Teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples

En matemáticas, la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples es uno de los logros más importantes de la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . La teoría fue elaborada principalmente por E. Cartan y H. Weyl y, debido a eso, la teoría también se conoce como la teoría de Cartan-Weyl . ^{[1] La teoría proporciona la descripción estructural y la clasificación de una} representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple (sobre ); en particular, proporciona una forma de parametrizar (o clasificar) representaciones de dimensión finita irreducibles de un álgebra de Lie semisimple, el resultado conocido como el teorema del peso más alto . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Existe una correspondencia biunívoca natural entre las representaciones finito-dimensionales de un grupo de Lie compacto simplemente conexo K y las representaciones finito-dimensionales del álgebra de Lie semisimple compleja , que es la complejización del álgebra de Lie de K (este hecho es esencialmente un caso especial de la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie ). Además, las representaciones finito-dimensionales de un grupo de Lie compacto conexo pueden estudiarse a través de representaciones finito-dimensionales de la cobertura universal de dicho grupo. Por lo tanto, la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples marca el punto de partida para la teoría general de las representaciones de los grupos de Lie compactos conexos . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La teoría es una base para los trabajos posteriores de Harish-Chandra que tratan de la teoría de la representación (de dimensión infinita) de grupos reductivos reales .

Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples

Existe una hermosa teoría que clasifica las representaciones de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple sobre . Las representaciones irreducibles de dimensión finita se describen mediante un teorema de mayor peso . La teoría se describe en varios libros de texto, incluidos Fulton y Harris (1991), Hall (2015) y Humphreys (1972). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Después de una descripción general, se describe la teoría de manera cada vez más general, comenzando con dos casos simples que se pueden realizar "a mano" y luego se procede al resultado general. El énfasis aquí está en la teoría de la representación; para las estructuras geométricas que involucran sistemas de raíces necesarios para definir el término "elemento integral dominante", siga el enlace anterior sobre pesos en la teoría de la representación.

Descripción general

La clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple consta , en general, de dos pasos. El primer paso consiste en el análisis de las representaciones hipotéticas que dan como resultado una clasificación provisional. El segundo paso es la realización real de estas representaciones. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Un álgebra de Lie real suele estar complejizada, lo que permite el análisis en un cuerpo algebraicamente cerrado . Trabajar sobre los números complejos además admite bases más elegantes. Se aplica el siguiente teorema: una representación lineal real de dimensión finita de un álgebra de Lie real se extiende a una representación lineal compleja de su complejización. La representación lineal real es irreducible si y solo si la representación lineal compleja correspondiente es irreducible. ^[2] Además, un álgebra de Lie semisimple compleja tiene la propiedad de reducibilidad completa . Esto significa que cada representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles .

Conclusión: La clasificación equivale a estudiar representaciones lineales complejas irreducibles del álgebra de Lie (complejada).

Clasificación: Paso Uno

El primer paso es plantear la hipótesis de la existencia de representaciones irreducibles. Es decir, se plantea la hipótesis de que se tiene una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple compleja sin preocuparse de cómo se construye la representación. Se investigan las propiedades de estas representaciones hipotéticas ^[3] y luego se establecen las condiciones necesarias para la existencia de una representación irreducible. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

Las propiedades involucran los pesos de la representación. Aquí está la descripción más simple. ^[4] Sea una subálgebra de Cartan de , que es una subálgebra conmutativa maximal con la propiedad de que es diagonalizable para cada , ^[5] y sea una base para . Un peso para una representación de es una colección de valores propios simultáneos ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{H}}$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$

para los operadores conmutativos . En lenguaje independiente de la base, es una función lineal en tal que existe un vector distinto de cero tal que para cada . ${\displaystyle \pi (H_{1}),\ldots ,\pi (H_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi (H)v=\lambda (H)v}$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$

