Teoría de la perturbación cosmológica

En cosmología física , la teoría de perturbación cosmológica ^{[1] [2] [3] [4] [5]} es la teoría por la cual se entiende la evolución de la estructura en el modelo del Big Bang . La teoría de perturbación cosmológica puede dividirse en dos categorías: newtoniana o relativista general . Cada caso utiliza sus ecuaciones gobernantes para calcular las fuerzas gravitacionales y de presión que hacen que pequeñas perturbaciones crezcan y eventualmente sembren la formación de estrellas , cuásares , galaxias y cúmulos . Ambos casos se aplican solo a situaciones donde el universo es predominantemente homogéneo, como durante la inflación cósmica y grandes partes del Big Bang. Se cree que el universo todavía es lo suficientemente homogéneo como para que la teoría sea una buena aproximación en las escalas más grandes, pero en escalas más pequeñas se deben usar técnicas más complejas, como simulaciones de N cuerpos . Al decidir si usar la relatividad general para la teoría de perturbación, tenga en cuenta que la física newtoniana solo es aplicable en algunos casos, como para escalas más pequeñas que el horizonte de Hubble, donde el espacio-tiempo es suficientemente plano y para el cual las velocidades no son relativistas.

Debido a la invariancia de calibración de la relatividad general , la formulación correcta de la teoría de perturbaciones cosmológicas es sutil. En particular, cuando se describe un espacio-tiempo no homogéneo, a menudo no hay una elección de coordenadas preferida. Actualmente existen dos enfoques distintos para la teoría de perturbaciones en la relatividad general clásica:

• teoría de perturbación invariante de calibre basada en la foliación de un espacio-tiempo con hipersuperficies, y
• Teoría de perturbación invariante de calibre covariante 1+3 basada en enhebrar un espacio-tiempo con marcos.

Teoría de perturbaciones newtoniana

En esta sección, nos centraremos en el efecto de la materia en la formación de estructuras en el régimen de fluido hidrodinámico . Este régimen es útil porque la materia oscura ha dominado el crecimiento de la estructura durante la mayor parte de la historia del universo. En este régimen, estamos en escalas sub-Hubble (donde es el parámetro de Hubble ) por lo que podemos tomar el espacio-tiempo como plano e ignorar las correcciones relativistas generales. Pero estas escalas están por encima de un corte, de modo que las perturbaciones en la presión y la densidad son suficientemente lineales. A continuación, suponemos baja presión para que podamos ignorar los efectos radiativos y bajas velocidades, por lo que estamos en el régimen no relativista. ${\displaystyle <H^{-1}~,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \delta P~,~\delta \rho \ll 1~.}$ ${\displaystyle P\ll \rho ~,}$ ${\displaystyle u\ll c~,}$

La primera ecuación rectora se deriva de la conservación de la materia: la ecuación de continuidad ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+3H\rho +{\frac {1}{a}}\cdot \nabla \left(\rho {\vec {v}}\right)=0~,}$

donde es el factor de escala y es la velocidad peculiar . Aunque no lo escribimos explícitamente, todas las variables se evalúan en el tiempo y la divergencia está en coordenadas comóviles . En segundo lugar, la conservación del momento nos da la ecuación de Euler ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \rho {\frac {{\text{d}}{\vec {u}}}{{\text{d}}t}}=\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{a}}{\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {u}}=-{\frac {1}{a}}\nabla P-{\frac {1}{a}}\rho \nabla \Phi ~,}$

¿Dónde está el potencial gravitatorio? Por último, sabemos que para la gravedad newtoniana, el potencial obedece a la ecuación de Poisson. ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho ~.}$

Hasta ahora, nuestras ecuaciones son completamente no lineales y pueden ser difíciles de interpretar intuitivamente. Por lo tanto, es útil considerar una expansión perturbativa y examinar cada orden por separado. Usamos la siguiente descomposición

${\displaystyle \rho ={\bar {\rho }}(1+\delta )~,~{\vec {u}}=Ha{\vec {x}}+{\vec {v}}~,~P={\bar {P}}+\delta P~,~\Phi ={\bar {\Phi }}+\delta \Phi ~}$

donde es una coordenada comóvil. ${\displaystyle {\vec {x}}}$

En orden lineal, la ecuación de continuidad se convierte en

${\displaystyle {\dot {\delta }}=-{\frac {1}{a}}\theta ~,}$

¿Dónde está la divergencia de velocidad? Y la ecuación lineal de Euler es ${\displaystyle \theta \equiv \nabla \cdot {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\dot {\vec {v}}}+H{\vec {v}}\right)=-{\frac {1}{a}}\nabla \delta P-{\frac {1}{a}}{\bar {\rho }}\nabla \delta \Phi ~.}$

Combinando las ecuaciones de continuidad lineal, de Euler y de Poisson, llegamos a una ecuación maestra simple que gobierna la evolución.

