplazamiento de Lamb.
26. ET Jaynes, "Física de la sustracción clásica" en "Probabilidad en la teoría cuántica", págs. 15-18, (1996) Análisis de Jaynes sobre el manejo de los infinitos del cálculo del desplazamiento de Lamb.

Fuentes

• Wheeler, JA; Feynman, RP (abril de 1945). "Interacción con el absorbedor como mecanismo de radiación" (PDF) . Reseñas de física moderna . 17 (2–3): 157–181. Bibcode :1945RvMP...17..157W. doi :10.1103/RevModPhys.17.157.
• Wheeler, JA; Feynman, RP (julio de 1949). "Electrodinámica clásica en términos de acción directa entre partículas". Reseñas de física moderna . 21 (3): 425–433. Bibcode :1949RvMP...21..425W. doi : 10.1103/RevModPhys.21.425 .