tabla de caracteres

En teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , una tabla de caracteres es una tabla bidimensional cuyas filas corresponden a representaciones irreducibles y cuyas columnas corresponden a clases de conjugación de elementos de grupo . Las entradas constan de caracteres , los rastros de las matrices que representan elementos de grupo de la clase de la columna en la representación de grupo de la fila dada. En química , cristalografía y espectroscopia , las tablas de caracteres de grupos de puntos se utilizan para clasificar , por ejemplo, vibraciones moleculares según su simetría y para predecir si una transición entre dos estados está prohibida por razones de simetría. Muchos libros de texto de nivel universitario sobre química física , química cuántica , espectroscopia y química inorgánica dedican un capítulo al uso de tablas de caracteres de grupos de simetría. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

Definición y ejemplo

Los caracteres complejos irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres que codifica mucha información útil sobre el grupo G de forma concisa. Cada fila está etiquetada por un carácter irreducible y las entradas en la fila son los valores de ese carácter en cualquier representante de la clase de conjugación respectiva de G (porque los caracteres son funciones de clase ). Las columnas están etiquetadas por (representantes de) las clases de conjugación de G . Es habitual etiquetar la primera fila por el carácter de la representación trivial , que es la acción trivial de G en un espacio vectorial unidimensional por para todos . Por lo tanto, cada entrada en la primera fila es 1. De manera similar, se acostumbra etiquetar la primera columna por la identidad . Las entradas de la primera columna son los valores de los caracteres irreducibles en la identidad, los grados de los caracteres irreducibles. Los caracteres de grado 1 se conocen como caracteres lineales . ${\displaystyle \rho (g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

Aquí está la tabla de caracteres de C ₃ = <u> , el grupo cíclico con tres elementos y generador u :

donde ω es una raíz cúbica primitiva de la unidad . La tabla de caracteres para grupos cíclicos generales es (un múltiplo escalar de) la matriz DFT .

Otro ejemplo es la tabla de caracteres de : ${\displaystyle S_{3}}$

donde (12) representa la clase de conjugación que consta de (12), (13), (23), mientras que (123) representa la clase de conjugación que consta de (123), (132). Para obtener más información sobre la tabla de caracteres de grupos simétricos, consulte [1].

La primera fila de la tabla de caracteres siempre consta de unos y corresponde a la representación trivial (la representación unidimensional que consta de matrices de 1 × 1 que contienen la entrada 1). Además, la tabla de caracteres siempre es cuadrada porque (1) los caracteres irreducibles son ortogonales por pares y (2) ninguna otra función de clase no trivial es ortogonal a cada carácter. (Una función de clase es aquella que es constante en las clases de conjugación). Esto está ligado al hecho importante de que las representaciones irreducibles de un grupo finito G están en biyección con sus clases de conjugación. Esta biyección también se sigue al mostrar que las sumas de clases forman una base para el centro del álgebra de grupo de G , que tiene una dimensión igual al número de representaciones irreducibles de G.

Relaciones de ortogonalidad

El espacio de funciones de clase de valores complejos de un grupo finito G tiene un producto interno natural :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

donde denota el conjugado complejo del valor de on . Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres: ${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

La relación de ortogonalidad para columnas es la siguiente: ${\displaystyle g,h\in G}$

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate}}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

donde la suma abarca todos los caracteres irreducibles de G y el símbolo denota el orden del centralizador de . ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$ ${\displaystyle g}$

Para un carácter arbitrario , es irreducible si y sólo si . ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1}$

Las relaciones de ortogonalidad pueden ayudar en muchos cálculos, entre ellos:

• Descomponer un carácter desconocido como una combinación lineal de caracteres irreducibles, es decir, # de copias de la representación irreducible V _i en . ${\displaystyle V=\left\langle \chi ,\chi _{i}\right\rangle }$
• Construir la tabla de caracteres completa cuando solo se conocen algunos de los caracteres irreducibles.
• Encontrar las órdenes de los centralizadores de representantes de las clases de conjugación de un grupo.
• Encontrar el orden del grupo, , para cualquier g en G . ${\displaystyle \left|G\right|=\left|Cl(g)\right|*\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}}$

Si la representación irreducible V no es trivial, entonces ${\displaystyle \sum _{g}\chi (g)=0.}$

Más específicamente, considere la representación regular que es la permutación obtenida de un grupo finito G que actúa sobre (el espacio vectorial libre abarcado por) sí mismo. Los personajes de esta representación son y por no la identidad. Entonces dada una representación irreducible , ${\displaystyle \chi (e)=\left|G\right|}$ ${\displaystyle \chi (g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \left\langle \chi _{\text{reg}},\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)}}={\frac {1}{\left|G\right|}}\chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operatorname {dim} V_{i}}$.

Luego, descomponiendo las representaciones regulares como una suma de representaciones irreducibles de G , obtenemos , de lo cual concluimos ${\displaystyle V_{\text{reg}}=\bigoplus V_{i}^{\operatorname {dim} V_{i}}}$

${\displaystyle |G|=\operatorname {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operatorname {dim} V_{i})^{2}}$

sobre todas las representaciones irreductibles . Esta suma puede ayudar a reducir las dimensiones de las representaciones irreductibles en una tabla de caracteres. Por ejemplo, si el grupo tiene orden 10 y 4 clases de conjugación (por ejemplo, el grupo diédrico de orden 10), entonces la única forma de expresar el orden del grupo como una suma de cuatro cuadrados es , por lo que conocemos las dimensiones de todos Las representaciones irreductibles. ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle 10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}}$

Propiedades

La conjugación compleja actúa sobre la tabla de caracteres: dado que el conjugado complejo de una representación es nuevamente una representación, lo mismo ocurre con los caracteres y, por lo tanto, un carácter que adopta valores complejos no reales tiene un carácter conjugado.

Ciertas propiedades del grupo G se pueden deducir de su tabla de caracteres:

• El orden de G viene dado por la suma de los cuadrados de las entradas de la primera columna (los grados de los caracteres irreducibles). De manera más general, la suma de los cuadrados de los valores absolutos de las entradas en cualquier columna da el orden del centralizador de un elemento de la clase de conjugación correspondiente.
• Todos los subgrupos normales de G (y, por tanto, si G es simple o no ) pueden reconocerse a partir de su tabla de caracteres. El núcleo de un carácter χ es el conjunto de elementos g en G para los cuales χ(g) = χ(1); este es un subgrupo normal de G . Cada subgrupo normal de G es la intersección de los núcleos de algunos de los caracteres irreducibles de G.
• El número de representaciones irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación que tiene G.
• El subgrupo conmutador de G es la intersección de los núcleos de los caracteres lineales de G.
• Si G es finito, entonces como la tabla de caracteres es cuadrada y tiene tantas filas como clases de conjugación, se deduce que G es abeliano si cada clase de conjugación tiene tamaño 1 si la tabla de caracteres de G es si cada carácter irreducible es lineal. ${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$
• De ello se deduce, utilizando algunos resultados de Richard Brauer de la teoría de la representación modular , que los divisores primos de los órdenes de los elementos de cada clase de conjugación de un grupo finito pueden deducirse de su tabla de caracteres (una observación de Graham Higman ).

La tabla de caracteres no determina en general el grupo hasta el isomorfismo : por ejemplo, el grupo cuaternión y el grupo diédrico de orden 8 tienen la misma tabla de caracteres. Brauer preguntó si la tabla de caracteres, junto con el conocimiento de cómo se distribuyen las potencias de los elementos de sus clases de conjugación, determina un grupo finito hasta el isomorfismo. En 1964, EC Dade respondió negativamente .

Las representaciones lineales de G son en sí mismas un grupo bajo el producto tensor , ya que el producto tensorial de los espacios vectoriales unidimensionales es nuevamente unidimensional . Es decir, si y son representaciones lineales, entonces define una nueva representación lineal. Esto da lugar a un grupo de caracteres lineales, denominado grupo de caracteres en la operación . Este grupo está conectado con los personajes de Dirichlet y el análisis de Fourier . ${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$ ${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

Automorfismos externos

El grupo de automorfismo externo actúa sobre la tabla de caracteres permutando columnas (clases conjugadas) y, en consecuencia, filas, lo que le da otra simetría a la tabla. Por ejemplo, los grupos abelianos tienen el automorfismo externo , que no es trivial excepto para los 2 grupos abelianos elementales , y el externo porque los grupos abelianos son precisamente aquellos para los cuales la conjugación ( automorfismos internos ) actúa de manera trivial. En el ejemplo anterior, este mapa envía y, en consecuencia, cambia y (cambiando sus valores de y ). Tenga en cuenta que este automorfismo particular (negativo en grupos abelianos) concuerda con la conjugación compleja. ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$

