En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el subgrupo Fitting F de un grupo finito G , llamado así por Hans Fitting , es el único subgrupo nilpotente normal más grande de G. Intuitivamente, representa el subgrupo más pequeño que "controla" la estructura de G cuando G es resoluble . Cuando G no es resoluble, el subgrupo Fitting generalizado F * , que se genera a partir del subgrupo Fitting y los componentes de G , desempeña un papel similar .
Para un grupo arbitrario (no necesariamente finito) G , el subgrupo de ajuste se define como el subgrupo generado por los subgrupos normales nilpotentes de G . Para grupos infinitos, el subgrupo de ajuste no siempre es nilpotente.
El resto de este artículo trata exclusivamente de grupos finitos .
La nilpotencia del subgrupo de Fitting de un grupo finito está garantizada por el teorema de Fitting , que dice que el producto de una colección finita de subgrupos nilpotentes normales de G es a su vez un subgrupo nilpotente normal. También puede construirse explícitamente como el producto de los p-núcleos de G sobre todos los primos p que dividen el orden de G.
Si G es un grupo resoluble finito no trivial, entonces el subgrupo de ajuste siempre es no trivial, es decir, si G ≠1 es resoluble finito, entonces F ( G )≠1. De manera similar, el subgrupo de ajuste de G / F ( G ) será no trivial si G no es en sí mismo nilpotente, dando lugar al concepto de longitud de ajuste . Dado que el subgrupo de ajuste de un grupo resoluble finito contiene su propio centralizador , esto proporciona un método para comprender los grupos resolubles finitos como extensiones de grupos nilpotentes mediante grupos de automorfismo fiel de grupos nilpotentes.
En un grupo nilpotente, cada factor principal está centralizado por cada elemento. Si relajamos un poco la condición y tomamos el subgrupo de elementos de un grupo finito general que centraliza cada factor principal, simplemente obtenemos de nuevo el subgrupo de Fitting (Huppert 1967, Cap. VI, Satz 5.4, p. 686):
La generalización a grupos p -nilpotentes es similar.
Un componente de un grupo es un subgrupo cuasisimple subnormal . (Un grupo es cuasisimple si es una extensión central perfecta de un grupo simple.) La capa E ( G ) o L ( G ) de un grupo es el subgrupo generado por todos los componentes. Dos componentes cualesquiera de un grupo conmutan, por lo que la capa es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples, y es el subgrupo normal más grande de G con esta estructura. El subgrupo de ajuste generalizado F * ( G ) es el subgrupo generado por la capa y el subgrupo de ajuste. La capa conmuta con el subgrupo de ajuste, por lo que el subgrupo de ajuste generalizado es una extensión central de un producto de p -grupos y grupos simples .
La capa es también el subgrupo semisimple normal máximo, donde un grupo se llama semisimple si es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples.
Esta definición del subgrupo de ajuste generalizado puede estar motivada por algunos de sus usos previstos. Consideremos el problema de intentar identificar un subgrupo normal H de G que contenga su propio centralizador y el grupo de ajuste. Si C es el centralizador de H, queremos demostrar que C está contenido en H. Si no, elija un subgrupo característico mínimo M/Z(H) de C/Z(H) , donde Z(H) es el centro de H , que es lo mismo que la intersección de C y H. Entonces M / Z ( H ) es un producto de grupos simples o cíclicos , ya que es característicamente simple. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos cíclicos, entonces M debe estar en el subgrupo de ajuste. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos simples no abelianos, entonces el subgrupo derivado de M es un subgrupo semisimple normal que se asigna a M / Z ( H ). Entonces, si H contiene el subgrupo de ajuste y todos los subgrupos semisimples normales, entonces M / Z ( H ) debe ser trivial, por lo que H contiene su propio centralizador. El subgrupo de ajuste generalizado es el subgrupo más pequeño que contiene el subgrupo de ajuste y todos los subgrupos semisimples normales.
El subgrupo de Fitting generalizado también puede considerarse como un centralizador generalizado de factores principales. Un grupo semisimple no abeliano no puede centralizarse a sí mismo, pero sí actúa sobre sí mismo como automorfismos internos. Se dice que un grupo es cuasi-nilpotente si cada elemento actúa como un automorfismo interno sobre cada factor principal. El subgrupo de Fitting generalizado es el único subgrupo cuasi-nilpotente subnormal más grande, y es igual al conjunto de todos los elementos que actúan como automorfismos internos sobre cada factor principal de todo el grupo (Huppert y Blackburn 1982, Capítulo X, Teorema 5.4, p. 126):
Aquí un elemento g está en H C G ( H / K ) si y sólo si hay algún h en H tal que para cada x en H , x g ≡ x h mod K .
Si G es un grupo resoluble finito, entonces el subgrupo de ajuste contiene su propio centralizador. El centralizador del subgrupo de ajuste es el centro del subgrupo de ajuste. En este caso, el subgrupo de ajuste generalizado es igual al subgrupo de ajuste. De manera más general, si G es un grupo finito, entonces el subgrupo de ajuste generalizado contiene su propio centralizador. Esto significa que en cierto sentido el subgrupo de ajuste generalizado controla a G , porque G módulo el centralizador de F * ( G ) está contenido en el grupo de automorfismos de F * ( G ), y el centralizador de F * ( G ) está contenido en F * ( G ). En particular, solo hay un número finito de grupos con un subgrupo de ajuste generalizado dado.
Los normalizadores de p -subgrupos no triviales de un grupo finito se denominan p -subgrupos locales y ejercen un gran control sobre la estructura del grupo (permitiendo lo que se denomina análisis local ). Se dice que un grupo finito es de tipo característico p si F * ( G ) es un p -grupo para cada p -subgrupo local, porque cualquier grupo de tipo Lie definido sobre un cuerpo de característica p tiene esta propiedad. En la clasificación de grupos simples finitos , esto permite adivinar sobre qué cuerpo debe definirse un grupo simple. Nótese que algunos grupos son de tipo característico p para más de un p .
Si un grupo simple no es de tipo Lie sobre un cuerpo de característica p dada , entonces los subgrupos p -locales usualmente tienen componentes en el subgrupo de ajuste generalizado, aunque hay muchas excepciones para grupos que tienen un rango pequeño, están definidos sobre cuerpos pequeños o son esporádicos. Esto se usa para clasificar los grupos simples finitos, porque si un subgrupo p -local tiene un componente conocido, a menudo es posible identificar el grupo completo (Aschbacher & Seitz 1976).
El análisis de grupos finitos simples mediante la estructura y la incrustación de subgrupos de ajuste generalizados de sus subgrupos máximos fue iniciado por Helmut Bender (Bender 1970) y ha llegado a conocerse como el método de Bender . Es especialmente eficaz en los casos excepcionales en los que los componentes o funtores señalizadores no son aplicables.
