Ángulos entre pisos

Concepto en geometría

El concepto de ángulos entre rectas (en el plano o en el espacio ), entre dos planos ( ángulo diédrico ) o entre una recta y un plano puede generalizarse a dimensiones arbitrarias . Esta generalización fue discutida por primera vez por Camille Jordan . ^[1] Para cualquier par de pisos en un espacio euclidiano de dimensión arbitraria, se puede definir un conjunto de ángulos mutuos que son invariantes bajo transformación isométrica del espacio euclidiano. Si los pisos no se cruzan, su distancia más corta es una invariante más. ^[1] Estos ángulos se llaman canónicos ^[2] o principales . ^[3] El concepto de ángulos se puede generalizar a pares de pisos en un espacio producto interno de dimensión finita sobre los números complejos .

La definición de Jordania.

Sean y planos de dimensiones y en el espacio euclidiano -dimensional . Por definición, una traducción de o no altera sus ángulos mutuos. Si y no se cruzan, lo harán en cualquier traducción de which mapea algún punto en algún punto en . Por lo tanto, se puede suponer sin pérdida de generalidad que y se cruzan. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Jordan muestra que las coordenadas cartesianas en pueden definirse de manera que y se describen, respectivamente, mediante los conjuntos de ecuaciones ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\rho },}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{\sigma },}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\tau },}$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{\upsilon },}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{\alpha },}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{\alpha }}$ ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\dots ,u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0}$

y

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\dots ,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}$

con . Jordan llama canónicas a estas coordenadas . Por definición, los ángulos son los ángulos entre y . ${\displaystyle 0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Los números enteros no negativos están restringidos por ${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$

${\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}$

${\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}$

${\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}$

Para que estas ecuaciones determinen completamente los cinco números enteros no negativos, además de las dimensiones y el número de ángulos , se debe dar el número entero no negativo . Este es el número de coordenadas , cuyos ejes correspondientes son los que se encuentran completamente dentro de ambos y . Por tanto, el número entero es la dimensión de . El conjunto de ángulos podrá complementarse con ángulos para indicar que tiene esa dimensión. ${\displaystyle n,k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F\cap G}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\cap G}$

La prueba de Jordan se aplica esencialmente inalterada cuando se reemplaza con el espacio producto interno de dimensiones sobre los números complejos. (Para ángulos entre subespacios, Galántai y Hegedũs analizan la generalización en términos de la siguiente caracterización variacional. ^[4] ) ^[1] ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Ángulos entre subespacios

Ahora sean y subespacios del espacio producto interno de dimensiones sobre los números reales o complejos. Geométricamente, y son planos, por lo que se aplica la definición de ángulos mutuos de Jordan. Cuando para cualquier coordenada canónica el símbolo denota el vector unitario del eje, los vectores forman una base ortonormal para y los vectores forman una base ortonormal para , donde ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}$

Al estar relacionados con coordenadas canónicas, estos vectores básicos pueden denominarse canónicos .

Cuando denotamos los vectores básicos canónicos para y los vectores básicos canónicos para, entonces el producto interno desaparece para cualquier par de y excepto los siguientes. ${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

Con el orden anterior de los vectores básicos, la matriz de los productos internos es diagonal . En otras palabras, si y son bases ortonormales arbitrarias en y entonces las transformaciones reales, ortogonales o unitarias de base a base y de base a base realizan una descomposición en valores singulares de la matriz de productos internos . Los elementos de la matriz diagonal son los valores singulares de esta última matriz. Por la unicidad de la descomposición en valores singulares, los vectores son entonces únicos hasta una transformación real, ortogonal o unitaria entre ellos, y los vectores y (y por tanto ) son únicos hasta transformaciones reales, ortogonales o unitarias iguales aplicadas simultáneamente a los conjuntos. de los vectores asociados con un valor común de y a los correspondientes conjuntos de vectores (y por tanto a los correspondientes conjuntos de ). ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$ ${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$ ${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a'_{i})}$ ${\displaystyle (a_{i})}$ ${\displaystyle (b'_{i})}$ ${\displaystyle (b_{i})}$ ${\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$