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial }{\partial t}}-c_{s}^{2}{\frac {1}{a}}\nabla ^{2}-4\pi G{\bar {\rho }}\right)\delta =0~,}$

donde definimos una velocidad del sonido para darnos una relación de cierre . Esta ecuación maestra admite soluciones de onda que nos dicen cómo las fluctuaciones de la materia crecen con el tiempo debido a una combinación de efectos en competencia: la gravedad propia de la fluctuación, las fuerzas de presión, la expansión del universo y el campo gravitacional de fondo. ${\displaystyle c_{s}^{2}\equiv \delta P/{\bar {\rho }}\delta ~}$ ${\displaystyle \delta ({\vec {x}},t)}$

Teoría de perturbaciones invariantes de calibre

La teoría de perturbaciones invariantes de calibre se basa en los desarrollos de Bardeen (1980), ^[7] Kodama y Sasaki (1984) ^[8] basándose en el trabajo de Lifshitz (1946). ^[9] Este es el enfoque estándar para la teoría de perturbaciones de la relatividad general para la cosmología. ^[10] Este enfoque se usa ampliamente para el cálculo de anisotropías en la radiación de fondo de microondas cósmico ^[11] como parte del programa de cosmología física y se centra en las predicciones que surgen de linealizaciones que preservan la invariancia de calibre con respecto a los modelos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Este enfoque se basa en gran medida en el uso de análogos de tipo newtoniano y generalmente tiene como punto de partida el fondo FRW alrededor del cual se desarrollan las perturbaciones. El enfoque no es local y depende de las coordenadas, pero es invariante de calibre , ya que el marco lineal resultante se construye a partir de una familia específica de hipersuperficies de fondo que están vinculadas por mapeos que preservan el calibre para foliar el espacio-tiempo. Aunque intuitivo, este enfoque no aborda bien las no linealidades naturales de la relatividad general.

Teoría de perturbación covariante e invariante de calibre 1+3

En la cosmología relativista, utilizando la dinámica de enhebrado lagrangiano de Ehlers (1971) ^[12] y Ellis (1971) ^[13], es habitual utilizar la teoría de perturbación covariante invariante de calibre desarrollada por Hawking (1966) ^[14] y Ellis y Bruni (1989). ^[15] Aquí, en lugar de comenzar con un fondo y perturbar a partir de ese fondo, se comienza con la relatividad general completa y se reduce sistemáticamente la teoría a una que es lineal alrededor de un fondo particular. ^[16] El enfoque es local y tanto covariante como invariante de calibre , pero puede ser no lineal porque el enfoque se construye alrededor del marco del observador comóvil local (ver fibrado de marcos ) que se utiliza para enhebrar todo el espacio-tiempo. Este enfoque de la teoría de perturbaciones produce ecuaciones diferenciales que son del orden correcto necesario para describir los verdaderos grados físicos de libertad y, como tal, no existen modos de calibre no físicos. Es habitual expresar la teoría de una manera libre de coordenadas. Para las aplicaciones de la teoría cinética , debido a que se requiere utilizar el fibrado tangente completo , resulta conveniente utilizar la formulación de tétrada de la cosmología relativista. La aplicación de este enfoque al cálculo de anisotropías en la radiación de fondo de microondas cósmica ^[17] requiere la linealización de la teoría cinética relativista completa desarrollada por Thorne (1980) ^[18] y Ellis, Matravers y Treciokas (1983). ^[19]

Libertad de calibre y fijación del cuadro

En la cosmología relativista existe una libertad asociada con la elección del marco de enhebrado; esta elección de marco es distinta de la elección asociada con las coordenadas. Elegir este marco es equivalente a fijar la elección de líneas de mundo temporales mapeadas unas en otras. Esto reduce la libertad de calibre ; no fija el calibre pero la teoría permanece invariante de calibre bajo las libertades de calibre restantes. Para fijar el calibre se requiere una especificación de correspondencias entre las superficies temporales en el universo real (perturbado) y el universo de fondo junto con las correspondencias entre puntos en las superficies espaciales iniciales en el fondo y en el universo real. Este es el vínculo entre la teoría de perturbación invariante de calibre y la teoría de perturbación covariante invariante de calibre. La invariancia de calibre solo está garantizada si la elección del marco coincide exactamente con la del fondo; generalmente esto es trivial de asegurar porque los marcos físicos tienen esta propiedad.

Ecuaciones de tipo newtoniano

Las ecuaciones de tipo newtoniano surgen de la relatividad general perturbativa con la elección del calibre newtoniano ; el calibre newtoniano proporciona el vínculo directo entre las variables utilizadas típicamente en la teoría de perturbación invariante de calibre y las que surgen de la teoría de perturbación covariante invariante de calibre más general.

