grupo nilpotente

Grupo que tiene una serie central superior terminada en G

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un grupo nilpotente G es un grupo que tiene una serie central superior que termina en G. De manera equivalente, tiene una serie central de longitud finita o su serie central inferior termina en {1}.

Intuitivamente, un grupo nilpotente es un grupo que es "casi abeliano ". Esta idea está motivada por el hecho de que los grupos nilpotentes tienen solución y, para grupos nilpotentes finitos , dos elementos que tienen órdenes relativamente primos deben conmutar . También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son supersolubles . Se atribuye el concepto al trabajo realizado en la década de 1930 por el matemático ruso Sergei Chernikov . ^[1]

Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois , así como en la clasificación de grupos. También aparecen de forma destacada en la clasificación de grupos de Lie .

Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie (usando el corchete de Lie ), incluidas las series nilpotentes , centrales inferiores y centrales superiores .

Definición

La definición utiliza la idea de una serie central para un grupo. Las siguientes son definiciones equivalentes para un grupo nilpotente G :

• G tiene una serie central de longitud finita. Es decir, una serie de subgrupos normales.

  ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G}$

  donde , o equivalente . ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})}$ ${\displaystyle [G,G_{i+1}]\leq G_{i}}$
• G tiene una serie central inferior que termina en el subgrupo trivial después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.

  ${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}}$

  dónde . ${\displaystyle G_{i+1}=[G_{i},G]}$
• G tiene una serie central superior que termina en todo el grupo después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.

  ${\displaystyle \{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G}$

  donde y es el subgrupo tal que . ${\displaystyle Z_{1}=Z(G)}$ ${\displaystyle Z_{i+1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})}$

Para un grupo nilpotente, el n más pequeño tal que G tiene una serie central de longitud n se llama clase de nilpotencia de G ; y se dice que G es nilpotente de clase n . (Por definición, la longitud es n si hay diferentes subgrupos en la serie, incluido el subgrupo trivial y el grupo completo). ${\displaystyle n+1}$

De manera equivalente, la clase de nilpotencia de G es igual a la longitud de la serie central inferior o de la serie central superior. Si un grupo tiene una clase de nilpotencia como máximo n , entonces a veces se le llama grupo nulo- n .

De cualquiera de las formas anteriores de definición de nilpotencia se deduce inmediatamente que el grupo trivial es el grupo único de nilpotencia clase  0 , y los grupos de nilpotencia clase  1 son exactamente los grupos abelianos no triviales. ^{[2] [3]}

Ejemplos

Una porción del gráfico de Cayley del grupo discreto de Heisenberg , un conocido grupo nilpotente.

• Como se señaló anteriormente, todo grupo abeliano es nilpotente. ^{[2] [4]}
• Para un pequeño ejemplo no abeliano, considere el _grupo de cuaterniones Q8 , que es el grupo p no abeliano más pequeño . Tiene centro {1, −1} de orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q ₈ ; entonces es nilpotente de clase 2.
• El producto directo de dos grupos nilpotentes es nilpotente. ^[5]
• Todos los grupos p finitos son de hecho nilpotentes ( prueba ). La clase máxima de un grupo de orden p ⁿ es n (por ejemplo, cualquier grupo de orden 2 es nilpotente de clase 1). Los 2 grupos de clase máxima son los grupos de cuaterniones generalizados , los grupos diédricos y los grupos semidiédricos .
• Además, todo grupo nilpotente finito es el producto directo de p -grupos. ^[5]
• El grupo multiplicativo de matrices unitarias superiores n × n sobre cualquier campo F es un grupo nilpotente de clase de nilpotencia n − 1. En particular, tomando n = 3 se obtiene el grupo de Heisenberg H , un ejemplo de un nilpotente infinito no abeliano ^[6] grupo. ^[7] Tiene clase de nilpotencia 2 con serie central 1, Z ( H ) , H.
• El grupo multiplicativo de matrices triangulares superiores invertibles n × n sobre un campo F no es en general nilpotente, pero tiene solución .
• Cualquier grupo no abeliano G tal que G / Z ( G ) sea abeliano tiene clase de nilpotencia 2, con serie central {1}, Z ( G ), G .