Formalmente, si es un automorfismo de G y es una representación, entonces es una representación. Si es un automorfismo interno (conjugación por algún elemento a ), entonces actúa trivialmente sobre las representaciones, porque las representaciones son funciones de clase (la conjugación no cambia su valor). Así, una clase dada de automorfismos externos actúa sobre los caracteres; debido a que los automorfismos internos actúan de manera trivial, la acción del grupo de automorfismos desciende al cociente . ${\displaystyle \phi \colon G\to G}$ ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} }$ ${\displaystyle \rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{a}}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} }$ ${\displaystyle \mathrm {Out} }$

Esta relación se puede usar de ambas maneras: dado un automorfismo externo, se pueden producir nuevas representaciones (si la representación no es igual en las clases de conjugación que se intercambian por el automorfismo externo) y, a la inversa, se pueden restringir posibles automorfismos externos basados ​​en el carácter. mesa.

Encontrar los modos de vibración de una molécula de agua usando la tabla de caracteres.

Para encontrar el número total de modos de vibración de una molécula de agua, la representación irreducible Γ _irreducible debe calcularse primero a partir de la tabla de caracteres de una molécula de agua.

Encontrar Γ reducible a partir de la tabla de caracteres de la molécula de H ² O

La molécula de agua ( ) pertenece al grupo de puntos . ^[7] A continuación se muestra la tabla de caracteres del grupo de puntos, que también es la tabla de caracteres de una molécula de agua. ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$ ${\displaystyle C_{2v}}$ ${\displaystyle C_{2v}}$

Aquí, la primera fila describe las posibles operaciones de simetría de este grupo de puntos y la primera columna representa los símbolos de Mulliken. Las columnas quinta y sexta son funciones de las variables del eje.

Funciones:

• ${\displaystyle x}$, y están relacionados con el movimiento traslacional y las bandas activas de IR. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle R_{x}}$, y están relacionados con la rotación alrededor del eje respectivo. ${\displaystyle R_{y}}$ ${\displaystyle R_{z}}$
• Las funciones cuadráticas (como , , , , , , , ) están relacionadas con bandas activas Raman. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle zx}$

Al determinar los caracteres de una representación, asigna si permanece sin cambios, si se movió y si invirtió su dirección. Una forma sencilla de determinar los caracteres de la representación reducible es multiplicar el " número de átomos no desplazados " por la " contribución por átomo " a lo largo de cada uno de los tres ejes ( ) cuando se lleva a cabo una operación de simetría. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$ ${\displaystyle x,y,z}$

A menos que se indique lo contrario, para la operación de identidad , la "contribución por átomo no desplazado" para cada átomo es siempre , ya que ninguno de los átomos cambia su posición durante esta operación. Para cualquier operación de simetría reflexiva , la "contribución por átomo" es siempre , como para cualquier reflexión, un átomo permanece sin cambios a lo largo de dos ejes e invierte su dirección junto con el otro eje. Para la operación de simetría inversa , la "contribución por átomo no desplazado" es siempre , ya que cada uno de los tres ejes de un átomo invierte su dirección durante esta operación. Una forma más sencilla de calcular la "contribución por átomo no desplazado" para una operación de simetría es utilizar las siguientes fórmulas ^[8] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -3}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle C_{n}=2\cos \theta +1}$

${\displaystyle S_{n}=2\cos \theta -1}$

dónde, ${\displaystyle \theta ={\frac {360}{n}}}$

Una versión simplificada de las declaraciones anteriores se resume en la siguiente tabla.

Carácter de para cualquier operación de simetría Número de átomos no desplazados durante esta operación Contribución por átomo no desplazado a lo largo de cada uno de los tres ejes ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \times }$

Calcular la representación irreducible Γ irreducible a partir de la representación reducible Γ reducible junto con la tabla de caracteres

De la discusión anterior, una nueva tabla de caracteres para una molécula de agua ( grupo de puntos) se puede escribir como ${\displaystyle C_{2v}}$

Usando la nueva tabla de caracteres que incluye , la representación reducible para todos los movimientos de la molécula se puede reducir usando la siguiente fórmula ${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$ ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$

${\displaystyle N={\frac {1}{h}}\sum _{x}(X_{i}^{x}\times X_{r}^{x}\times n^{x})}$

dónde,

${\displaystyle h=}$orden del grupo,

${\displaystyle X_{i}^{x}=}$carácter del para una clase particular, ${\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}$

${\displaystyle X_{r}^{x}=}$carácter de la representación reducible para una clase particular,

${\displaystyle n^{x}=}$el número de operaciones en la clase

Entonces,

${\displaystyle N_{A_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times 1\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times 1\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{A_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1+((-1)\times 1\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=1}$

${\displaystyle N_{B_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{B_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times 1\times 1)]=2}$

Entonces, la representación reducida de todos los movimientos de la molécula de agua será

${\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}}=3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2}}$

Movimiento de traslación de la molécula de agua.

El movimiento de traslación se corresponderá con las representaciones reducibles en la tabla de caracteres, que tienen y funcionan ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Como solo las representaciones reducibles y corresponden a la función y , ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{translational}}=A_{1}+B_{1}+B_{2}}$

Movimiento de rotación de la molécula de agua.

El movimiento de rotación se corresponderá con las representaciones reducibles en la tabla de caracteres, que tienen y funcionan ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle R_{y}}$ ${\displaystyle R_{z}}$

Como solo las representaciones reducibles y corresponden a la función y , ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{rotational}}=A_{2}+B_{1}+B_{2}}$

Modos vibratorios totales de la molécula de agua.

Modo vibratorio total, ${\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}=\Gamma _{\text{irreducible}}-\Gamma _{\text{translational}}-\Gamma _{\text{rotational}}}$

${\displaystyle =(3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2})-(A_{1}+B_{1}+B_{2})-(A_{2}+B_{1}+B_{2})}$

${\displaystyle =2A_{1}+B_{1}}$

Entonces, los modos de vibración totales son posibles para las moléculas de agua y dos de ellos son modos de vibración simétricos (como ) y el otro modo de vibración es antisimétrico (como ) ${\displaystyle 2+1=3}$ ${\displaystyle 2A_{1}}$ ${\displaystyle 1B_{1}}$

Comprobar si la molécula de agua es activa IR o Raman activa

Existen algunas reglas para estar activo por IR o Raman para un modo en particular.

• Si hay un , o para cualquier representación irreducible, entonces el modo es IR activo ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• Si hay funciones cuadráticas como , , , , , o para cualquier representación irreducible, entonces el modo es Raman activo ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle xz}$
• Si no hay funciones , ni cuadráticas para ninguna representación irreducible, entonces el modo no es activo IR ni Raman activo ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Como los modos de vibración de la molécula de agua contienen funciones cuadráticas , o y, tiene modos de vibración activos IR y modos de vibración activos Raman. ${\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Reglas similares se aplicarán para el resto de las representaciones irreductibles. ${\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}},\Gamma _{\text{translational}},\Gamma _{\text{rotational}}}$

Ver también

• Representación irreducible § Aplicaciones en física teórica y química.
• simetría molecular
• Lista de tablas de caracteres para grupos de puntos 3D químicamente importantes
• Tablas de caracteres de grupos pequeños en GroupNames
• Isaacs, I. Martín (1976). Teoría del carácter de grupos finitos . Publicaciones de Dover.
• Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Tabla de personajes". MundoMatemático .

Referencias

1. Química cuántica , 3ª ed. John P. Lowe, Kirk Peterson ISBN 0-12-457551-X 
2. Química física: un enfoque molecular por Donald A. McQuarrie, John D. Simon ISBN 0-935702-99-7 
3. El enlace químico , 2ª ed. JN Murrell, SFA Kettle, JM Tedder ISBN 0-471-90760-X 
4. Química Física , 8ª ed. PW Atkins y J. de Paula, WH Freeman, 2006 ISBN 0-7167-8759-8 , capítulo 12 
5. Simetría molecular y espectroscopia , 2ª ed. Philip R. Bunker y Per Jensen, NRC Research Press, Ottawa, 1998 ISBN 9780660196282 
6. GL Miessler y DA Tarr Química inorgánica , 2ª ed. Pearson, Prentice Hall, 1998 ISBN 0-13-841891-8 , capítulo 4. 
7. Reimers, JR; Watts, RO (10 de junio de 1984). "Una función potencial en modo local para la molécula de agua". Física Molecular . 52 (2): 357–381. doi :10.1080/00268978400101271. ISSN  0026-8976.
8. Davidson, George (6 de junio de 1991). Teoría de grupos para químicos. Educación Superior Internacional Macmillan. ISBN 978-1-349-21357-3.