Se define un ordenamiento parcial sobre el conjunto de pesos, y se establece la noción de peso más alto en términos de este ordenamiento parcial para cualquier conjunto de pesos. Utilizando la estructura sobre el álgebra de Lie, se definen las nociones de elemento dominante y elemento integral . Toda representación de dimensión finita debe tener un peso máximo , es decir, uno para el cual no se produce ningún peso estrictamente superior. Si es irreducible y es un vector de pesos con peso , entonces todo el espacio debe generarse por la acción de sobre . Por tanto, es una representación "cíclica de peso más alto". A continuación, se muestra que el peso es en realidad el peso más alto (no solo máximo) y que toda representación cíclica de peso más alto es irreducible. A continuación, se muestra que dos representaciones irreducibles con el mismo peso más alto son isomorfas. Finalmente, se muestra que el peso más alto debe ser dominante e integral. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Conclusión: Las representaciones irreducibles se clasifican por sus pesos más altos, y el peso más alto es siempre un elemento integral dominante.

El primer paso tiene el beneficio adicional de que se entiende mejor la estructura de las representaciones irreducibles. Las representaciones se descomponen como sumas directas de espacios de peso , donde el espacio de peso corresponde al unidimensional de peso más alto. La aplicación repetida de los representantes de ciertos elementos del álgebra de Lie llamados operadores de reducción produce un conjunto de generadores para la representación como un espacio vectorial. La aplicación de uno de estos operadores en un vector con peso definido da como resultado cero o un vector con un peso estrictamente inferior . Los operadores de elevación funcionan de manera similar, pero dan como resultado un vector con un peso estrictamente superior o cero. Los representantes del subálgebra de Cartan actúan diagonalmente en una base de vectores de peso.

Clasificación: Paso dos

El segundo paso se ocupa de construir las representaciones que permite el primer paso. Es decir, ahora fijamos un elemento integral dominante e intentamos construir una representación irreducible con el mayor peso . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Hay varias formas estándar de construir representaciones irreducibles:

• Construcción mediante módulos de Verma . Este enfoque es puramente algebraico de Lie. (Generalmente aplicable a álgebras de Lie semisimples complejas). ^{[6] [7]}
• El enfoque del grupo compacto que utiliza el teorema de Peter-Weyl . Si, por ejemplo, , se trabajaría con el grupo compacto simplemente conexo . (Generalmente aplicable a álgebras de Lie semisimples complejas). ^{[8] [9]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• Construcción mediante el teorema de Borel-Weil , en el que se construyen representaciones holomorfas del grupo G correspondientes a . (Generalmente aplicable a álgebras de Lie semisimples complejas.) ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Realizar operaciones estándar sobre representaciones conocidas , en particular aplicar la descomposición de Clebsch-Gordan a productos tensoriales de representaciones. (No se aplica de manera general). ^{[nb 1]} En el caso , esta construcción se describe a continuación. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (3,\mathbb {C} )}$
• En los casos más simples, construcción desde cero. ^[10]

Conclusión: Todo elemento integral dominante de un álgebra de Lie semisimple compleja da lugar a una representación irreducible de dimensión finita. Éstas son las únicas representaciones irreducibles.

El caso de sl(2,C)

El álgebra de Lie sl(2, C ) del grupo lineal especial SL(2, C ) es el espacio de matrices de traza cero de 2x2 con elementos complejos. Los siguientes elementos forman una base:

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

Estos satisfacen las relaciones de conmutación.

${\displaystyle [H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H}$.

Toda representación finito-dimensional de sl(2, C ) se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. Esta afirmación se desprende del resultado general sobre la reducibilidad completa de las álgebras de Lie semisimples, ^[11] o del hecho de que sl(2, C ) es la complejización del álgebra de Lie del grupo compacto simplemente conexo SU(2). ^[12] Las representaciones irreducibles , a su vez, pueden clasificarse ^[13] por el mayor valor propio de , que debe ser un entero no negativo m . Es decir, en este caso, un "elemento integral dominante" es simplemente un entero no negativo. La representación irreducible con el mayor valor propio m tiene dimensión y está abarcada por vectores propios para con valores propios . Los operadores y se mueven hacia arriba y hacia abajo en la cadena de vectores propios, respectivamente. Este análisis se describe en detalle en la teoría de la representación de SU(2) (desde el punto de vista del álgebra de Lie complejizada). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (H)}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle \pi (H)}$ ${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-m+2,-m}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle \pi (Y)}$

Se puede dar una realización concreta de las representaciones (Paso Dos en la descripción general anterior) de dos maneras. Primero, en este ejemplo simple, no es difícil escribir una base explícita para la representación y una fórmula explícita para cómo los generadores del álgebra de Lie actúan sobre esta base. ^[14] Alternativamente, se puede realizar la representación ^[15] con el mayor peso haciendo que denote el espacio de polinomios homogéneos de grado en dos variables complejas, y luego definiendo la acción de , , y por ${\displaystyle X,Y,H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \pi _{m}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}};\quad \pi _{m}(Y)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}};\quad \pi _{m}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.}$

Nótese que las fórmulas para la acción de , , y no dependen de ; el subíndice en las fórmulas simplemente indica que estamos restringiendo la acción de los operadores indicados al espacio de polinomios homogéneos de grado en y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

El caso de sl(3,C)

Ejemplo de los pesos de una representación del álgebra de Lie sl(3,C), con el peso más alto marcado con un círculo

La representación adjunta de ocho dimensiones de sl(3,C), conocida como la " vía óctuple " en física de partículas

Existe una teoría similar ^[16] que clasifica las representaciones irreducibles de sl(3, C ), que es el álgebra de Lie complejizada del grupo SU(3). El álgebra de Lie sl(3, C ) es de ocho dimensiones. Podemos trabajar con una base formada por los dos elementos diagonales siguientes

${\displaystyle H_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad H_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$,

junto con otras seis matrices y cada una de las cuales tiene un 1 en una entrada fuera de la diagonal y ceros en el resto. (Las tienen un 1 encima de la diagonal y las tienen un 1 debajo de la diagonal). ${\displaystyle X_{1},\,X_{2},\,X_{3}}$ ${\displaystyle Y_{1},\,Y_{2},\,Y_{3}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

La estrategia es entonces diagonalizar simultáneamente y en cada representación irreducible . Recordemos que en el caso sl(2, C ), la acción de y eleva y reduce los valores propios de . De manera similar, en el caso sl(3, C ), la acción de y "eleva" y "reduce" los valores propios de y . Las representaciones irreducibles se clasifican entonces ^[17] por los mayores valores propios y de y , respectivamente, donde y son números enteros no negativos. Es decir, en este contexto, un "elemento integral dominante" es precisamente un par de números enteros no negativos. ${\displaystyle \pi (H_{1})}$ ${\displaystyle \pi (H_{2})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle \pi (Y)}$ ${\displaystyle \pi (H)}$ ${\displaystyle \pi (X_{i})}$ ${\displaystyle \pi (Y_{i})}$ ${\displaystyle \pi (H_{1})}$ ${\displaystyle \pi (H_{2})}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle \pi (H_{1})}$ ${\displaystyle \pi (H_{2})}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

A diferencia de las representaciones de sl(2, C ), la representación de sl(3, C ) no se puede describir explícitamente en general. Por lo tanto, se requiere un argumento para mostrar que cada par realmente surge del peso más alto de alguna representación irreducible (Paso Dos en la descripción general anterior). Esto se puede hacer de la siguiente manera. Primero, construimos las "representaciones fundamentales", con pesos más altos (1,0) y (0,1). Estas son la representación estándar tridimensional (en la que ) y el dual de la representación estándar. Luego, se toma un producto tensorial de copias de la representación estándar y copias del dual de la representación estándar, y se extrae un subespacio invariante irreducible. ^[18] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle \pi (X)=X}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

Aunque las representaciones no se pueden describir explícitamente, hay mucha información útil que describe su estructura. Por ejemplo, la dimensión de la representación irreducible con mayor peso está dada por ^[19] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \dim(m_{1},m_{2})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

También existe un patrón simple para las multiplicidades de los distintos espacios de pesos. Finalmente, las representaciones irreducibles con el mayor peso pueden realizarse concretamente en el espacio de polinomios homogéneos de grado en tres variables complejas. ^[20] ${\displaystyle (0,m)}$ ${\displaystyle m}$

El caso de un álgebra de Lie general semisimple

Sea un álgebra de Lie semisimple y sea una subálgebra de Cartan de , es decir, una subálgebra conmutativa maximal con la propiedad de que ad _H es diagonalizable para todo H en . Como ejemplo, podemos considerar el caso donde es sl( n , C ), el álgebra de matrices sin traza de n por n , y es la subálgebra de matrices diagonales sin traza. ^[21] Luego, denotamos con R el sistema de raíces asociado . Luego elegimos una base (o sistema de raíces simples positivas ) para R . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Delta }$

