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Estructura causal

En física matemática , la estructura causal de una variedad lorentziana describe las relaciones causales entre puntos de la variedad.

Introducción

En la física moderna (especialmente en la relatividad general ) , el espacio-tiempo se representa mediante una variedad lorentziana . Las relaciones causales entre los puntos de la variedad se interpretan como una descripción de qué eventos en el espacio-tiempo pueden influir en otros eventos.

La estructura causal de una variedad lorentziana arbitraria (posiblemente curva) se complica por la presencia de curvatura . Los análisis de la estructura causal de dichas variedades deben formularse en términos de curvas suaves que unen pares de puntos. Las condiciones sobre los vectores tangentes de las curvas definen entonces las relaciones causales.

Vectores tangentes

Subdivisión del espacio-tiempo de Minkowski con respecto a un punto en cuatro conjuntos disjuntos. El cono de luz , el futuro causal , el pasado causal y otros lugares . La terminología se define en este artículo.

Si es una variedad lorentziana (para métricas en la variedad ), entonces los vectores tangentes distintos de cero en cada punto de la variedad se pueden clasificar en tres tipos disjuntos . Un vector tangente es:

Aquí utilizamos la signatura métrica . Decimos que un vector tangente no es espacial si es nulo o temporal.

La variedad lorentziana canónica es el espacio-tiempo de Minkowski , donde y es la métrica plana de Minkowski . Los nombres de los vectores tangentes provienen de la física de este modelo. Las relaciones causales entre puntos en el espacio-tiempo de Minkowski toman una forma particularmente simple porque el espacio tangente también es y, por lo tanto, los vectores tangentes pueden identificarse con puntos en el espacio. El vector de cuatro dimensiones se clasifica de acuerdo con el signo de , donde es una coordenada cartesiana en el espacio tridimensional, es la constante que representa el límite de velocidad universal y es el tiempo. La clasificación de cualquier vector en el espacio será la misma en todos los marcos de referencia que estén relacionados por una transformación de Lorentz (pero no por una transformación general de Poincaré porque el origen puede desplazarse) debido a la invariancia de la métrica.

Orientabilidad temporal

En cada punto del espacio tangente temporal, los vectores tangentes del punto se pueden dividir en dos clases. Para ello, definimos primero una relación de equivalencia en pares de vectores tangentes temporales.

Si y son dos vectores tangentes temporales en un punto decimos que y son equivalentes (escritos ) si .

Existen entonces dos clases de equivalencia que contienen entre ellas todos los vectores tangentes temporales en el punto. Podemos (arbitrariamente) llamar a una de estas clases de equivalencia dirigida al futuro y a la otra dirigida al pasado . Físicamente, esta designación de las dos clases de vectores temporales dirigidos al futuro y al pasado corresponde a la elección de una flecha del tiempo en el punto. Las designaciones dirigidas al futuro y al pasado se pueden extender a vectores nulos en un punto por continuidad.

Una variedad lorentziana es orientable en el tiempo [1] si se puede hacer una designación continua de vectores no espaciales dirigidos hacia el futuro y hacia el pasado sobre toda la variedad.

Curvas

Un camino en es una función continua donde es un intervalo no degenerado (es decir, un conjunto conectado que contiene más de un punto) en . Un camino suave tiene diferenciable una cantidad apropiada de veces (normalmente ), y un camino regular tiene derivada no nula.

Una curva en es la imagen de un camino o, más propiamente, una clase de equivalencia de imágenes de caminos relacionadas por re-parametrización, es decir, homeomorfismos o difeomorfismos de . Cuando es orientable en el tiempo, la curva está orientada si se requiere que el cambio de parámetro sea monótono .

Las curvas (o trayectorias) regulares suaves se pueden clasificar según sus vectores tangentes. Una curva de este tipo es

Los requisitos de regularidad y no degeneración garantizan que las curvas causales cerradas (como las que consisten en un único punto) no sean admitidas automáticamente por todos los espacio-tiempos.

Si la variedad es orientable en el tiempo, entonces las curvas no espaciales pueden clasificarse además dependiendo de su orientación con respecto al tiempo.

Una curva cronológica, nula o causal en es

Estas definiciones sólo se aplican a curvas causales (cronológicas o nulas) porque sólo a los vectores tangentes temporales o nulos se les puede asignar una orientación con respecto al tiempo.

Relaciones causales

Existen varias relaciones causales entre puntos y en la variedad .

Estas relaciones satisfacen las siguientes propiedades:

Para un punto en la variedad definimos [5]

Definimos de manera similar

Los puntos contenidos en , por ejemplo, pueden alcanzarse desde mediante una curva temporal dirigida al futuro. El punto puede alcanzarse, por ejemplo, desde los puntos contenidos en mediante una curva no espacial dirigida al futuro.

En el espacio-tiempo de Minkowski, el conjunto es el interior del futuro cono de luz en . El conjunto es el cono de luz futuro completo en , incluido el propio cono.

Estos conjuntos definidos para todos en , se denominan colectivamente la estructura causal de .

Para un subconjunto de definimos [5]

Para dos subconjuntos de definimos

Diamante causal

Propiedades

Véase Penrose (1972), pág. 13.

Propiedades topológicas :

Geometría conforme

Dos métricas y están relacionadas conformemente [8] si para alguna función real llamada factor conforme . (Ver mapa conforme ).

Si observamos las definiciones de qué vectores tangentes son temporales, nulos y espaciales, vemos que permanecen invariables si usamos o . Como ejemplo, supongamos que es un vector tangente temporal con respecto a la métrica. Esto significa que . Entonces tenemos que por lo tanto es un vector tangente temporal con respecto a también.

De esto se desprende que la estructura causal de una variedad lorentziana no se ve afectada por una transformación conforme .

Una geodésica nula sigue siendo una geodésica nula bajo un reescalamiento conforme.

Infinito conforme

Una métrica infinita admite geodésicas de longitud/tiempo propio infinitos. Sin embargo, a veces podemos hacer un reescalamiento conforme de la métrica con un factor conforme que cae lo suficientemente rápido a 0 a medida que nos acercamos al infinito para obtener el límite conforme de la variedad. La estructura topológica del límite conforme depende de la estructura causal.

En varios espacios:

Singularidad gravitacional

Si una geodésica termina después de un parámetro afín finito, y no es posible extender la variedad para extender la geodésica, entonces tenemos una singularidad .

El horizonte de sucesos absoluto es el cono nulo pasado del infinito temporal futuro. Se genera mediante geodésicas nulas que obedecen a la ecuación óptica de Raychaudhuri .

Véase también

Notas

  1. ^ Hawking e Israel 1979, pág. 255
  2. ^ Galloway, Gregory J. "Notas sobre la causalidad lorentziana" (PDF) . Escuela de verano ESI-EMS-IAMP sobre relatividad matemática . Universidad de Miami. p. 4 . Consultado el 2 de julio de 2021 .
  3. ^ Penrose 1972, pág. 15
  4. ^ ab Papadopoulos, Kyriakos; Acharjee, Santanu; Papadopoulos, Basil K. (mayo de 2018). "El orden en el cono de luz y su topología inducida". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 15 (5): 1850069–1851572. arXiv : 1710.05177 . Código Bibliográfico :2018IJGMM..1550069P. doi :10.1142/S021988781850069X. S2CID  119120311.
  5. ^ abcdef Penrose 1972, pág. 12
  6. ^ Stoica, OC (25 de mayo de 2016). "Estructura causal del espacio-tiempo y dimensión a partir de la relación horismótica". Journal of Gravity . 2016 : 1–6. arXiv : 1504.03265 . doi : 10.1155/2016/6151726 .
  7. ^ Ab Sard 1970, pág. 78
  8. ^ Hawking y Ellis 1973, pág. 42

Referencias

Lectura adicional

Enlaces externos