Expresión (matemáticas)

Una combinación finita de símbolos que describe un objeto matemático.

En matemáticas , una expresión es una disposición escrita de símbolos que sigue las convenciones sintácticas dependientes del contexto de la notación matemática . Los símbolos pueden denotar números ( constantes ), variables , operaciones y funciones . ^[1] Otros símbolos incluyen signos de puntuación y corchetes (que se usan a menudo para agrupar, es decir, para considerar una parte de la expresión como un solo símbolo).

Muchos autores distinguen una expresión de una fórmula : la primera denota un objeto matemático y la segunda una afirmación sobre objetos matemáticos. ^[2] Esto es análogo al lenguaje natural, donde una frase nominal se refiere a un objeto y una oración completa se refiere a un hecho. Por ejemplo, es una expresión, mientras que es una fórmula. ${\displaystyle 8x-5}$ ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Las expresiones se pueden evaluar o evaluar parcialmente reemplazando las operaciones que aparecen en ellas con su resultado. Por ejemplo, la expresión se evalúa parcialmente como y totalmente como ${\displaystyle 8\times 2-5}$ ${\displaystyle 16-5}$ ${\displaystyle 11.}$

Una expresión se utiliza a menudo para definir una función , tomando las variables como argumentos , o entradas, de la función, y asignando la salida como la evaluación total de la expresión resultante. ^[3] Por ejemplo, y definen la función que asocia a cada número su cuadrado más uno. Una expresión sin variables definiría una función constante . Por lo general, dos expresiones se consideran iguales o equivalentes si definen la misma función. Tal igualdad se llama " igualdad semántica ", es decir, ambas expresiones "significan lo mismo". ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

Una expresión formal es una especie de cadena de símbolos , creada con las mismas reglas de producción que las expresiones estándar, sin embargo, se utilizan sin tener en cuenta el significado de la expresión. De esta manera, dos expresiones formales se consideran iguales solo si son sintácticamente iguales, es decir, si son exactamente la misma expresión. ^{[4] [5]} Por ejemplo, las expresiones formales "2" y "1+1" no son iguales.

Ejemplos

El uso de expresiones varía desde las más sencillas:

${\displaystyle 3+8}$

${\displaystyle 8x-5}$   ( polinomio lineal )

${\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}$   ( polinomio cuadrático )

${\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}$   ( fracción racional )

Al complejo:

${\displaystyle f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))}$ ${\displaystyle +\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.}$

Variables y evaluación

Muchas expresiones incluyen variables . Cualquier variable puede clasificarse como variable libre o variable ligada .

Para una combinación dada de valores de las variables libres, se puede evaluar una expresión, aunque para algunas combinaciones de valores de las variables libres, el valor de la expresión puede ser indefinido. Por lo tanto, una expresión representa una operación sobre constantes y variables libres y cuya salida es el valor resultante de la expresión. ^[6]

Por ejemplo, si la expresión se evalúa con x = 10, y = 5 , se evalúa como 2; esto se denota ${\displaystyle x/y}$

${\displaystyle x/y{\text{ }}|_{x=10,\,y=5}=2.}$

La evaluación no está definida para y = 0

Se dice que dos expresiones son equivalentes si, para cada combinación de valores de las variables libres, tienen la misma salida, es decir, representan la misma función. ^{[7] [8]} La equivalencia entre dos expresiones se denomina identidad y a menudo se denota con ${\displaystyle \equiv .}$

Por ejemplo, en la expresión la variable n está ligada y la variable x es libre. Esta expresión es equivalente a la expresión más simple 12 x ; es decir El valor para x = 3 es 36, que puede denotarse ${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

Sintaxis versus semántica

Sintaxis

Una expresión es una construcción sintáctica. Debe estar bien formada . Se puede describir de manera un tanto informal de la siguiente manera: los operadores permitidos deben tener la cantidad correcta de entradas en los lugares correctos, los caracteres que componen estas entradas deben ser válidos, tener un orden claro de operaciones , etc. Las cadenas de símbolos que violan las reglas de sintaxis no están bien formadas y no son expresiones matemáticas válidas. ^[9]

Por ejemplo, en aritmética , la expresión 1 + 2 × 3 está bien formada, pero

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

no es.

Semántica

La semántica es el estudio del significado. La semántica formal trata de atribuir significado a las expresiones.

En álgebra , una expresión puede utilizarse para designar un valor, que puede depender de los valores asignados a las variables que aparecen en la expresión. ^{[ cita requerida ]} La determinación de este valor depende de la semántica asociada a los símbolos de la expresión. La elección de la semántica depende del contexto de la expresión. La misma expresión sintáctica 1 + 2 × 3 puede tener diferentes valores (matemáticamente 7, pero también 9), dependiendo del orden de las operaciones implícitas en el contexto (véase también Operaciones § Calculadoras ).