Ahora resumimos brevemente las estructuras necesarias para enunciar el teorema del peso más alto ; se pueden encontrar más detalles en el artículo sobre pesos en la teoría de la representación . Elegimos un producto interno en que es invariante bajo la acción del grupo de Weyl de R , que usamos para identificar con su espacio dual. Si es una representación de , definimos un peso de V como un elemento en con la propiedad de que para algún v distinto de cero en V , tenemos para todo H en . Luego definimos un peso como mayor que otro peso si es expresable como una combinación lineal de elementos de con coeficientes reales no negativos. Un peso se llama peso más alto si es mayor que cualquier otro peso de . Finalmente, si es un peso, decimos que es dominante si tiene producto interno no negativo con cada elemento de y decimos que es integral si es un entero para cada uno en R . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \pi (H)v=\langle \lambda ,H\rangle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2\langle \lambda ,\alpha \rangle /\langle \alpha ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$

Las representaciones finito-dimensionales de un álgebra de Lie semisimple son completamente reducibles , por lo que basta con clasificar las representaciones irreducibles (simples). Las representaciones irreducibles, a su vez, pueden clasificarse mediante el "teorema del mayor peso" de la siguiente manera: ^[22]

• Toda representación irreducible y de dimensión finita tiene un peso máximo, y este peso máximo es dominante e integral. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Dos representaciones irreducibles, de dimensión finita, con el mismo peso máximo son isomorfas.
• Cada elemento integral dominante surge como el peso más alto de alguna representación irreducible y de dimensión finita de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El último punto del teorema (paso dos en la descripción anterior) es el más difícil. En el caso del álgebra de Lie sl(3, C ), la construcción se puede realizar de manera elemental, como se describió anteriormente. En general, la construcción de las representaciones se puede dar utilizando módulos de Verma . ^[23]

Construcción con módulos Verma

Si es cualquier peso, no necesariamente dominante o integral, se puede construir una representación de dimensión infinita de con el peso más alto conocido como módulo de Verma . El módulo de Verma tiene entonces un subespacio invariante propio máximo , de modo que la representación del cociente es irreducible y aún tiene el peso más alto . En el caso de que sea dominante e integral, deseamos demostrar que es de dimensión finita. ^[24] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle U_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\lambda }:=W_{\lambda }/U_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$

La estrategia para probar la dimensionalidad finita de es mostrar que el conjunto de pesos de es invariante bajo la acción del grupo de Weyl de relativo a la subálgebra de Cartan dada . ^[25] (Nótese que los pesos del módulo de Verma en sí definitivamente no son invariantes bajo ). Una vez que se establece este resultado de invariancia, se sigue que tiene solo un número finito de pesos. Después de todo, si es un peso de , entonces debe ser integral (de hecho, debe diferir de por una combinación entera de raíces) y por el resultado de invariancia, debe ser menor que para cada en . Pero solo hay un número finito de elementos integrales con esta propiedad. Por lo tanto, tiene solo un número finito de pesos, cada uno de los cuales tiene multiplicidad finita (incluso en el módulo de Verma, por lo que ciertamente también en ). De esto, se sigue que debe ser de dimensión finita. ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle w\cdot \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Propiedades adicionales de las representaciones

Se sabe mucho sobre las representaciones de un álgebra de Lie semisimple compleja , además de la clasificación en términos de pesos más altos. Mencionamos algunas de ellas brevemente. Ya hemos aludido al teorema de Weyl , que establece que cada representación de dimensión finita de se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. También existe la fórmula del carácter de Weyl , que conduce a la fórmula de dimensión de Weyl (una fórmula para la dimensión de la representación en términos de su peso más alto), la fórmula de multiplicidad de Kostant (una fórmula para las multiplicidades de los diversos pesos que aparecen en una representación). Finalmente, también existe una fórmula para el valor propio del elemento de Casimir , que actúa como un escalar en cada representación irreducible. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Representaciones del grupo de Lie y el truco unitario de Weyl

