Suma de Gauss

Suma en teoría algebraica de números

En teoría algebraica de números , una suma de Gauss o suma gaussiana es un tipo particular de suma finita de raíces de unidad , típicamente

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}$

donde la suma es sobre los elementos r de algún anillo conmutativo finito R , ψ es un homomorfismo de grupo del grupo aditivo R ⁺ en el círculo unitario , y χ es un homomorfismo de grupo del grupo unitario R ^× en el círculo unitario, extendido a no -unidad r , donde toma el valor 0. Las sumas de Gauss son análogas a los campos finitos de la función Gamma . ^[1]

Estas sumas son omnipresentes en la teoría de números . Ocurren, por ejemplo, en las ecuaciones funcionales de Dirichlet L -funciones , donde para un carácter de Dirichlet χ la ecuación que relaciona L ( s , χ ) y L (1 −  s , χ ) (donde χ es el conjugado complejo de χ ) implica un factor ^{[ se necesita aclaración ]}

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.}$

Historia

El caso considerado originalmente por Carl Friedrich Gauss fue la suma cuadrática de Gauss , para R el campo de residuos módulo un número primo p , y χ el símbolo de Legendre . En este caso, Gauss demostró que G ( χ ) = p ^{1 ⁄ 2} o ip ^{1 ⁄ 2} para p congruente con 1 o 3 módulo 4 respectivamente (la suma cuadrática de Gauss también puede evaluarse mediante análisis de Fourier y mediante integración de contornos ).

Una forma alternativa para esta suma de Gauss es

${\displaystyle \sum e^{2\pi ir^{2}/p}}$.

Las sumas cuadráticas de Gauss están estrechamente relacionadas con la teoría de las funciones theta .

La teoría general de las sumas de Gauss se desarrolló a principios del siglo XIX, con el uso de las sumas de Jacobi y su descomposición prima en campos ciclotómicos . Las sumas de Gauss sobre un anillo residual de números enteros mod N son combinaciones lineales de sumas estrechamente relacionadas llamadas períodos gaussianos .

El valor absoluto de las sumas de Gauss suele encontrarse como una aplicación del teorema de Plancherel a grupos finitos. En el caso de que R sea un campo de p elementos y χ no sea trivial, el valor absoluto es p ^{1 ⁄ 2} . La determinación del valor exacto de las sumas generales de Gauss, siguiendo el resultado de Gauss en el caso cuadrático, es un problema de larga data. Para algunos casos, consulte la suma de Kummer .

Propiedades de las sumas de Gauss de los caracteres de Dirichlet

La suma de Gauss de un carácter de Dirichlet módulo N es

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}$

Si χ también es primitivo , entonces

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}$

en particular, es distinto de cero. De manera más general, si N ₀ es el conductor de χ y χ ₀ es el carácter primitivo de Dirichlet módulo N ₀ que induce χ , entonces la suma de Gauss de χ está relacionada con la de χ ₀ por

${\displaystyle G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)}$

donde μ es la función de Möbius . En consecuencia, G ( χ ) es distinto de cero precisamente cuandonorte/norte ₀es libre de cuadrados y relativamente primo con N ₀ . ^[2]

Otras relaciones entre G ( χ ) y sumas de Gauss de otros caracteres incluyen

${\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}$

donde χ es el carácter complejo conjugado de Dirichlet, y si χ ′ es un carácter de Dirichlet módulo N ′ tal que N y N ′ son primos relativos, entonces

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).}$

La relación entre G ( χχ ′) , G ( χ ) y G ( χ ′) cuando χ y χ ′ son del mismo módulo (y χχ ′ es primitivo) se mide mediante la suma de Jacobi J ( χ , χ ′) . Específicamente,

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.}$

Otras propiedades

• Las sumas de Gauss se pueden utilizar para demostrar la reciprocidad cuadrática , la reciprocidad cúbica y la reciprocidad cuártica .
• Las sumas de Gauss se pueden utilizar para calcular el número de soluciones de ecuaciones polinómicas en campos finitos y, por tanto, se pueden utilizar para calcular determinadas funciones zeta.

Ver también

• Suma de Gauss cuadrática
• Suma elíptica de Gauss
• suma jacobi
• Suma de Kummer
• Suma de Kloosterman
• período gaussiano
• Relación Hasse-Davenport
• Teorema de Chowla-Mordell
• Teorema de Stickelberger

Referencias

1. BH Gross y N. Koblitz. Sumas de Gauss y la función Γ p-ádica. Ana. de Matemáticas. (2), 109(3):569–581, 1979.
2. Teorema 9.10 en HL Montgomery, RC Vaughan, Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 97 , (2006).

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Berndt, antes de Cristo ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Sumas de Gauss y Jacobi . Serie de monografías y textos avanzados de la Sociedad Canadiense de Matemáticas. Wiley. ISBN 0-471-12807-4. Zbl  0906.11001.
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 84 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97329-X. Zbl  0712.11001.
• Sección 3.4 de Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004), Teoría analítica de números , Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 53, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3633-0, SEÑOR  2061214, Zbl  1059.11001