Superficie de Fermi

Límite abstracto en la física de la materia condensada

En física de la materia condensada , la superficie de Fermi es la superficie en el espacio recíproco que separa los estados electrónicos ocupados de los desocupados a temperatura cero. ^[1] La forma de la superficie de Fermi se deriva de la periodicidad y simetría de la red cristalina y de la ocupación de las bandas de energía electrónica . La existencia de una superficie de Fermi es una consecuencia directa del principio de exclusión de Pauli , que permite un máximo de un electrón por estado cuántico. ^{[2] [3] [4] [5]} El estudio de las superficies de Fermi de los materiales se llama fermiología .

Teoría

Fig. 1: Superficie de Fermi y densidad de momento electrónico del cobre en el esquema de zona reducida medido con ACAR 2D . ^[6]

Consideremos un gas ideal de Fermi de partículas sin espín . Según las estadísticas de Fermi-Dirac , el número medio de ocupación de un estado con energía viene dado por ^[7] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

dónde

• ${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle }$es el número medio de ocupaciones del estado ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \epsilon _{i}}$es la energía cinética del estado ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mu }$es el potencial químico (a temperatura cero, esta es la energía cinética máxima que puede tener la partícula, es decir, la energía de Fermi ) ${\displaystyle E_{\rm {F}}}$
• ${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta
• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$¿es la constante de Boltzmann?

Supongamos que consideramos el límite . Entonces tenemos, ${\displaystyle T\to 0}$

${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle \to {\begin{cases}1&(\epsilon _{i}<\mu )\\0&(\epsilon _{i}>\mu )\end{cases}}.}$

Por el principio de exclusión de Pauli , no pueden existir dos fermiones en el mismo estado. Además, a temperatura cero la entalpía de los electrones debe ser mínima, es decir, no pueden cambiar de estado. Si para una partícula en algún estado existiera un estado inferior desocupado que pudiera ocupar, entonces la diferencia de energía entre esos estados le daría al electrón una entalpía adicional. Por lo tanto, la entalpía del electrón no sería mínima. Por lo tanto, a temperatura cero todos los estados de energía más bajos deben estar saturados. Para un conjunto grande, el nivel de Fermi será aproximadamente igual al potencial químico del sistema y, por lo tanto, cada estado por debajo de esta energía debe estar ocupado. Por lo tanto, las partículas llenan todos los niveles de energía por debajo del nivel de Fermi en el cero absoluto, lo que equivale a decir que es el nivel de energía por debajo del cual hay exactamente estados. ${\displaystyle N}$

En el espacio de momento , estas partículas llenan una bola de radio , cuya superficie se llama superficie de Fermi. ^[8] ${\displaystyle k_{\rm {F}}}$

La respuesta lineal de un metal a un gradiente eléctrico, magnético o térmico está determinada por la forma de la superficie de Fermi, porque las corrientes se deben a cambios en la ocupación de estados cercanos a la energía de Fermi. En el espacio recíproco , la superficie de Fermi de un gas ideal de Fermi es una esfera de radio

${\displaystyle k_{\rm {F}}={\frac {p_{\rm {F}}}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE_{\rm {F}}}}{\hbar }}}$,

Determinado por la concentración de electrones de valencia, donde es la constante de Planck reducida . Un material cuyo nivel de Fermi cae en un espacio entre bandas es un aislante o semiconductor, dependiendo del tamaño del espacio entre bandas . Cuando el nivel de Fermi de un material cae en un espacio entre bandas, no hay superficie de Fermi. ${\displaystyle \hbar }$

Fig. 2: Una vista de la superficie de grafito de Fermi en los puntos H de las esquinas de la zona de Brillouin que muestra la simetría trigonal de los bolsillos de electrones y huecos.