Las reglas semánticas pueden declarar que ciertas expresiones no designan ningún valor (por ejemplo, cuando implican una división por 0); se dice que dichas expresiones tienen un valor indefinido, pero no por ello dejan de ser expresiones bien formadas. En general, el significado de las expresiones no se limita a designar valores; por ejemplo, una expresión puede designar una condición o una ecuación que se debe resolver, o puede verse como un objeto en sí mismo que puede manipularse de acuerdo con ciertas reglas. ^{[ cita requerida ]} Ciertas expresiones que designan un valor expresan simultáneamente una condición que se supone que se cumple, por ejemplo, aquellas que involucran al operador para designar una suma directa interna . ${\displaystyle \oplus }$

Definición formal

Una expresión bien formada en matemáticas puede describirse como parte de un lenguaje formal y definirse recursivamente de la siguiente manera: ^[10]

El alfabeto consta de:

• Un conjunto de constantes/definidas: símbolos que representan objetos fijos en el dominio del discurso , como números (1, 2,5, 1/7, ...), conjuntos ( , ...), valores de verdad (V o F), etc. ${\displaystyle \varnothing ,\{1,2,3\}}$

• Un conjunto de nombres de variables: una cantidad infinitamente numerable de variables utilizadas para representar objetos matemáticos en el dominio. (Generalmente letras como x o y )

• Un conjunto de operaciones: símbolos de funciones que representan operaciones que se pueden realizar sobre elementos del dominio, como la suma (+), la multiplicación (×) u operaciones de conjuntos como la unión (∪) o la intersección (∩). (Las funciones pueden entenderse como operaciones unarias )

• Corchetes ( )

Con este alfabeto, las reglas recursivas para formar expresiones bien formadas (WFE) son las siguientes:

• Cualquier constante o variable definida es una expresión atómica (la WFE más simple). Por ejemplo, las expresiones " " o " " son expresiones sintácticamente correctas. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$

• Sea una operación n-aria sobre el dominio, y sean metavariables para cualquier WFE. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}}$

Entonces también es una WFE. ${\displaystyle F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})}$

Por ejemplo, si el dominio del discurso son los números reales , puede denotar la operación binaria +, entonces es una WFE. O puede ser la operación unaria , entonces también lo es. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \surd }$ ${\displaystyle {\sqrt {\phi _{1}}}}$

Los corchetes se encuentran inicialmente alrededor de cada expresión no atómica, pero se pueden eliminar en los casos en que existe un orden definido de operaciones , o donde el orden no importa (es decir, donde las operaciones son asociativas ).

Una expresión bien formada puede considerarse como un árbol sintáctico . ^[11] Los nodos hoja son siempre expresiones atómicas. Las operaciones y tienen exactamente dos nodos secundarios, mientras que las operaciones , y tienen exactamente uno. Hay infinitas expresiones WFE, sin embargo, cada una tiene un número finito de nodos. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ ${\textstyle {\text{ln}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

Cálculo lambda

Los lenguajes formales permiten formalizar el concepto de expresiones bien formadas.

En la década de 1930, Alonzo Church y Stephen Kleene introdujeron un nuevo tipo de expresiones, llamadas expresiones lambda , para formalizar funciones y su evaluación. ^{[12] [a]} Forman la base del cálculo lambda , un sistema formal utilizado en la lógica matemática y la teoría de los lenguajes de programación .

La equivalencia de dos expresiones lambda es indecidible . Esto también es así para las expresiones que representan números reales, que se construyen a partir de los números enteros mediante las operaciones aritméticas, el logaritmo y la exponencial ( teorema de Richardson ).

Tipos de expresiones

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes algebraicas , variables y operaciones algebraicas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación por un número racional ). ^[13] Por ejemplo, 3 x ² − 2 xy + c es una expresión algebraica. Dado que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia ⁠1/2⁠ , lo siguiente también es una expresión algebraica:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Véase también: Ecuación algebraica y Cierre algebraico

Expresión polinómica

Una expresión polinómica es una expresión construida con escalares (números de elementos de algún campo), indeterminados y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas; por ejemplo ${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

Usando la asociatividad , la conmutatividad y la distributividad , cada expresión polinómica es equivalente a un polinomio , es decir, una expresión que es una combinación lineal de productos de potencias enteras de indeterminados. Por ejemplo, la expresión polinómica anterior es equivalente (denote el mismo polinomio como ${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

Muchos autores no distinguen entre polinomios y expresiones polinómicas. En este caso, la expresión de una expresión polinómica como combinación lineal se denomina forma canónica , forma normal o forma expandida del polinomio.

Expresión computacional

En informática , una expresión es una entidad sintáctica en un lenguaje de programación que puede evaluarse para determinar su valor ^[14] o no terminar, en cuyo caso la expresión no está definida. ^[15] Es una combinación de una o más constantes , variables , funciones y operadores que el lenguaje de programación interpreta (según sus reglas particulares de precedencia y de asociación ) y calcula para producir ("devolver", en un entorno con estado ) otro valor. Este proceso, para expresiones matemáticas, se llama evaluación . En configuraciones simples, el valor resultante suele ser uno de varios tipos primitivos , como cadena , booleano o numérico (como entero , punto flotante o complejo ).

