En geometría , un subespacio plano o afín es un subconjunto de un espacio afín que es en sí mismo un espacio afín (de igual o menor dimensión ). En el caso de que el espacio padre sea euclidiano , un piso es un subespacio euclidiano que hereda la noción de distancia de su espacio padre.
Los pisos en un plano (espacio bidimensional) son puntos , rectas y el plano mismo; los pisos en el espacio tridimensional son puntos, líneas, planos y el espacio mismo. En un espacio n -dimensional , hay k -planos de cada dimensión k desde 0 hasta n ; Los subespacios una dimensión más baja que el espacio principal, ( n − 1) -planos, se denominan hiperplanos .
Los planos ocurren en álgebra lineal , como realizaciones geométricas de conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales .
Un plano es una variedad y una variedad algebraica , y a veces se le llama variedad lineal o variedad lineal para distinguirla de otras variedades o variedades.
Un piso se puede describir mediante un sistema de ecuaciones lineales . Por ejemplo, una línea en un espacio bidimensional se puede describir mediante una única ecuación lineal que involucra x e y :
En el espacio tridimensional, una única ecuación lineal que involucra x , y y z define un plano, mientras que se pueden usar un par de ecuaciones lineales para describir una línea. En general, una ecuación lineal en n variables describe un hiperplano y un sistema de ecuaciones lineales describe la intersección de esos hiperplanos. Suponiendo que las ecuaciones son consistentes y linealmente independientes , un sistema de k ecuaciones describe un plano de dimensión n − k .
Un piso también puede describirse mediante un sistema de ecuaciones paramétricas lineales . Una línea se puede describir mediante ecuaciones que involucran un parámetro :
mientras que la descripción de un avión requeriría dos parámetros:
En general, una parametrización de un piso de dimensión k requeriría k parámetros, por ejemplo t 1 , …, t k .
Una intersección de pisos es un piso o un conjunto vacío .
Si cada línea de un piso es paralela a alguna línea de otro piso, entonces estos dos pisos son paralelos . Dos pisos paralelos de la misma dimensión coinciden o no se cruzan; se pueden describir mediante dos sistemas de ecuaciones lineales que difieren sólo en sus lados derechos.
Si los bemoles no se cruzan y ninguna línea del primer bemol es paralela a una línea del segundo bemol, entonces se trata de bemoles sesgados . Esto sólo es posible si la suma de sus dimensiones es menor que la dimensión del espacio ambiental.
Para dos pisos de dimensiones k 1 y k 2 existe el piso mínimo que los contiene, de dimensión como máximo k 1 + k 2 + 1 . Si dos pisos se cruzan, entonces la dimensión del piso contenedor es igual a k 1 + k 2 menos la dimensión de la intersección.
Estas dos operaciones (denominadas encuentro y unión ) hacen del conjunto de todos los pisos en el espacio n euclidiano una red y pueden construir coordenadas sistemáticas para pisos en cualquier dimensión, lo que conduce a coordenadas de Grassmann o coordenadas duales de Grassmann. Por ejemplo, una línea en el espacio tridimensional está determinada por dos puntos distintos o por dos planos distintos.
Sin embargo, la red de todos los pisos no es una red distributiva . Si dos rectas ℓ 1 y ℓ 2 se cruzan, entonces ℓ 1 ∩ ℓ 2 es un punto. Si p es un punto que no se encuentra en el mismo plano, entonces (ℓ 1 ∩ ℓ 2 ) + p = (ℓ 1 + p ) ∩ (ℓ 2 + p ) , ambos representan una línea. Pero cuando ℓ 1 y ℓ 2 son paralelos, esta distributividad falla, dando p en el lado izquierdo y una tercera línea paralela en el lado derecho.
Los hechos antes mencionados no dependen de que la estructura sea la del espacio euclidiano (es decir, que implique una distancia euclidiana ) y son correctos en cualquier espacio afín . En un espacio euclidiano:
