Swap de varianza

Un swap de varianza es un derivado financiero extrabursátil que permite especular o cubrir los riesgos asociados con la magnitud del movimiento, es decir, la volatilidad , de algún producto subyacente , como un tipo de cambio , una tasa de interés o un índice bursátil .

Una de las partes del swap pagará una cantidad basada en la varianza realizada de los cambios de precio del producto subyacente. Convencionalmente, estos cambios de precio serán rendimientos logarítmicos diarios , basados ​​en el precio de cierre más comúnmente utilizado. La otra parte del swap pagará una cantidad fija, que es el precio de ejercicio , cotizado al inicio del acuerdo. Por lo tanto, el pago neto a las contrapartes será la diferencia entre estos dos y se liquidará en efectivo al vencimiento del acuerdo, aunque es probable que una u otra contraparte realicen algunos pagos en efectivo a lo largo del camino para mantener el margen acordado .

Estructura y características

Las características de un swap de varianza incluyen:

• La huelga de varianza
• la varianza realizada
• El nocional vega : al igual que otros swaps , el pago se determina en función de un monto nocional que nunca se intercambia. Sin embargo, en el caso de un swap de varianza, el monto nocional se especifica en términos de vega , para convertir el pago en términos de dólares.

El pago por un swap de varianza se da de la siguiente manera:

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }(\sigma _{\text{realised}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})}$

dónde:

• ${\displaystyle N_{\operatorname {var} }}$= varianza nocional (también conocida como unidades de varianza),
• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}^{2}}$= varianza realizada anualizada, y
• ${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}}$= huelga de varianza. ^[1]

La varianza realizada anualizada se calcula en función de un conjunto preestablecido de puntos de muestreo a lo largo del período. No siempre coincide con la definición estadística clásica de varianza, ya que los términos del contrato pueden no restar la media. Por ejemplo, supongamos que hay precios observados donde para a . Defina los retornos logarítmicos naturales. Luego ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$ ${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}^{2}={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}$

donde es un factor de anualización que normalmente se elige aproximadamente como el número de puntos de muestreo en un año (comúnmente 252) y se establece como la vida del contrato de swaps definida por el número . Se puede ver que restar el rendimiento medio disminuirá la varianza realizada. Si se hace esto, es común usar como divisor en lugar de , lo que corresponde a una estimación no sesgada de la varianza de la muestra. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n/A}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

Es práctica de mercado determinar el número de unidades contractuales de la siguiente manera:

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }={\frac {N_{\text{vol}}}{2\sigma _{\text{strike}}}}}$

donde es el nocional vega correspondiente para un swap de volatilidad . ^[1] Esto hace que el pago de un swap de varianza sea comparable al de un swap de volatilidad , otro instrumento menos popular utilizado para negociar la volatilidad. ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$

Precios y valoración

El swap de varianza puede cubrirse y, por lo tanto, fijarse su precio utilizando una cartera de opciones de compra y venta europeas con ponderaciones inversamente proporcionales al cuadrado del precio de ejercicio. ^{[2] [3]}

Por lo tanto, cualquier modelo de volatilidad que calcule el precio de las opciones tradicionales puede utilizarse para calcular el precio del swap de varianza. Por ejemplo, utilizando el modelo de Heston , se puede derivar una solución de forma cerrada para la tasa justa del swap de varianza. Se debe tener cuidado con el comportamiento del modelo de volatilidad en los momentos finales, ya que puede tener un efecto desproporcionado en el precio.

Podemos derivar el resultado de un swap de varianza utilizando el lema de Ito . Primero, suponemos que la acción subyacente se describe de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ =\mu \,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

Aplicando la fórmula de Ito, obtenemos:

${\displaystyle d(\log S_{t})=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ \right)\,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ -d(\log S_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ dt}$

Tomando integrales, la varianza total es:

${\displaystyle {\text{Variance}}={\frac {1}{T}}\ \int \limits _{0}^{T}\sigma ^{2}\,dt\ ={\frac {2}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{T}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ \ -\ln \left({\frac {S_{T}}{S_{0}}}\ \right)\right)}$

Podemos ver que la varianza total consiste en una cobertura reequilibrada de un contrato log y una posición corta de un contrato log. Usando un argumento de replicación estática , ^[4] es decir, cualquier contrato dos veces continuamente diferenciable puede ser replicado usando un bono, un futuro y una cantidad infinita de opciones de compra y venta, podemos demostrar que una posición corta de un contrato log es igual a una posición corta de un contrato de futuros y una colección de opciones de compra y venta: ${\displaystyle {\frac {1}{S_{t}}}\ }$

${\displaystyle -\ln \left({\frac {S_{T}}{S^{*}}}\ \right)=-{\frac {S_{T}-S^{*}}{S^{*}}}\ +\int \limits _{K\leq S^{*}}(K-S_{T})^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ +\int \limits _{K\geq S^{*}}(S_{T}-K)^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ }$

Tomando las expectativas y fijando el valor del swap de varianza igual a cero, podemos reorganizar la fórmula para calcular el strike del swap de varianza justo:

${\displaystyle K_{\text{var}}={\frac {2}{T}}\ \left(rT-\left({\frac {S_{0}}{S^{*}}}\ e^{rT}-1\right)-\ln \left({\frac {S^{*}}{S_{0}}}\ \right)+e^{rT}\int \limits _{0}^{S^{*}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+e^{rT}\int \limits _{S^{*}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}C(K)\,dK\right)}$

dónde:

${\displaystyle S_{0}}$es el precio inicial del valor subyacente,

${\displaystyle S^{*}>0}$es un punto de corte arbitrario,

${\displaystyle K}$es el strike de cada opción en la colección de opciones utilizadas.

