Opción sobre la varianza realizada

En finanzas, una opción sobre varianza realizada (u opción de varianza ) es un tipo de derivado de varianza que son los valores derivados en los que el pago depende de la varianza realizada anualizada del rendimiento de un activo subyacente específico, como un índice bursátil, un bono, un tipo de cambio, etc. Otro valor liquidado del mismo tipo es el swap de varianza , que es, en otras palabras, el contrato de futuros sobre la varianza realizada.

Con una noción similar a las opciones tradicionales, las opciones de varianza otorgan al propietario un derecho, pero no la obligación, de comprar o vender la varianza realizada a cambio de un precio acordado (precio de ejercicio de la varianza) en algún momento en el futuro (fecha de vencimiento), excepto que la exposición al riesgo está sujeta únicamente a la varianza del precio en sí. Esta propiedad gana interés entre los operadores, ya que pueden usarla como un instrumento para especular sobre el movimiento futuro de la volatilidad del activo para, por ejemplo, realizar una cobertura delta de una cartera, sin asumir un riesgo direccional de poseer el activo subyacente.

Definiciones

En la práctica, la varianza realizada anualizada se define por la suma del cuadrado del logaritmo del rendimiento de muestreo discreto del activo subyacente especificado. En otras palabras, si hay puntos de muestreo de los precios subyacentes, es decir, observados en el momento donde para todos , entonces la varianza realizada denotada por se valora de la forma ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{2}},\dots ,S_{t_{n}}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle RV_{d}:={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}}$

dónde

• ${\displaystyle A}$es un factor anualizado que normalmente se selecciona si el precio se monitorea diariamente, o en el caso de una observación semanal o mensual, respectivamente y ${\displaystyle A=252}$ ${\displaystyle A=52}$ ${\displaystyle A=12}$
• ${\displaystyle T}$es la fecha de vencimiento de las opciones que es igual al número ${\displaystyle n/{A}.}$

Si uno pone

• ${\displaystyle K_{\text{var}}^{C}}$ser una huelga de variación y
• ${\displaystyle L}$ser una cantidad nocional que convierte los pagos en una cantidad unitaria de dinero, digamos, por ejemplo, USD o GBP,

Entonces, los pagos al vencimiento de las opciones de compra y venta emitidas (o simplemente de las opciones de compra y venta con varianza) son ${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle (RV_{d}-K_{\text{var}}^{C})^{+}\times L}$

y

${\displaystyle (K_{\text{var}}^{C}-RV_{d})^{+}\times L}$

respectivamente.

Nótese que la varianza realizada anualizada también puede definirse mediante un muestreo continuo, que dio como resultado la variación cuadrática del precio subyacente. Es decir, si suponemos que determina la volatilidad instantánea del proceso de precios, entonces ${\displaystyle \sigma (t)}$

${\displaystyle RV_{c}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}$

define la varianza realizada anualizada de muestreo continuo que también se ha demostrado que es el límite en la probabilidad de la forma discreta ^[1], es decir

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }RV_{d}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds=RV_{c}}$.

Sin embargo, este enfoque sólo se adopta para aproximar el discreto, ya que los contratos que implican varianza realizada se cotizan prácticamente en términos del muestreo discreto.

Precios y valoración

Supongamos que, bajo una medida neutral al riesgo, el precio del activo subyacente resuelve el modelo de Black-Scholes variable en el tiempo de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

dónde:

• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$es una tasa de interés libre de riesgo (que varía en el tiempo),
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$es la volatilidad de los precios (que varía con el tiempo), y
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$es un movimiento browniano bajo el espacio de probabilidad filtrado donde es la filtración natural de . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle W}$

ฺCon esta configuración, en el caso de una llamada de varianza, su precio justo en el momento denotado por se puede obtener mediante el valor actual esperado de su función de pago, es decir ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$

${\displaystyle C_{t_{0}}^{\operatorname {var} }:=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[(RV_{(\cdot )}-K_{\operatorname {var} }^{C})^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

donde para el muestreo discreto mientras que para el muestreo continuo. Y por paridad put-call también obtenemos el valor put una vez que se conoce. La solución se puede abordar analíticamente con una metodología similar a la de la derivación de Black-Scholes una vez que se percibe la función de densidad de probabilidad de , o mediante algunos esquemas de aproximación, como el método de Monte Carlo . ${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{d}}$ ${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{c}}$ ${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$ ${\displaystyle RV_{(\cdot )}}$

Véase también

• Swap de varianza
• Swap de volatilidad
• Volatilidad (finanzas)

Referencias

1. Barndorff-Nielsen, Ole E. ; Shephard, Neil (mayo de 2002). "Análisis econométrico de la volatilidad realizada y su uso en la estimación de modelos de volatilidad estocástica". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B . 64 (2): 253–280. doi : 10.1111/1467-9868.00336 . S2CID  122716443.