Un valor singular puede interpretarse como correspondiente a los ángulos introducidos anteriormente y asociados con y un valor singular puede interpretarse como correspondiente a ángulos rectos entre los espacios ortogonales y , donde el superíndice denota el complemento ortogonal . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \,0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\cap G}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \cos \pi /2}$ ${\displaystyle F\cap G^{\bot }}$ ${\displaystyle F^{\bot }\cap G}$ ${\displaystyle \bot }$

Caracterización variacional

La caracterización variacional de valores y vectores singulares implica como caso especial una caracterización variacional de los ángulos entre subespacios y sus vectores canónicos asociados. Esta caracterización incluye los ángulos presentados anteriormente y ordena los ángulos por valor creciente. Se le puede dar la forma de la siguiente definición alternativa. En este contexto se acostumbra hablar de ángulos principales y vectores. ^[3] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Definición

Sea un espacio de producto interior. Dados dos subespacios con , existe entonces una secuencia de ángulos llamados ángulos principales, el primero definido como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}$

${\displaystyle \theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),}$

donde está el producto interno y la norma inducida . Los vectores y son los vectores principales correspondientes. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle w_{1}}$

Los otros ángulos y vectores principales se definen recursivamente mediante

${\displaystyle \theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

Esto significa que los ángulos principales forman un conjunto de ángulos minimizados entre los dos subespacios y los vectores principales en cada subespacio son ortogonales entre sí. ${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})}$

Ejemplos

Ejemplo geométrico

Geométricamente, los subespacios son planos (puntos, líneas, planos, etc.) que incluyen el origen, por lo que dos subespacios cualesquiera se cruzan al menos en el origen. Dos subespacios bidimensionales y generan un conjunto de dos ángulos. En un espacio euclidiano tridimensional , los subespacios y son idénticos o su intersección forma una línea. En el primer caso, ambos . En el último caso, solo , donde los vectores y están en la recta de intersección y tienen la misma dirección. El ángulo será el ángulo entre los subespacios y en el complemento ortogonal a . Al imaginar el ángulo entre dos planos en 3D, uno piensa intuitivamente en el ángulo más grande . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}$ ${\displaystyle \theta _{1}=0}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \theta _{2}>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \theta _{2}>0}$

ejemplo algebraico

En el espacio de coordenadas reales de 4 dimensiones R ⁴ , deje que el subespacio bidimensional esté atravesado por y , y deje que el subespacio bidimensional esté atravesado por y con algún real y tal que . Entonces y son, de hecho, el par de vectores principales correspondientes al ángulo con , y y son los vectores principales correspondientes al ángulo con ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle u_{1}=(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle u_{2}=(0,1,0,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}}$ ${\displaystyle w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|<|b|}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.}$

Para construir un par de subespacios con cualquier conjunto de ángulos en un espacio euclidiano dimensional (o mayor) , tome un subespacio con una base ortonormal y complételo hasta una base ortonormal del espacio euclidiano, donde . Entonces, una base ortonormal del otro subespacio es, por ejemplo, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle n\geq 2k}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle (\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}$

Propiedades básicas

• Si el ángulo mayor es cero, un subespacio es un subconjunto del otro.
• Si el ángulo mayor es , hay al menos un vector en un subespacio perpendicular al otro subespacio. ${\displaystyle \pi /2}$
• Si el ángulo más pequeño es cero, los subespacios se cruzan al menos en una línea.
• Si el ángulo más pequeño es , los subespacios son ortogonales. ${\displaystyle \pi /2}$
• El número de ángulos igual a cero es la dimensión del espacio donde se cruzan los dos subespacios.

Propiedades avanzadas

• Los ángulos no triviales (diferentes de y ^[5] ) entre dos subespacios son los mismos que los ángulos no triviales entre sus complementos ortogonales. ^{[6] [7]} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi /2}$
• Los ángulos no triviales entre los subespacios y los ángulos no triviales correspondientes entre los subespacios y suman . ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$ ${\displaystyle \pi /2}$
• Los ángulos entre subespacios satisfacen la desigualdad del triángulo en términos de mayorización y, por lo tanto, pueden usarse para definir una distancia en el conjunto de todos los subespacios, convirtiendo el conjunto en un espacio métrico . ^[8]
• El seno de los ángulos entre subespacios satisface la desigualdad del triángulo en términos de mayorización y, por lo tanto, puede usarse para definir una distancia en el conjunto de todos los subespacios, convirtiendo el conjunto en un espacio métrico . ^[6] Por ejemplo, el seno del ángulo más grande se conoce como espacio entre subespacios. ^[9]