A menudo, se elige como punto de corte el precio forward actual , en cuyo caso el precio de ejercicio del swap de varianza justa se puede escribir en la forma más simple: ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle S^{*}=F_{0}=S_{0}e^{rT}}$

${\displaystyle K_{var}={\frac {2e^{rT}}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{F_{0}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+\int \limits _{F_{0}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}\ C(K)\,dK\right)}$

Precios analíticos de swaps de varianza con muestreo discreto

Tal vez el muestreo discreto de la varianza realizada, como se definió anteriormente, sea más práctico para valorar el precio de ejercicio de la varianza, ya que, en realidad, solo podemos observar el precio subyacente de forma discreta en el tiempo. Esto es aún más convincente, ya que existe una afirmación de que la probabilidad converge al precio real a medida que aumenta el número de observaciones del precio. ^[5] ${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$

Supongamos que en el mundo neutral al riesgo con una medida martingala , el precio del activo subyacente resuelve la siguiente SDE: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

dónde:

• ${\displaystyle T}$impone la fecha de vencimiento del contrato de swap,
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$es una tasa de interés libre de riesgo (dependiente del tiempo),
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$es la volatilidad de los precios (dependiente del tiempo), y
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$es un movimiento browniano bajo el espacio de probabilidad filtrado donde es la filtración natural de . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle W}$

Dado como se define anteriormente por el pago al vencimiento de los swaps de varianza, entonces su valor esperado en el momento , denotado por es ${\displaystyle (\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})\times N_{\text{var}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{var}}.}$

Para evitar oportunidades de arbitraje, no debería haber ningún costo para celebrar un contrato de swap, es decir, que sea cero. Por lo tanto, el valor de strike de la varianza justa se expresa simplemente por ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

que queda por calcular ya sea encontrando su fórmula en forma cerrada o utilizando métodos numéricos, como los métodos de Monte Carlo.

Usos

Muchos traders encuentran interesantes o útiles los swaps de varianza por su pureza. Una forma alternativa de especular sobre la volatilidad es con una opción , pero si uno solo está interesado en el riesgo de volatilidad, esta estrategia requerirá una cobertura delta constante , de modo que el riesgo de dirección del valor subyacente se elimine aproximadamente. Es más, una cartera replicante de un swap de varianza requeriría una tira completa de opciones, lo que sería muy costoso de ejecutar. Finalmente, uno podría encontrarse con la necesidad de renovar regularmente esta tira completa de opciones para que permanezca centrada en el precio actual del valor subyacente .

La ventaja de los swaps de varianza es que ofrecen exposición pura a la volatilidad del precio subyacente, a diferencia de las opciones de compra y venta que pueden conllevar riesgo direccional (delta). Las ganancias y pérdidas de un swap de varianza dependen directamente de la diferencia entre la volatilidad realizada y la implícita . ^[6]

Otro aspecto que puede resultar interesante para algunos especuladores es que el precio de ejercicio cotizado está determinado por la volatilidad implícita en el mercado de opciones, mientras que el pago final se basará en la varianza realizada real. Históricamente, la varianza implícita ha sido superior a la varianza realizada, ^[7] un fenómeno conocido como prima de riesgo de varianza , lo que crea una oportunidad para el arbitraje de volatilidad , en este caso conocido como operación de venta de opciones cortas en circulación. Por la misma razón, estos swaps se pueden utilizar para cubrir opciones sobre la varianza realizada .

Instrumentos relacionados

Las estrategias estrechamente relacionadas incluyen el straddle , el swap de volatilidad , el swap de correlación , el swap gamma, el swap de varianza condicional , el swap de varianza de corredor , el swap de varianza de inicio a futuro, la opción sobre varianza realizada y el trading de correlación .

Referencias

1. "Swaps de varianza y volatilidad". FinancialCAD ​​Corporation. Archivado desde el original el 30 de junio de 2008. Consultado el 29 de septiembre de 2009 .
2. Demeterfi, Derman, Kamal, Zou (1999). "Más de lo que alguna vez quiso saber sobre swaps de volatilidad" (PDF) . Notas de investigación sobre estrategias cuantitativas de Goldman Sachs. Archivado desde el original (PDF) el 6 de septiembre de 2015.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Bossu, Strasser, Guichard (2005). "Just What You Need To Know About Variance Swaps" (PDF) . Informe sobre derivados de acciones de JPMorgan. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Carr, Madan (1998). "Hacia una teoría del comercio de volatilidad" (PDF) . En "Volatility: New Estimation Techniques for Pricing Derivatives", R. Jarrow (ed.) RISK Publications, Londres. Archivado desde el original (PDF) el 18 de abril de 2016.
5. Barndorff-Nielsen, Ole E. ; Shephard, Neil (mayo de 2002). "Análisis econométrico de la volatilidad realizada y su uso en la estimación de modelos de volatilidad estocástica". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B . 64 (2): 253–280. doi : 10.1111/1467-9868.00336 . S2CID  122716443.
6. Curnutt, Dean (febrero de 2000). "El arte del swap de varianza". Estrategia de derivados. Archivado desde el original el 7 de agosto de 2009. Consultado el 29 de septiembre de 2008 .
7. Carr, Peter; Wu, Liuren (2007). "Premios de riesgo de varianza". Reuniones de Filadelfia de la AFA de 2005. doi :10.2139/ssrn.577222. S2CID  13891424. SSRN  577222. Consultado el 7 de julio de 2020 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )