Teoría de la gravedad de Lovelock

En física teórica , la teoría de la gravedad de Lovelock (a menudo denominada gravedad de Lovelock ) es una generalización de la teoría de la relatividad general de Einstein introducida por David Lovelock en 1971. ^[1] Es la teoría métrica más general de la gravedad que produce ecuaciones de movimiento de segundo orden conservadas en un número arbitrario de dimensiones del espacio-tiempo D. En este sentido, la teoría de Lovelock es la generalización natural de la relatividad general de Einstein a dimensiones superiores. En tres y cuatro dimensiones ( D = 3, 4), la teoría de Lovelock coincide con la teoría de Einstein, pero en dimensiones superiores las teorías son diferentes. De hecho, para D > 4 la gravedad de Einstein puede considerarse un caso particular de la gravedad de Lovelock ya que la acción de Einstein-Hilbert es uno de los varios términos que constituyen la acción de Lovelock.

Densidad lagrangiana

El lagrangiano de la teoría está dado por una suma de densidades de Euler dimensionalmente extendidas, y puede escribirse de la siguiente manera

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ \sum \limits _{n=0}^{t}\alpha _{n}\ {\mathcal {R}}^{n},\qquad {\mathcal {R}}^{n}={\frac {1}{2^{n}}}\delta _{\alpha _{1}\beta _{1}...\alpha _{n}\beta _{n}}^{\mu _{1}\nu _{1}...\mu _{n}\nu _{n}}\prod \limits _{r=1}^{n}R_{\quad \mu _{r}\nu _{r}}^{\alpha _{r}\beta _{r}}}$

donde R _μν ^αβ representa el tensor de Riemann , y donde el delta de Kronecker generalizado δ se define como el producto antisimétrico

${\displaystyle \delta _{\alpha _{1}\beta _{1}\cdots \alpha _{n}\beta _{n}}^{\mu _{1}\nu _{1}...\mu _{n}\nu _{n}}=(2n)!\delta _{\lbrack \alpha _{1}}^{\mu _{1}}\delta _{\beta _{1}}^{\nu _{1}}\cdots \delta _{\alpha _{n}}^{\mu _{n}}\delta _{\beta _{n}]}^{\nu _{n}}.}$

Cada término en corresponde a la extensión dimensional de la densidad de Euler en 2 n dimensiones, de modo que estas sólo contribuyen a las ecuaciones de movimiento para n < D /2. En consecuencia, sin falta de generalidad, t en la ecuación anterior puede tomarse como D = 2 t + 2 para dimensiones pares y D = 2 t + 1 para dimensiones impares. ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Constantes de acoplamiento

Las constantes de acoplamiento α _n en el Lagrangiano tienen dimensiones de [longitud] ^{2 n − D} , aunque es habitual normalizar la densidad Lagrangiana en unidades de la escala de Planck ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}=(16\pi G)^{-1}=l_{P}^{2-D}\,.}$

Al expandir el producto en , el Lagrangiano de Lovelock toma la forma ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

donde se ve que el acoplamiento α ₀ corresponde a la constante cosmológica Λ, mientras que α _n con n ≥ 2 son constantes de acoplamiento de términos adicionales que representan correcciones ultravioletas a la teoría de Einstein, que involucran contracciones de orden superior del tensor de Riemann R _μν ^αβ . En particular, el término de segundo orden

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{2}=R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }}$

es precisamente el término cuadrático de Gauss-Bonnet , que es la versión dimensionalmente extendida de la densidad de Euler de cuatro dimensiones.

Ecuaciones de movimiento

Al observar que

${\displaystyle T={\sqrt {-g}}{\mathcal {R}}^{2}={\sqrt {-g}}\left(R^{2}+R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)}$

es una constante topológica, podemos eliminar el término tensorial de Riemann y así podemos poner el Lagrangiano de Lovelock en la forma

${\displaystyle S=-\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\left(\alpha R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-\beta R^{2}+\gamma \kappa ^{-2}R\right)}$

que tiene las ecuaciones de movimiento

${\displaystyle \alpha \left(-{\frac {1}{2}}R_{\rho \sigma }R^{\rho \sigma }g_{\mu \nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R-2R_{\rho \nu \mu \sigma }R^{\sigma \rho }+{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\Box R+\Box R_{\mu \nu }\right)+}$ ${\displaystyle \beta \left({\frac {1}{2}}R^{2}g_{\mu \nu }-2RR_{\mu \nu }+2\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R-2g_{\mu \nu }\Box R\right)+}$ ${\displaystyle \gamma \left(-{\frac {1}{2}}\kappa ^{-2}Rg_{\mu \nu }+\kappa ^{-2}R_{\mu \nu }\right)=0.}$^[2]

Otros contextos

Debido a que la acción de Lovelock contiene, entre otros, el término cuadrático de Gauss-Bonnet (es decir, la característica de Euler de cuatro dimensiones extendida a D dimensiones), se suele decir que la teoría de Lovelock se asemeja a los modelos de gravedad inspirados en la teoría de cuerdas . Esto se debe a que un término cuadrático está presente en la acción efectiva de baja energía de la teoría de cuerdas heterótica , y también aparece en las compactificaciones de Calabi-Yau de seis dimensiones de la teoría M. A mediados de la década de 1980, una década después de que Lovelock propusiera su generalización del tensor de Einstein, los físicos comenzaron a discutir el término cuadrático de Gauss-Bonnet dentro del contexto de la teoría de cuerdas, con especial atención a su propiedad de estar libre de fantasmas en el espacio de Minkowski . Se sabe que la teoría también está libre de fantasmas sobre otros fondos exactos, por ejemplo, sobre una de las ramas de la solución esféricamente simétrica encontrada por Boulware y Deser en 1985. En general, la teoría de Lovelock representa un escenario muy interesante para estudiar cómo se corrige la física de la gravedad a corta distancia debido a la presencia de términos de curvatura de orden superior en la acción, y a mediados de la década de 2000 la teoría se consideró como un campo de pruebas para investigar los efectos de la introducción de términos de curvatura superior en el contexto de la correspondencia AdS/CFT .

Véase también

• Teorema de Lovelock
• f(R) gravedad
• Gravedad de Gauss-Bonnet
• Campo Curtright
• La teoría de Horndeski

Notas

1. Lovelock, David (1971). "El tensor de Einstein y sus generalizaciones". Revista de física matemática . 12 (3). AIP Publishing: 498–501. Bibcode :1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 . ISSN  0022-2488.
2. "Teorías derivadas superiores de la gravedad" (PDF) . págs. 10, 15.(Tenga en cuenta que hay errores tipográficos en los términos de la ecuación de movimiento en este artículo. Véase también en Vilhena, SG; Medeiros, LG (15 de octubre de 2021). "Ondas gravitacionales en gravedad de orden superior". Physical Review D . 104 (8): 084061. arXiv : 2108.06874 . doi :10.1103/PhysRevD.104.084061. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle R^{2}}$)

Referencias

• Lovelock, D. (1971). "El tensor de Einstein y sus generalizaciones". Journal of Mathematical Physics . 12 (3): 498–502. Bibcode :1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 .
• Lovelock, D. (1969). "La unicidad de las ecuaciones de campo de Einstein en un espacio de cuatro dimensiones". Archivo de Mecánica racional y análisis . 33 (1): 54–70. Bibcode :1969ArRMA..33...54L. doi :10.1007/BF00248156. S2CID  119985583.
• Lovelock, D. (1972). "La cuatridimensionalidad del espacio y el tensor de Einstein". Journal of Mathematical Physics . 13 (6): 874–876. Bibcode :1972JMP....13..874L. doi :10.1063/1.1666069.
• Lovelock, David; Rund, Hanno (1989), Tensores, formas diferenciales y principios variacionales, Dover , ISBN 978-0-486-65840-7
• Navarro, A.; Navarro, J. (2011). "Revisión del teorema de Lovelock". Journal of Mathematical Physics . 61 (10): 1950–1956. arXiv : 1005.2386 . Código Bibliográfico :2011JGP....61.1950N. doi :10.1016/j.geomphys.2011.05.004. S2CID  119314288.
• Zwiebach, B. (1985). "Términos de curvatura al cuadrado y teorías de cuerdas". Phys. Lett. B . 156 (5–6): 315. Bibcode :1985PhLB..156..315Z. doi :10.1016/0370-2693(85)91616-8..
• Boulware, D.; Deser, S. (1985). "Modelos de gravedad generados por cuerdas". Phys. Rev. Lett . 55 (24): 2656–2660. Código Bibliográfico :1985PhRvL..55.2656B. doi :10.1103/PhysRevLett.55.2656. PMID  10032204. S2CID  43449319.