Submódulo singular

En las ramas del álgebra abstracta conocidas como teoría de anillos y teoría de módulos , cada módulo derecho (o izquierdo) de R M tiene un submódulo singular que consiste en elementos cuyos aniquiladores son ideales derechos (o izquierdos) esenciales en R. En la notación de conjuntos, se suele denotar como . Para anillos generales , es una buena generalización del submódulo de torsión tors( M ) que se define con mayor frecuencia para dominios . En el caso de que R sea un dominio conmutativo , . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {tors} (M)={\mathcal {Z}}(M)}$

Si R es un anillo cualquiera, se define considerando a R como un módulo derecho, y en este caso es un ideal bilateral de R llamado ideal singular derecho de R . El análogo zurdo se define de manera similar. Es posible para . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$

Definiciones

A continuación se presentan varias definiciones que se utilizan al estudiar submódulos singulares e ideales singulares. En el siguiente ejemplo, M es un módulo R :

• M se llama módulo singular si . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=M\,}$
• M se llama módulo no singular si . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,}$
• R se llama no singular derecho si . Un anillo no singular izquierdo se define de manera similar, utilizando el ideal singular izquierdo, y es completamente posible que un anillo sea no singular derecho pero no izquierdo. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,}$

En los anillos con unidad siempre se da el caso de que , por lo que "anillo singular recto" no suele definirse de la misma forma que los módulos singulares. Algunos autores han utilizado "anillo singular" para significar "tiene un ideal singular distinto de cero", sin embargo este uso no es coherente con el uso de los adjetivos para módulos. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,}$

Propiedades

Algunas propiedades generales del submódulo singular incluyen:

• ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M_{R})\cdot \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}\,}$donde denota el zócalo de . ${\displaystyle \mathrm {soc} (M_{R})\,}$ ${\displaystyle R_{R}}$
• Si f es un homomorfismo de R -módulos de M a N , entonces . ${\displaystyle f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,}$
• Si N es un submódulo de M , entonces . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,}$
• Las propiedades "singular" y "no singular" son propiedades invariantes de Morita .
• Los ideales singulares de un anillo contienen elementos nilpotentes centrales del anillo. En consecuencia, el ideal singular de un anillo conmutativo contiene el radical nil del anillo.
• Una propiedad general del submódulo de torsión es que , pero esto no se cumple necesariamente para el submódulo singular. Sin embargo, si R es un anillo recto no singular, entonces . ${\displaystyle t(M/t(M))=\{0\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,}$
• Si N es un submódulo esencial de M (ambos módulos derechos), entonces M / N es singular. Si M es un módulo libre , o si R es no singular derecho, entonces se cumple la inversa.
• Un módulo semisimple es no singular si y sólo si es un módulo proyectivo .
• Si R es un anillo autoinyectivo derecho , entonces , donde J( R ) es el radical de Jacobson de R . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,}$

Ejemplos

Los anillos no singulares rectos son una clase muy amplia, que incluye anillos reducidos , anillos (semi)hereditarios rectos , anillos regulares de von Neumann , dominios , anillos semisimples , anillos de Baer y anillos de Rickart rectos .

Para los anillos conmutativos, ser no singular es equivalente a ser un anillo reducido.

Teoremas importantes

El teorema de Johnson (debido a RE Johnson (Lam 1999, p. 376)) contiene varias equivalencias importantes. Para cualquier anillo R , las siguientes son equivalentes:

1. R es no singular derecho.
2. La envoltura inyectiva E( R _R ) es un módulo R recto no singular .
3. El anillo de endomorfismo es un anillo semiprimitivo (es decir, ). ${\displaystyle S=\mathrm {End} (E(R_{R}))\,}$ ${\displaystyle J(S)=\{0\}\,}$
4. El anillo derecho máximo de cocientes es regular de von Neumann. ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$

La no singularidad correcta también tiene una fuerte interacción con los anillos autoinyectivos correctos.

Teorema: Si R es un anillo autoinyectivo recto, entonces las siguientes condiciones en R son equivalentes: recto no singular, regular de von Neumann, recto semihereditario, recto Rickart, Baer, ​​semiprimitivo. (Lam 1999, p. 262)

El artículo (Zelmanowitz 1983) utilizó módulos no singulares para caracterizar la clase de anillos cuyo anillo derecho máximo de cocientes tiene una estructura determinada.

Teorema: Si R es un anillo, entonces es un anillo lineal completo recto si y solo si R tiene un módulo no singular, fiel y uniforme . Además, es un producto directo finito de anillos lineales completos si y solo si R tiene un módulo no singular, fiel con dimensión finita uniforme . ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$ ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$

Libros de texto

• Goodearl, KR (1976), Teoría de anillos: anillos y módulos no singulares , Matemáticas puras y aplicadas, n.º 33, Nueva York: Marcel Dekker Inc., págs. viii+206, MR  0429962
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294

Fuentes primarias

• Zelmanowitz, JM (1983), "La estructura de anillos con módulos no singulares fieles", Trans. Amer. Math. Soc. , 278 (1): 347–359, doi : 10.2307/1999320 , ISSN  0002-9947, MR  0697079