En álgebra computacional , las fórmulas se consideran expresiones que se pueden evaluar como booleanas, según los valores que se les asignan a las variables que aparecen en las expresiones. Por ejemplo, toma el valor falso si se asigna a x un valor menor que 1 y el valor verdadero en caso contrario. ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Las expresiones a menudo se contrastan con las declaraciones : entidades sintácticas que no tienen valor (una instrucción).

Representación de la expresión (8 − 6) × (3 + 1) como un árbol Lisp , de una tesis de maestría de 1985 ^[16]

A excepción de los números y las variables , toda expresión matemática puede ser vista como el símbolo de un operador seguido de una secuencia de operandos. En el software de álgebra computacional, las expresiones se representan generalmente de esta manera. Esta representación es muy flexible y muchas cosas que a primera vista no parecen expresiones matemáticas, pueden representarse y manipularse como tales. Por ejemplo, una ecuación es una expresión con "=" como operador, una matriz puede representarse como una expresión con "matriz" como operador y sus filas como operandos.

Ver: Expresión de álgebra computacional

Expresión lógica

En lógica matemática , una "expresión lógica" puede hacer referencia a términos o fórmulas . Un término denota un objeto matemático, mientras que una fórmula denota un hecho matemático. En particular, los términos aparecen como componentes de una fórmula.

Un término de primer orden se construye recursivamente a partir de símbolos constantes, variables y símbolos de función . Una expresión formada al aplicar un símbolo de predicado a un número apropiado de términos se llama fórmula atómica , que evalúa como verdadera o falsa en lógicas bivalentes , dada una interpretación . Por ejemplo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)}$ es un término construido a partir de la constante 1, la variable x y los símbolos de función binaria ⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle *}$ ; es parte de la fórmula atómica ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)\geq 0}$ que evalúa como verdadera para cada valor de número real de x .

Véase también

• Expresión analítica
• Expresión de forma cerrada
• Combinador
• Definido e indefinido
• Programación funcional
• Reescritura
• Oración numérica
• Firma (lógica)
• Expresión bien definida

Notas

1. “expresión (n.), sentido II.7,”. Diccionario Oxford de inglés .
2. Stoll, Robert R. Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
3. Codd, Edgar Frank (junio de 1970). "Un modelo relacional de datos para grandes bancos de datos compartidos" (PDF) . Comunicaciones de la ACM . 13 (6): 377–387. doi :10.1145/362384.362685. S2CID  207549016. Archivado (PDF) desde el original el 8 de septiembre de 2004 . Consultado el 29 de abril de 2020 .
4. McCoy, Neal H. (1960). Introducción al álgebra moderna. Boston: Allyn & Bacon . pág. 127. LCCN  68015225.
5. Fraleigh, John B. (2003). Un primer curso de álgebra abstracta. Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-76390-4.
6. CC Chang ; H. Jerome Keisler (1977). Teoría de modelos . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. Vol. 73. Holanda Septentrional.; aquí: Sec.1.3
7. Ecuación. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ecuación&oldid=32613
8. Pratt, Vaughan, "Álgebra", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2022), Edward N. Zalta y Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
9. Stoll, Robert R. Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
10. CC Chang ; H. Jerome Keisler (1977). Teoría de modelos . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. Vol. 73. Holanda Septentrional.; aquí: Sec.1.3
11. Hermes, Hans (1973). Introducción a la lógica matemática . Springer Londres. ISBN 3540058192. ISSN  1431-4657.; aquí: Secc.II.1.3
12. Church, Alonzo (1932). "Un conjunto de postulados para la fundación de la lógica". Anales de Matemáticas . Serie 2. 33 (2): 346–366. doi :10.2307/1968337. JSTOR  1968337.
13. Morris, Christopher G. (1992). Diccionario de ciencia y tecnología de Academic Press . Gulf Professional Publishing. pág. 74. expresión algebraica sobre un campo.
14. Mitchell, J. (2002). Conceptos en lenguajes de programación. Cambridge: Cambridge University Press, 3.4.1 Statements and Expressions , pág. 26
15. Maurizio Gabbrielli, Simone Martini (2010). Lenguajes de programación: principios y paradigmas. Springer Londres, 6.1 Expresiones , pág. 120
16. Cassidy, Kevin G. (diciembre de 1985). La viabilidad de la recuperación automática de almacenamiento con ejecución concurrente de programas en un entorno LISP (PDF) (tesis de maestría). Naval Postgraduate School, Monterey/CA. p. 15. ADA165184.

1. Para una historia completa, véase "Historia del cálculo lambda y la lógica combinatoria" de Cardone y Hindley (2006).

Referencias

• Redden, John (2011). «Álgebra elemental». Conocimiento del mundo plano . Archivado desde el original el 15 de noviembre de 2014. Consultado el 18 de marzo de 2012 .