Los materiales con estructuras cristalinas complejas pueden tener superficies de Fermi bastante intrincadas. La Figura 2 ilustra la superficie de Fermi anisotrópica del grafito, que tiene bolsillos de electrones y huecos en su superficie de Fermi debido a múltiples bandas que cruzan la energía de Fermi a lo largo de la dirección. A menudo en un metal, el radio de la superficie de Fermi es mayor que el tamaño de la primera zona de Brillouin , lo que da como resultado que una parte de la superficie de Fermi se encuentre en la segunda zona (o superior). Al igual que con la estructura de bandas en sí, la superficie de Fermi se puede mostrar en un esquema de zona extendida donde se permite tener valores arbitrariamente grandes o un esquema de zona reducida donde los vectores de onda se muestran módulo (en el caso unidimensional) donde a es la constante de red . En el caso tridimensional, el esquema de zona reducida significa que a partir de cualquier vector de onda hay un número apropiado de vectores de red recíprocos restados de modo que el nuevo ahora está más cerca del origen en el espacio que de cualquier . Los sólidos con una gran densidad de estados en el nivel de Fermi se vuelven inestables a bajas temperaturas y tienden a formar estados fundamentales en los que la energía de condensación proviene de la apertura de un espacio en la superficie de Fermi. Ejemplos de tales estados fundamentales son los superconductores , los ferroimanes , las distorsiones de Jahn-Teller y las ondas de densidad de espín . ${\displaystyle \mathbf {k} _{z}}$ ${\displaystyle k_{\rm {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

La ocupación de los estados de los fermiones, como los electrones, está regida por las estadísticas de Fermi-Dirac , por lo que a temperaturas finitas la superficie de Fermi se amplía en consecuencia. En principio, todas las poblaciones de niveles de energía de los fermiones están limitadas por una superficie de Fermi, aunque el término no se suele utilizar fuera de la física de la materia condensada.

Determinación experimental

Las superficies electrónicas de Fermi se han medido a través de la observación de la oscilación de las propiedades de transporte en campos magnéticos , por ejemplo, el efecto de Haas–van Alphen (dHvA) y el efecto Shubnikov–de Haas (SdH). El primero es una oscilación en la susceptibilidad magnética y el segundo en la resistividad . Las oscilaciones son periódicas en función de y ocurren debido a la cuantificación de los niveles de energía en el plano perpendicular a un campo magnético, un fenómeno predicho por primera vez por Lev Landau . Los nuevos estados se denominan niveles de Landau y están separados por una energía donde se denomina frecuencia del ciclotrón , es la carga electrónica, es la masa efectiva del electrón y es la velocidad de la luz . En un resultado famoso, Lars Onsager demostró que el período de oscilación está relacionado con la sección transversal de la superficie de Fermi (normalmente dada en Å −2 ) perpendicular a la dirección del campo magnético mediante la ecuación ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1/H}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\rm {c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {c}}=eH/m^{*}c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle A_{\perp }}$

${\displaystyle A_{\perp }={\frac {2\pi e\Delta H}{\hbar c}}}$.

Por lo tanto, la determinación de los períodos de oscilación para varias direcciones de campo aplicadas permite el mapeo de la superficie de Fermi. La observación de las oscilaciones dHvA y SdH requiere campos magnéticos lo suficientemente grandes como para que la circunferencia de la órbita del ciclotrón sea menor que un camino libre medio . Por lo tanto, los experimentos dHvA y SdH generalmente se realizan en instalaciones de alto campo como el Laboratorio de Imanes de Alto Campo en los Países Bajos, el Laboratorio de Alto Campo Magnético de Grenoble en Francia, el Laboratorio de Imanes de Tsukuba en Japón o el Laboratorio Nacional de Alto Campo Magnético en los Estados Unidos.

Fig. 3: Superficie de Fermi de BSCCO medida con ARPES . Los datos experimentales se muestran como un gráfico de intensidad en escala amarilla-roja-negra. El rectángulo verde discontinuo representa la zona de Brillouin del plano CuO _{2 de} BSCCO .

