supermatriz

En matemáticas y física teórica , una supermatriz es un análogo de grado Z ₂ de una matriz ordinaria . Específicamente, una supermatriz es una matriz de bloques de 2 × 2 con entradas en una superálgebra (o superanillo ). Los ejemplos más importantes son aquellos con entradas en una superálgebra conmutativa (como el álgebra de Grassmann ) o en un campo ordinario (considerado como una superálgebra conmutativa puramente par).

Las supermatrices surgen en el estudio del álgebra superlineal donde aparecen como representaciones de coordenadas de transformaciones lineales entre espacios supervectoriales de dimensión finita o supermódulos libres . Tienen importantes aplicaciones en el campo de la supersimetría .

Definiciones y notación

Sea R una superálgebra fija (se supone unital y asociativa ). A menudo se requiere que R también sea superconmutativo (esencialmente por las mismas razones que en el caso no graduado).

Sean p , q , r y s números enteros no negativos. Una supermatriz de dimensión ( r | s )×( p | q ) es una matriz con entradas en R que se divide en una estructura de bloques de 2×2

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}}$

con r + s total de filas y p + q total de columnas (de modo que la submatriz X ₀₀ tiene dimensiones r × p y X ₁₁ tiene dimensiones s × q ). Una matriz ordinaria (no graduada) puede considerarse como una supermatriz para la cual q y s son ambos cero.

Una supermatriz cuadrada es aquella para la cual ( r | s ) = ( p | q ). Esto significa que no sólo la matriz no particionada X es cuadrada , sino que también lo son los bloques diagonales X ₀₀ y X _{11 .}

Una supermatriz par es aquella en la que los bloques diagonales ( X ₀₀ y X ₁₁ ) constan únicamente de elementos pares de R (es decir, elementos homogéneos de paridad 0) y los bloques fuera de la diagonal ( X ₀₁ y X ₁₀ ) constan únicamente de elementos impares. de R.​

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}}$

Una supermatriz impar es aquella en la que ocurre lo contrario: los bloques diagonales son impares y los bloques fuera de la diagonal son pares.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}}$

Si los escalares R son puramente pares, no hay elementos impares distintos de cero, por lo que las supermatrices pares son las diagonales de bloque y las supermatrices impares son las fuera de la diagonal.

Una supermatriz es homogénea si es par o impar. La paridad , | X |, de una supermatriz homogénea distinta de cero X es 0 o 1 según sea par o impar. Cada supermatriz se puede escribir de forma única como la suma de una supermatriz par y una impar.

estructura algebraica

Las supermatrices de dimensiones compatibles se pueden sumar o multiplicar como con las matrices ordinarias. Estas operaciones son exactamente iguales a las ordinarias con la restricción de que se definen sólo cuando los bloques tienen dimensiones compatibles. También se pueden multiplicar supermatrices por elementos de R (a la izquierda o a la derecha), sin embargo, esta operación difiere del caso sin clasificar debido a la presencia de elementos impares en R.

Sea el _Sr. r _{| s × p | q} ( ​​R ) denota el conjunto de todas las supermatrices sobre R con dimensión ( r | s ) × ( p | q ). Este conjunto forma un supermódulo sobre R bajo suma de supermatriz y multiplicación escalar. En particular, si R es una superalgebra sobre un campo K, entonces M _{r | s × p | q} ( ​​R ) forma un superespacio vectorial sobre K .

Sea M _{p | q} ( ​​R ) denota el conjunto de todos los supermáticos cuadrados sobre R con dimensión ( p | q ) × ( p | q ). Este conjunto forma un superanillo bajo la suma y multiplicación de supermatriz. Además, si R es una superálgebra conmutativa , entonces la multiplicación de supermatriz es una operación bilineal, de modo que M _{p | q} ( ​​R ) forma una superálgebra sobre R .

Suma

Se pueden agregar dos supermatrices de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) como en el caso no graduado para obtener una supermatriz de la misma dimensión. La suma se puede realizar en bloques ya que los bloques tienen tamaños compatibles. Es fácil ver que la suma de dos supermatrices pares es par y la suma de dos supermatrices impares es impar.

Multiplicación

Se puede multiplicar una supermatriz con dimensiones ( r | s ) × ( p | q ) por una supermatriz con dimensiones ( p | q ) × ( k | l ) como en el caso no graduado para obtener una matriz de dimensión ( r | s ) ×( k | l ). La multiplicación se puede realizar a nivel de bloque de la manera obvia:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que los bloques de la supermatriz producto Z = XY están dados por

${\displaystyle Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,}$

Si X e Y son homogéneos con paridades | X | y | Y | entonces XY es homogéneo con paridad | X | + | Y |. Es decir, el producto de dos supermatrices pares o impares es par, mientras que el producto de una supermatrice par e impar es impar.