Extensiones

La noción de ángulos y algunas de las propiedades variacionales pueden extenderse naturalmente a productos internos arbitrarios ^[10] y subespacios con dimensiones infinitas . ^[7]

Cálculo

Históricamente, los ángulos y vectores principales aparecen por primera vez en el contexto de la correlación canónica y originalmente se calcularon utilizando SVD de las matrices de covarianza correspondientes . Sin embargo, como se observó por primera vez en ^[3] , la correlación canónica está relacionada con el coseno de los ángulos principales, que está mal condicionado para ángulos pequeños, lo que lleva a un cálculo muy inexacto de vectores principales altamente correlacionados en aritmética informática de precisión finita . El algoritmo basado en seno ^[3] soluciona este problema, pero crea un nuevo problema de cálculo muy inexacto de vectores principales altamente no correlacionados, ya que la función seno está mal condicionada para ángulos cercanos a π /2. Para producir vectores principales precisos en aritmética informática para el rango completo de los ángulos principales, la técnica combinada ^[10] primero calcula todos los ángulos principales y los vectores utilizando el enfoque clásico basado en el coseno , y luego vuelve a calcular los ángulos principales menores que π /4 y los vectores principales correspondientes utilizando el enfoque basado en senos . ^[3] La técnica combinada ^[10] se implementa en las bibliotecas de código abierto Octave ^[11] y SciPy ^[12] y contribuyó ^[13] y ^[14] a MATLAB .

Ver también

• Valor singular de descomposición
• Correlación canónica

Referencias

1. Jordania, C. (1875). "Essai sur la géométrie à n {\ Displaystyle n} dimensiones". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 3 : 103.
2. Afriat, SN (1957). "Proyectores ortogonales y oblicuos y caracterización de pares de espacios vectoriales". Matemáticas. Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 53 (4): 800. doi :10.1017/S0305004100032916. S2CID  122049149.
3. Björck, Å.; Golub, GH (1973). "Métodos numéricos para calcular ángulos entre subespacios lineales". Matemáticas. comp . 27 (123): 579. doi : 10.2307/2005662. JSTOR  2005662.
4. Galántai, A.; Hegedũs, Cs. J. (2006). "Los ángulos principales de Jordan en espacios vectoriales complejos". Número. Aplicación de álgebra lineal . 13 (7): 589–598. CiteSeerX 10.1.1.329.7525 . doi :10.1002/nla.491. S2CID  13107400. 
5. Halmos, PR (1969), "Dos subespacios", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 144 : 381–389, doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251519-5
6. Knyazev, AV; Argentati, ME (2006), "Mayorización de cambios en ángulos entre subespacios, valores de Ritz y espectros laplacianos gráficos", SIAM J. Matrix Anal. Aplica. , 29 (1): 15–32, CiteSeerX 10.1.1.331.9770 , doi :10.1137/060649070, S2CID  16987402 
7. Knyazev, AV; Jujunashvili, A.; Argentati, ME (2010), "Ángulos entre subespacios de dimensiones infinitas con aplicaciones a los métodos de Rayleigh-Ritz y proyectores alternos", Journal of Functional Analysis , 259 (6): 1323–1345, arXiv : 0705.1023 , doi :10.1016/j. jfa.2010.05.018, S2CID  5570062
8. Qiu, L.; Zhang, Y.; Lamer. (2005), "Métricas unitariamente invariantes en el espacio de Grassmann" (PDF) , Revista SIAM sobre análisis y aplicaciones de matrices , 27 (2): 507–531, doi :10.1137/040607605
9. Kato, DT (1996), Teoría de la perturbación para operadores lineales , Springer, Nueva York
10. Knyazev, AV; Argentati, ME (2002), "Ángulos principales entre subespacios en un producto escalar basado en A: algoritmos y estimaciones de perturbaciones", Revista SIAM de Computación Científica , 23 (6): 2009–2041, Bibcode :2002SJSC...23.2008K, CiteSeerX 10.1.1.73.2914 , doi : 10.1137/S1064827500377332 
11. Subespacio de función de octava
12. Función de álgebra lineal SciPy subspace_angles
13. Subespacio de función MATLAB FileExchange
14. Subespacio de la función MATLAB FileExchangea