La técnica experimental más directa para resolver la estructura electrónica de los cristales en el espacio momento-energía (véase red recíproca ) y, en consecuencia, la superficie de Fermi, es la espectroscopia de fotoemisión con resolución angular (ARPES). En la figura 3 se muestra un ejemplo de la superficie de Fermi de los cupratos superconductores medida mediante ARPES .

Con la aniquilación de positrones también es posible determinar la superficie de Fermi, ya que el proceso de aniquilación conserva el momento de la partícula inicial. Dado que un positrón en un sólido se termalizará antes de la aniquilación, la radiación de aniquilación lleva la información sobre el momento del electrón. La técnica experimental correspondiente se llama correlación angular de la radiación de aniquilación de positrones y electrones (ACAR), ya que mide la desviación angular de180° de ambos cuantos de aniquilación. De esta manera es posible investigar la densidad de momento electrónico de un sólido y determinar la superficie de Fermi. Además, utilizando positrones polarizados por espín , se puede obtener la distribución de momento para los dos estados de espín en materiales magnetizados. ACAR tiene muchas ventajas y desventajas en comparación con otras técnicas experimentales: no depende de condiciones de ultra alto voltaje , temperaturas criogénicas, campos magnéticos altos o aleaciones completamente ordenadas. Sin embargo, ACAR necesita muestras con una baja concentración de vacantes ya que actúan como trampas efectivas para positrones. De esta manera, la primera determinación de una superficie de Fermi manchada en una aleación del 30% se obtuvo en 1978.

Véase también

• Portal de física

• Energía de Fermi
• Zona de Brillouin
• Superficie de Fermi de cupratos superconductores
• Microscopio de fuerza con sonda Kelvin
• Teorema de Luttinger

Referencias

1. Dugdale, SB (2016). "La vida al límite: una guía para principiantes sobre la superficie de Fermi". Physica Scripta . 91 (5): 053009. Bibcode :2016PhyS...91e3009D. doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . hdl : 1983/18576e8a-c769-424d-8ac2-1c52ef80700e . ISSN  0031-8949.
2. Ashcroft, N .; Mermin, ND (1976). Física del estado sólido . Holt, Rinehart y Winston. ISBN 0-03-083993-9.
3. Harrison, WA (julio de 1989). Estructura electrónica y propiedades de los sólidos . Courier Corporation. ISBN 0-486-66021-4.
4. Base de datos de superficies de Fermi VRML
5. Ziman, JM (1963). Electrones en metales: una breve guía sobre la superficie de Fermi . Londres: Taylor & Francis. OCLC  541173.
6. Weber, JA; Böni, P.; Ceeh, H.; Leitner, M.; Hugenschmidt, Ch (1 de enero de 2013). "Primeras mediciones 2D-ACAR en Cu con el nuevo espectrómetro de la TUM". Journal of Physics: Conference Series . 443 (1): 012092. arXiv : 1304.5363 . Bibcode :2013JPhCS.443a2092W. doi :10.1088/1742-6596/443/1/012092. ISSN  1742-6596. S2CID  119246268.
7. Reif, F. (1965). Fundamentos de física estadística y térmica . McGraw-Hill. pág. 341. ISBN. 978-0-07-051800-1.
8. K. Huang, Mecánica estadística (2000), pág. 244

Enlaces externos

• Superficies de Fermi experimentales de algunos cupratos superconductores y rutenatos de estroncio en "Espectroscopia de fotoemisión con resolución angular de los superconductores de cuprato (artículo de revisión)" (2002)
• Superficies de Fermi experimentales de algunos cupratos , dicalcogenuros de metales de transición , rutenatos y superconductores basados ​​en hierro en "Experimento ARPES en fermiología de metales cuasi-2D (artículo de revisión)" (2014)
• Dugdale, SB (1 de enero de 2016). "La vida al límite: una guía para principiantes sobre la superficie de Fermi". Physica Scripta . 91 (5): 053009. Bibcode :2016PhyS...91e3009D. doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . hdl : 1983/18576e8a-c769-424d-8ac2-1c52ef80700e . ISSN  1402-4896.