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar para supermatrices es diferente al caso no calificado debido a la presencia de elementos impares en R. Sea X una supermatriz. La multiplicación por el escalar izquierdo por α ∈ R se define por

${\displaystyle \alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}}$

donde las multiplicaciones escalares internas son las ordinarias no graduadas y denotan la involución de grado en R. Esto está dado en elementos homogéneos por ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .}$

La multiplicación por el escalar derecho por α se define de manera análoga:

${\displaystyle X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.}$

Si α es par entonces y ambas operaciones son iguales que las versiones sin calificar. Si α y X son homogéneos entonces α· X y X ·α son ambos homogéneos con paridad |α| + | X |. Además, si R es superconmutativo entonces se tiene ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha }$

${\displaystyle \alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .}$

Como transformaciones lineales

Las matrices ordinarias pueden considerarse como representaciones de coordenadas de mapas lineales entre espacios vectoriales (o módulos libres ). Asimismo, las supermatrices pueden considerarse como representaciones de coordenadas de mapas lineales entre superespacios vectoriales (o supermódulos libres ). Sin embargo, existe una diferencia importante en el caso graduado. Un homomorfismo de un superespacio vectorial a otro es, por definición, uno que preserva la clasificación (es decir, asigna elementos pares a elementos pares y elementos impares a elementos impares). La representación coordinada de tal transformación es siempre una supermatriz par . Las supermatrices impares corresponden a transformaciones lineales que invierten la clasificación. Las supermatrices generales representan una transformación lineal arbitraria no graduada. Estas transformaciones siguen siendo importantes en el caso graduado, aunque menos que las transformaciones graduadas (pares).

Un supermódulo M sobre una superálgebra R es libre si tiene una base homogénea libre. Si dicha base consta de p elementos pares y q elementos impares, entonces se dice que M tiene rango p | q . Si R es superconmutativo, el rango es independiente de la elección de la base, al igual que en el caso no graduado.

Sea R ^{p | q} sea el espacio de supervectores de columna: supermatrices de dimensión ( p | q )×(1|0). Naturalmente, se trata de un supermódulo R derecho, llamado espacio de coordenadas derecho . Una supermatriz T de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) puede considerarse como un mapa lineal R derecho

${\displaystyle T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,}$

donde la acción de T sobre R ^{p | q} es solo una multiplicación de supermatriz (esta acción generalmente no es R -lineal izquierda, por lo que pensamos en R ^{p | q} como un supermódulo derecho ).

Sea M un supermódulo R derecho libre de rango p | q y sea N un supermódulo R derecho libre de rango r | s . Sea ( e _i ) una base libre para M y sea ( f _k ) una base libre para N . Tal elección de bases equivale a una elección de isomorfismos de M a R ^{p | q} y de N a R ^{r | s} . Cualquier mapa lineal (sin calificar)

${\displaystyle T:M\to N\,}$

se puede escribir como una supermatriz ( r | s ) × ( p | q ) en relación con las bases elegidas. Los componentes de la supermatriz asociada están determinados por la fórmula

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.}$

La descomposición en bloques de una supermatriz T corresponde a la descomposición de M y N en submódulos pares e impares:

${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.}$

Operaciones

Muchas operaciones sobre matrices ordinarias pueden generalizarse a supermatrices, aunque las generalizaciones no siempre son obvias o sencillas.

supertransponer

La supertranspuesta de una supermatriz es el análogo graduado _Z2 de la transpuesta . Dejar

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

ser una supermatriz homogénea ( r | s ) × ( p | q ). La supertranspuesta de X es la supermatriz ( p | q ) × ( r | s )

${\displaystyle X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}}$

donde At ^denota la transpuesta ordinaria de A. Esto puede extenderse a supermatrices arbitrarias por linealidad. A diferencia de la transpuesta ordinaria, la supertranspuesta generalmente no es una involución , sino que tiene orden 4. Aplicando la supertranspuesta dos veces a una supermatriz X se obtiene

${\displaystyle (X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.}$

Si R es superconmutativo, la supertranspuesta satisface la identidad

${\displaystyle (XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,}$

transposición de paridad

La transpuesta de paridad de una supermatriz es una operación nueva sin un análogo no graduado. Dejar

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

Sea una supermatriz ( r | s ) × ( p | q ). La transpuesta de paridad de X es la supermatriz ( s | r ) × ( q | p )

${\displaystyle X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.}$

Es decir, el bloque ( i , j ) de la matriz transpuesta es el bloque (1− i ,1− j ) de la matriz original.

La operación de transposición de paridad obedece a las identidades.

• ${\displaystyle (X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }}$
• ${\displaystyle (X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}}$

así como

• ${\displaystyle \pi ^{2}=id\,}$
• ${\displaystyle \pi \circ st\circ \pi =(st)^{3}}$

donde st denota la operación de supertransposición.

Supertraza

La supertraza de una supermatriz cuadrada es el análogo de la traza con grado Z ₂ . Se define en supermatrices homogéneas mediante la fórmula

${\displaystyle \mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,}$

donde tr denota la traza ordinaria.

Si R es superconmutativo, la supertraza satisface la identidad

${\displaystyle \mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,}$

para supermatrices homogéneas X e Y.

bereziniano

El bereziniano (o superdeterminante ) de una supermatriz cuadrada es el análogo graduado Z ₂ del determinante . El bereziniano sólo está bien definido en supermatrices pares e invertibles sobre una superálgebra conmutativa R . En este caso viene dado por la fórmula

${\displaystyle \mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.}$

donde det denota el determinante ordinario (de matrices cuadradas con entradas en el álgebra conmutativa R ₀ ).

El bereziniano satisface propiedades similares al determinante ordinario. En particular, es multiplicativo e invariante bajo la supertranspuesta. Está relacionado con la supertraza por la fórmula.

${\displaystyle \mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,}$

Referencias

• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Apuntes de conferencias de Courant sobre matemáticas 11 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3574-2.
• Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999). "Notas sobre la supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)". Campos y cuerdas cuánticos: un curso para matemáticos . vol. 1. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.