Véase también

• Fluctuaciones primordiales
• Distorsiones espectrales del fondo cósmico de microondas

Referencias

1. Fry, JN (abril de 1984). "La jerarquía de correlación de galaxias en la teoría de perturbaciones". The Astrophysical Journal . 279 : 499. Bibcode :1984ApJ...279..499F. doi : 10.1086/161913 .
2. Bharadwaj, Somnath (junio de 1994). "Crecimiento perturbativo del agrupamiento cosmológico. I: Formalismo". The Astrophysical Journal . 428 : 419. Bibcode :1994ApJ...428..419B. doi :10.1086/174254. ISSN  0004-637X.
3. Bharadwaj, Somnath (marzo de 1996). "Crecimiento perturbativo del agrupamiento cosmológico. II. La correlación de dos puntos". The Astrophysical Journal . 460 : 28–50. arXiv : astro-ph/9511085 . Código Bibliográfico :1996ApJ...460...28B. doi :10.1086/176950. S2CID  17179734.
4. Bharadwaj, Somnath (20 de noviembre de 1996). "La evolución de las funciones de correlación en la aproximación de Zeldovich y sus implicaciones para la validez de la teoría de perturbaciones". The Astrophysical Journal . 472 (1): 1–13. arXiv : astro-ph/9606121 . Código Bibliográfico :1996ApJ...472....1B. doi : 10.1086/178036 .
5. Dodelson, Scott; Schmidt, Fabian (2020). Cosmología moderna (2.ª ed.). Academic Press. Código Bibliográfico : 2020moco.book....D. doi : 10.1016/C2017-0-01943-2. ​​ISBN 978-0-12-815948-4.S2CID241570171  .​
6. Baumann, Daniel (2022). Cosmología. Cambridge University Press. doi :10.1017/9781108937092. ISBN 9781108838078.
7. Bardeen, James M. (15 de octubre de 1980). "Perturbaciones cosmológicas invariantes de calibre". Physical Review D . 22 (8). American Physical Society (APS): 1882–1905. Bibcode :1980PhRvD..22.1882B. doi :10.1103/physrevd.22.1882. ISSN  0556-2821.
8. Kodama, Hideo; Sasaki, Misao (1984). "Teoría de la perturbación cosmológica". Suplemento de Progreso de la Física Teórica . 78 . Oxford University Press (OUP): 1–166. Bibcode :1984PThPS..78....1K. doi : 10.1143/ptps.78.1 . ISSN  0375-9687.
9. Lifshitz EM (1946) J. Phys. (URSS), 10, 116
10. Mukhanov, V (1992). "Teoría de las perturbaciones cosmológicas". Physics Reports . 215 (5–6). Elsevier BV: 203–333. Bibcode :1992PhR...215..203M. doi :10.1016/0370-1573(92)90044-z. ISSN  0370-1573.
11. Hu W, Sugiyama N (1995). "Hacia la comprensión de las anisotropías del CMB y sus implicaciones". Physical Review D . 51 (6): 2599–2630. arXiv : astro-ph/9411008 . Código Bibliográfico :1995PhRvD..51.2599H. doi :10.1103/PhysRevD.51.2599. PMID  10018735. S2CID  12811112.
12. Ehlers J (1971) Relatividad general y cosmología (Varenna), RK Sachs (Academic Press NY)
13. Ellis GFR, (1971) Relatividad general y cosmología (Varenna), RK Sachs (Academic Press NY)
14. Hawking SW (1966) Ap. J. 145, 44
15. Ellis, GFR; Bruni, M. (15 de septiembre de 1989). "Enfoque covariante e invariante de calibración para las fluctuaciones de densidad cosmológica". Physical Review D . 40 (6). American Physical Society (APS): 1804–1818. Bibcode :1989PhRvD..40.1804E. doi :10.1103/physrevd.40.1804. ISSN  0556-2821. PMID  10012011.
16. Tsagas, CG; Challinor, A; Maartens, R (2008). "Cosmología relativista y estructura a gran escala". Physics Reports . 465 (2–3): 61–147. arXiv : 0705.4397 . Bibcode :2008PhR...465...61T. doi :10.1016/j.physrep.2008.03.003. ISSN  0370-1573. S2CID  119121482.
17. Maartens R, Gebbie T, Ellis GF (1999). "Anisotropías del fondo cósmico de microondas: dinámica no lineal". Physical Review D . 59 (8): 083506. arXiv : astro-ph/9808163 . Código Bibliográfico :1999PhRvD..59h3506M. doi :10.1103/PhysRevD.59.083506. S2CID  119444449.
18. Thorne, Kip S. (1980-04-01). "Expansiones multipolares de la radiación gravitacional" (PDF) . Reseñas de Física Moderna . 52 (2). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 299–339. Código Bibliográfico :1980RvMP...52..299T. doi :10.1103/revmodphys.52.299. ISSN  0034-6861.
19. Ellis, GFR; Treciokas, R; Matravers, DR (1983). "Soluciones anisotrópicas de las ecuaciones de Einstein-Boltzmann. II. Algunas propiedades exactas de las ecuaciones". Anales de Física . 150 (2). Elsevier BV: 487–503. Bibcode :1983AnPhy.150..487E. doi :10.1016/0003-4916(83)90024-6. ISSN  0003-4916.

Bibliografía

Consulte los libros de texto de cosmología física .

Enlaces externos

• Ellis, George FR; van Elst, Henk (1999). "Modelos cosmológicos". En Marc Lachièze-Rey (ed.). Cosmología teórica y observacional: Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre Cosmología Teórica y Observacional . Cargèse Lectures 1998. NATO Science Series: Series C. Vol. 541. Kluwer Academic . págs. 1–116. arXiv : gr-qc/9812046 . Código Bibliográfico :1999ASIC..541....1E.