Base ortogonal

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una base ortogonal para un espacio producto interno es una base cuyos vectores son mutuamente ortogonales . Si se normalizan los vectores de una base ortogonal , la base resultante es una base ortonormal . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Como coordenadas

Se puede utilizar cualquier base ortogonal para definir un sistema de coordenadas ortogonales . Las bases ortogonales (no necesariamente ortonormales) son importantes debido a su aparición a partir de coordenadas ortogonales curvilíneas en espacios euclidianos , así como en variedades riemannianas y pseudoriemannianas . ${\displaystyle V.}$

En análisis funcional

En análisis funcional , una base ortogonal es cualquier base obtenida a partir de una base ortonormal (o base de Hilbert) mediante la multiplicación por escalares distintos de cero .

Extensiones

Forma bilineal simétrica

El concepto de base ortogonal es aplicable a un espacio vectorial (sobre cualquier campo ) equipado con una forma bilineal simétrica , donde la ortogonalidad de dos vectores y la media . Para una base ortogonal : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$

$${\displaystyle \langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}}$$

forma cuadrática ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :}$ ${\displaystyle q(v)=\langle v,v\rangle }$ ${\displaystyle q(v)=\Vert v\Vert ^{2}}$

Por tanto, para una base ortogonal , ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$

$${\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _{k}q(e_{k})v^{k}w^{k},}$$

${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Forma cuadrática

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a un espacio vectorial sobre cualquier campo de característica que no esté equipado con una forma cuadrática . Partiendo de la observación de que, cuando la característica del campo subyacente no es 2, la forma bilineal simétrica asociada permite que los vectores y se definan como ortogonales con respecto a cuando . ${\displaystyle q(v)}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$

Ver también

• Base (álgebra lineal)  : conjunto de vectores utilizados para definir coordenadas
• Base ortonormal  – Base lineal específica (matemáticas)
• Marco ortonormal  : espacio euclidiano sin distancias ni ángulos
• Base Schauder  – Herramienta computacional
• Conjunto total  : subconjunto de un espacio vectorial topológico cuyo tramo lineal es densoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . pag. 6.ISBN​ 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Base ortogonal". MundoMatemático .