Las funciones de esta forma se conocen como funciones de Bloch o estados de Bloch y sirven como base adecuada para las funciones de onda o estados de los electrones en sólidos cristalinos .
La descripción de los electrones en términos de funciones de Bloch, denominadas electrones de Bloch (o menos frecuentemente ondas de Bloch ), subyace al concepto de estructuras de bandas electrónicas .
Estos estados propios se escriben con subíndices como , donde hay un índice discreto, llamado índice de banda , que está presente porque hay muchas funciones de onda diferentes con el mismo (cada una tiene un componente periódico diferente ). Dentro de una banda (es decir, para fijo ), varía continuamente con , al igual que su energía. Además, es único sólo hasta un vector reticular recíproco constante , o ,. Por lo tanto, el vector de onda puede restringirse a la primera zona de Brillouin de la red recíproca sin pérdida de generalidad .
Aplicaciones y consecuencias
Aplicabilidad
El ejemplo más común del teorema de Bloch es la descripción de los electrones en un cristal, especialmente al caracterizar las propiedades electrónicas del cristal, como la estructura de bandas electrónicas. Sin embargo, una descripción de onda de Bloch se aplica de manera más general a cualquier fenómeno ondulatorio en un medio periódico. Por ejemplo, una estructura dieléctrica periódica en el electromagnetismo conduce a cristales fotónicos , y un medio acústico periódico conduce a cristales fonónicos . Generalmente se trata en las diversas formas de la teoría dinámica de la difracción .
Vector de onda
Supongamos que un electrón está en estado de Bloch.
La primera zona de Brillouin es un conjunto restringido de valores de k con la propiedad de que no hay dos de ellos equivalentes, sin embargo, cada k posible es equivalente a un (y sólo uno) vector en la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, si restringimos k a la primera zona de Brillouin, entonces cada estado de Bloch tiene un k único . Por lo tanto, la primera zona de Brillouin se utiliza a menudo para representar todos los estados de Bloch sin redundancia, por ejemplo en una estructura de bandas, y se utiliza por la misma razón en muchos cálculos.
Teorema de Bloch : para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las dos propiedades siguientes:
cada una de estas funciones de onda es un estado propio de energía,
cada una de estas funciones de onda es un estado de Bloch, lo que significa que esta función de onda se puede escribir en la forma
donde u ( r ) tiene la misma periodicidad que la estructura atómica del cristal, tal que
Una segunda forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente [3]
Teorema de Bloch : para cualquier función de onda que satisfaga la ecuación de Schrödinger y para una traslación de un vector reticular , existe al menos un vector tal que:
Prueba
Usando la periodicidad de la red
Siendo el teorema de Bloch una afirmación sobre la periodicidad de la red, en esta prueba todas las simetrías están codificadas como simetrías de traducción de la propia función de onda.
Prueba utilizando la periodicidad de la red
Fuente: [4]
Preliminares: simetrías cristalinas, red y red recíproca
La propiedad definitoria de un cristal es la simetría traslacional, lo que significa que si el cristal se desplaza una cantidad adecuada, termina con todos sus átomos en los mismos lugares. (Un cristal de tamaño finito no puede tener una simetría de traslación perfecta, pero es una aproximación útil).
Un cristal tridimensional tiene tres vectores reticulares primitivos a 1 , a 2 , a 3 . Si el cristal es desplazado por cualquiera de estos tres vectores, o una combinación de ellos de la forma
donde n i son tres números enteros, entonces los átomos terminan en el mismo conjunto de ubicaciones en las que comenzaron.
Another helpful ingredient in the proof is the reciprocal lattice vectors. These are three vectors b1, b2, b3 (with units of inverse length), with the property that ai · bi = 2π, but ai · bj = 0 when i ≠ j. (For the formula for bi, see reciprocal lattice vector.)
Lemma about translation operators
Let denote a translation operator that shifts every wave function by the amount n1a1 + n2a2 + n3a3 (as above, nj are integers). The following fact is helpful for the proof of Bloch's theorem:
Lemma — If a wave function ψ is an eigenstate of all of the translation operators (simultaneously), then ψ is a Bloch state.
Proof of Lemma
Assume that we have a wave function ψ which is an eigenstate of all the translation operators. As a special case of this,
for j = 1, 2, 3, where Cj are three numbers (the eigenvalues) which do not depend on r. It is helpful to write the numbers Cj in a different form, by choosing three numbers θ1, θ2, θ3 with e2πiθj = Cj:
Again, the θj are three numbers which do not depend on r. Define k = θ1b1 + θ2b2 + θ3b3, where bj are the reciprocal lattice vectors (see above). Finally, define
Then
This proves that u has the periodicity of the lattice. Since that proves that the state is a Bloch state.
Finally, we are ready for the main proof of Bloch's theorem which is as follows.
Como arriba, denotemos un operador de traducción que desplaza cada función de onda en la cantidad n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , donde n i son números enteros. Debido a que el cristal tiene simetría traslacional, este operador conmuta con el operador hamiltoniano . Además, cada uno de estos operadores de traducción conmuta entre sí. Por lo tanto, existe una base propia simultánea del operador hamiltoniano y de todos los operadores posibles. Esta base es la que estamos buscando. Las funciones de onda en esta base son estados propios de energía (porque son estados propios del hamiltoniano) y también son estados de Bloch (porque son estados propios de los operadores de traducción; consulte el lema anterior).
Usando operadores
En esta prueba todas las simetrías están codificadas como propiedades de conmutación de los operadores de traducción.
Prueba usando operadores
Fuente: [5]
Definimos el operador de traducción.
con
Usamos la hipótesis de un potencial periódico medio.
Dado que el hamiltoniano es invariante para las traducciones, conmutará con el operador de traducción.
y los dos operadores tendrán un conjunto común de funciones propias. Por lo tanto, comenzamos a observar las funciones propias del operador de traducción:
Dado es un operador aditivo.
Si sustituimos aquí la ecuación de valores propios y dividimos ambos lados por tenemos
Esto es cierto para
donde si usamos la condición de normalización sobre una sola celda primitiva de volumen V
y por lo tanto
y
dónde . Finalmente,
lo cual es cierto para una onda de Bloch, es decir, para con
Usando la teoría de grupos
Aparte de los tecnicismos de la teoría de grupos, esta demostración es interesante porque queda claro cómo generalizar el teorema de Bloch para grupos que no son sólo traducciones. Esto generalmente se hace para grupos espaciales que son una combinación de una traslación y un grupo de puntos y se usa para calcular la estructura de banda, el espectro y los calores específicos de los cristales dada una simetría de grupo de cristales específica como FCC o BCC y, eventualmente, una base adicional . [6] : 365–367 [7]
En esta prueba también es posible observar cómo es clave que el grupo de puntos extra esté impulsado por una simetría en el potencial efectivo, pero conmutará con el hamiltoniano.
Podemos pensar en estos como operadores de transporte.
dónde
La conmutatividad de los operadores da tres subgrupos cíclicos de conmutación (dado que pueden ser generados por un solo elemento) que son infinitos, unidimensionales y abelianos. Todas las representaciones irreductibles de grupos abelianos son unidimensionales. [8]
Dado que son unidimensionales, la representación matricial y el carácter son los mismos. El carácter es la representación sobre los números complejos del grupo o también la traza de la representación que en este caso es una matriz unidimensional. Todos estos subgrupos, al ser cíclicos, tienen caracteres que son raíces apropiadas de la unidad . De hecho, tienen un generador que obedecerá a y, por tanto, al carácter . Tenga en cuenta que esto es sencillo en el caso del grupo cíclico finito, pero en el caso infinito contable del grupo cíclico infinito (es decir, el grupo de traducción aquí) hay un límite en el que el carácter permanece finito.
Dado que el carácter es una raíz de la unidad, para cada subgrupo el carácter se puede escribir como
donde L es una periodicidad macroscópica en la dirección que también puede verse como un múltiplo de donde
Esto sustituye en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo por una simple hamiltoniana efectiva.
induce una periodicidad con la función de onda:
Y para cada dimensión un operador de traducción con un período L
Desde aquí podemos ver que también el carácter será invariante mediante una traducción de :
y de la última ecuación obtenemos para cada dimensión una condición periódica:
donde es un numero entero y
El vector de onda identifica la representación irreducible de la misma manera que , y es una longitud periódica macroscópica del cristal en dirección . En este contexto, el vector de onda sirve como número cuántico para el operador de traducción.
Podemos generalizar esto para 3 dimensiones
y la fórmula genérica para la función de onda queda:
es decir, especializarlo para una traducción
y hemos demostrado el teorema de Bloch.
En la versión generalizada del teorema de Bloch, la transformada de Fourier, es decir, la expansión de la función de onda, se generaliza a partir de una transformada de Fourier discreta que es aplicable sólo para grupos cíclicos y, por lo tanto, traducciones, a una expansión de caracteres de la función de onda donde los caracteres son dado del grupo de puntos finitos específico .
También aquí es posible ver cómo los personajes (como invariantes de las representaciones irreductibles) pueden ser tratados como bloques de construcción fundamentales en lugar de las representaciones irreductibles mismas. [9]
Velocidad y masa efectiva.
Si aplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a la función de onda de Bloch obtenemos
Prueba [10]
Nos quedamos con
Esto muestra cómo el impulso efectivo puede verse como compuesto de dos partes,
La cantidad de la derecha multiplicada por un factor se llama tensor de masa efectiva [12] y podemos usarla para escribir una ecuación semiclásica para un portador de carga en una banda [13]
Ecuación de movimiento semiclásica de segundo orden para un portador de carga en una banda
Ecuación de movimiento semiclásica de primer orden para un electrón en una banda
Como interpretación intuitiva, las dos ecuaciones anteriores se parecen formalmente y están en una analogía semiclásica con la segunda ley de Newton para un electrón en una fuerza externa de Lorentz .
Historia y ecuaciones relacionadas.
El concepto de estado de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928 [15] para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, las mismas matemáticas subyacentes también fueron descubiertas de forma independiente varias veces: por George William Hill (1877), [16] Gaston Floquet (1883), [17] y Alexander Lyapunov (1892). [18] Como resultado, una variedad de nomenclaturas son comunes: aplicada a ecuaciones diferenciales ordinarias , se llama teoría de Floquet (u ocasionalmente teorema de Lyapunov-Floquet ). La forma general de una ecuación de potencial periódica unidimensional es la ecuación de Hill : [19]
Matemáticamente, el teorema de Bloch se interpreta en términos de caracteres unitarios de un grupo reticular y se aplica a la geometría espectral . [20] [21] [22]
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