Se han caracterizado los números naturales k para los cuales cualquier grupo de orden k es nilpotente (secuencia A056867 en la OEIS ).

Explicación del término

Los grupos nilpotentes se llaman así porque la "acción adjunta" de cualquier elemento es nilpotente , lo que significa que para un grupo nilpotente de grado de nilpotencia y un elemento , la función definida por (donde está el conmutador de y ) es nilpotente en el sentido de que el La iteración de la función es trivial: para todo en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}\colon G\to G}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]}$ ${\displaystyle [g,x]=g^{-1}x^{-1}gx}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Esta no es una característica definitoria de los grupos nilpotentes: los grupos para los cuales es nilpotente de grado (en el sentido anterior) se denominan grupos de Engel , ^[8] y no necesitan ser nilpotentes en general. Se ha demostrado que son nilpotentes si tienen un orden finito y se conjetura que son nilpotentes siempre que se generen de forma finita . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Un grupo abeliano es precisamente aquel para el cual la acción adjunta no es sólo nilpotente sino trivial (un grupo de 1-Engel).

Propiedades

Dado que cada grupo de factores sucesivos Z _{i +1} / Z _i en la serie central superior es abeliano y la serie es finita, cada grupo nilpotente es un grupo resoluble con una estructura relativamente simple.

Cada subgrupo de un grupo nilpotente de clase n es nilpotente de clase como máximo n ; ^[9] además, si f es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase n , entonces la imagen de f es nilpotente ^[9] de clase como máximo n .

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para grupos finitos, ^[10] y revelan algunas propiedades útiles de la nilpotencia:

1. G es un grupo nilpotente.
2. Si H es un subgrupo propio de G , entonces H es un subgrupo normal propio de N _G ( H ) (el normalizador de H en G ). Esto se denomina propiedad del normalizador y puede expresarse simplemente como "los normalizadores crecen".
3. Cada subgrupo de Sylow de G es normal.
4. G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.
5. Si d divide el orden de G , entonces G tiene un subgrupo normal de orden d .

Prueba:

(a)→(b)

Por inducción en | GRAMO |. Si G es abeliano, entonces para cualquier H , N _G ( H ) = G. Si no, si Z ( G ) no está contenido en H , entonces h _Z H _Z ⁻¹ h ⁻¹ = h' H' h ⁻¹ = H , entonces H · Z ( G ) normalizadores H . Si Z ( G ) está contenido en H , entonces H / Z ( G ) está contenido en G / Z ( G ). Tenga en cuenta que G / Z ( G ) es un grupo nilpotente. Por lo tanto, existe un subgrupo de G / Z ( G ) que normaliza H / Z ( G ) y H / Z ( G ) es un subgrupo propio del mismo. Por lo tanto, retroceda este subgrupo al subgrupo en G y se normaliza H. (Esta prueba es el mismo argumento que para p -grupos; el único hecho que necesitábamos era que si G es nilpotente, entonces también lo es G / Z ( G ), por lo que se omiten los detalles).

(b)→(c)

Sean p ₁ , p ₂ ,..., p _s los primos distintos que dividen su orden y sean P _i en Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Sea P = P _i para alguna i y sea N = N _G ( P ). Dado que P es un subgrupo de Sylow normal de N , P es característico en N. Dado que P char N y N es un subgrupo normal de _NG ( N ) , obtenemos que P es un subgrupo normal de _NG ( N ) . Esto significa que _N G ₍ N ) es un subgrupo de N y por lo tanto NG ( N ) = N . Por lo tanto, por (b) debemos tener N = G , lo que da (c).

(c)→(d)

Sean p ₁ , p ₂ ,..., p _s los primos distintos que dividen su orden y sean P _i en Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Para cualquier t , 1 ≤ t ≤ s demostramos inductivamente que P ₁ P ₂ ··· P _t es isomorfo a P ₁ × P ₂ ×···× P _t .

Observe primero que cada Pi es normal en G _, por lo que P 1 _P 2 _··· P t _es un subgrupo de G. Sea H el producto P ₁ P ₂ ··· P _{t −1} y sea K = P _t , entonces por inducción H es isomorfo a P ₁ × P ₂ ×···× P _{t −1} . En particular,| H | = | P ₁ |⋅| P ₂ |⋅···⋅| P _{t −1} |. Desde | k | = | P _t |, los órdenes de H y K son primos relativos. El teorema de Lagrange implica que la intersección de H y K es igual a 1. Por definición, P ₁ P ₂ ··· P _t = HK , por lo tanto HK es isomorfo a H × K , que es igual a P ₁ × P ₂ ×··· × P _t . Esto completa la inducción. Ahora tome t = s para obtener (d).

(d)→(e)

Tenga en cuenta que un p-grupo de orden p ^k tiene un subgrupo normal de orden p ^m para todo 1≤ m ≤ k . Dado que G es un producto directo de sus subgrupos de Sylow y la normalidad se conserva sobre el producto directo de los grupos, G tiene un subgrupo normal de orden d para cada divisor d de | GRAMO |.

(e)→(a)

Para cualquier prima p dividiendo | G |, el subgrupo p de Sylow es normal. Por lo tanto podemos aplicar (c) (ya que ya probamos (c)→(e)).

El enunciado (d) puede extenderse a infinitos grupos: si G es un grupo nilpotente, entonces cada subgrupo de Sylow G _p de G es normal, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en G (ver subgrupo de torsión ).

Muchas propiedades de los grupos nilpotentes son compartidas por los grupos hipercentrales .

Notas

1. Dixon, señor; Kirichenko, VV; Kurdachenko, Luisiana; Otal, J.; Semko, NN; Shemetkov, LA; Subbotin, I. Ya. (2012). "SN Chernikov y el desarrollo de la teoría de grupos infinitos". Álgebra y Matemática Discreta . 13 (2): 169–208.
2. Suprunenko (1976). Grupos de matrices. pag. 205.
3. Tabachnikova y Smith (2000). Temas de teoría de grupos (Serie Springer de Matemáticas de Pregrado). pag. 169.
4. Hungerford (1974). Álgebra. pag. 100.
5. Zassenhaus (1999). La teoría de los grupos. pag. 143.
6. Haeseler (2002). Secuencias automáticas (Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, 36). pag. 15.
7. Palmer (2001). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras. pag. 1283.
8. Para el término, compárese el teorema de Engel , también sobre la nilpotencia.
9. Bechtell (1971), pág. 51, Teorema 5.1.3
10. Isaacs (2008), Thm. 1.26

Referencias

• Bechtell, Homero (1971). La teoría de los grupos . Addison-Wesley .
• Von Haeseler, Friedrich (2002). Secuencias Automáticas . Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas. vol. 36. Berlín: Walter de Gruyter . ISBN 3-11-015629-6.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
• Isaacs, I. Martín (2008). Teoría de grupos finitos . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4344-4.
• Palmer, Theodore W. (1994). Álgebras de Banach y la teoría general de *-álgebras . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-36638-0.
• Stammbach, Urs (1973). Homología en teoría de grupos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 359. Springer-Verlag.revisar
• Suprunenko, DA (1976). Grupos de matrices . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1341-2.
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Temas de teoría de grupos . Serie de Matemáticas de Pregrado de Springer. Saltador. ISBN 1-85233-235-2.
• Zassenhaus, Hans (1999). La teoría de los grupos . Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-40922-8.