Aunque es posible desarrollar la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples complejas de una manera autónoma, puede ser esclarecedor introducir una perspectiva utilizando grupos de Lie . Este enfoque es particularmente útil para comprender el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa . Se sabe que cada álgebra de Lie semisimple compleja tiene una forma real compacta . ^[26] Esto significa primero que es la complejización de : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}}$

y segundo, que existe un grupo compacto simplemente conexo cuya álgebra de Lie es . Como ejemplo, podemos considerar , en cuyo caso puede tomarse como el grupo unitario especial SU(n). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle K}$

Dada una representación de dimensión finita de , podemos restringirla a . Entonces, dado que es simplemente conexo, podemos integrar la representación al grupo . ^[27] El método de promediar sobre el grupo muestra que hay un producto interno en que es invariante bajo la acción de ; es decir, la acción de en es unitaria . En este punto, podemos usar la unitaridad para ver que se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. ^[28] Esta línea de razonamiento se llama el truco unitario y fue el argumento original de Weyl para lo que ahora se llama teorema de Weyl. También hay un argumento puramente algebraico para la reducibilidad completa de las representaciones de álgebras de Lie semisimples. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Si es un álgebra de Lie semisimple compleja, existe un único grupo de Lie semisimple complejo con álgebra de Lie , además del grupo compacto simplemente conexo . (Si entonces .) Entonces tenemos el siguiente resultado sobre representaciones de dimensión finita. ^[29] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G=\operatorname {SL} (n;\mathbb {C} )}$

Afirmación: Los objetos de la siguiente lista están en correspondencia uno a uno:

• Representaciones suaves de K
• Representaciones holomorfas de G
• Representaciones lineales reales de ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$
• Representaciones lineales complejas de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Conclusión: La teoría de representación de grupos de Lie compactos puede arrojar luz sobre la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples complejas.

Observaciones

1. Este enfoque se utiliza ampliamente para las álgebras de Lie clásicas en Fulton y Harris (1991).

Notas

1. Knapp, AW (2003). "Trabajo revisado: Grupos matriciales: una introducción a la teoría de grupos de Lie, Andrew Baker; Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales, Wulf Rossmann". The American Mathematical Monthly . 110 (5): 446–455. doi :10.2307/3647845. JSTOR  3647845.
2. Hall 2015, Proposición 4.6.
3. Véase la Sección 6.4 de Hall 2015 en el caso de sl(3,C)
4. Hall 2015, Sección 6.2. (Allí se especializa en ) ${\displaystyle \operatorname {sl} (3,\mathbb {C} }$
5. Hall 2015, Sección 7.2.
6. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997, capítulo 20.
7. Hall 2015, Secciones 9.5–9.7
8. Hall 2015, Capítulo 12.
9. Rossmann 2002, Capítulo 6.
10. Este enfoque se puede encontrar en el Ejemplo 4.10. de Hall (2015, Sección 4.2.) ${\displaystyle \operatorname {sl} (2,\mathbb {C} )}$
11. Hall 2015 Sección 10.3
12. Hall 2015 Teoremas 4.28 y 5.6
13. Sala 2015 Sección 4.6
14. Hall 2015 Ecuación 4.16
15. Hall 2015 Ejemplo 4.10
16. Hall 2015 Capítulo 6
17. Hall 2015 Teorema 6.7
18. Propuesta 6.17 del Salón 2015
19. Hall 2015 Teorema 6.27
20. Hall 2015 Ejercicio 6.8
21. Sección 7.7.1 del Salón 2015
22. Hall 2015 Teoremas 9.4 y 9.5
23. Hall 2015 Secciones 9.5-9.7
24. Sala 2015 Sección 9.7
25. Propuesta 9.22 del Salón 2015
26. Knapp 2002 Sección VI.1
27. Hall 2015 Teorema 5.6
28. Sala 2015 Sección 4.4
29. Knapp 2001, Sección 2.3.

Referencias

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; diez Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensiones finitas e infinitas y su aplicación en física . Estudios de física matemática. vol. 7. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-82836-1– vía ScienceDirect .
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de la representación de grupos semisimples. Una visión general basada en ejemplos., Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie: más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7.