función cardinal

Función que devuelve números cardinales

En matemáticas , una función cardinal (o invariante cardinal ) es una función que devuelve números cardinales .

Funciones cardinales en la teoría de conjuntos

• La función cardinal más utilizada es la función que asigna a un conjunto A su cardinalidad , denotada por | Un |.
• Los números Aleph y Beth pueden verse como funciones cardinales definidas en números ordinales .
• Las operaciones aritméticas cardinales son ejemplos de funciones desde números cardinales (o pares de ellos) hasta números cardinales.
• Las características cardinales de un ideal I (propio) de subconjuntos de X son:

${\displaystyle {\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I\}.}$

La "aditividad" de I es el número más pequeño de conjuntos de I cuya unión ya no está en I. Como cualquier ideal es cerrado bajo uniones finitas, este número siempre es al menos ; si I es un σ-ideal, entonces ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X\}.}$

El "número de cobertura" de I es el número más pequeño de conjuntos de I cuya unión es toda X . Como X en sí no está en I , debemos tener add( I  ) ≤ cov( I  ).

${\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I\},}$

El "número de uniformidad" de I ( a veces también escrito ) es el tamaño del conjunto más pequeño que no está en I. Suponiendo que I contiene todos los singleton , agregue ( I  ) ≤ non( I  ). ${\displaystyle {\rm {unif}}(I)}$

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge \forall A\in I(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B)\}.}$

La "cofinalidad" de I es la cofinalidad del orden parcial ( I , ⊆). Es fácil ver que debemos tener non( I  ) ≤ cof( I  ) y cov( I  ) ≤ cof( I  ).

En el caso de que sea un ideal estrechamente relacionado con la estructura de los reales , como el ideal de los conjuntos nulos de Lebesgue o el ideal de los conjuntos escasos , estos invariantes cardinales se denominan características cardinales del continuo . ${\displaystyle I}$

• Para un conjunto reservado, el número delimitador y el número dominante se definen como ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\sqsubseteq )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

• En la teoría PCF se utiliza la función cardinal . ^[1] ${\displaystyle pp_{\kappa }(\lambda )}$

Funciones cardinales en topología

Las funciones cardinales se utilizan ampliamente en topología como herramienta para describir diversas propiedades topológicas . ^{[2] [3]} A continuación se muestran algunos ejemplos. (Nota: algunos autores, argumentando que "no hay números cardinales finitos en la topología general ", ^[4] prefieren definir las funciones cardinales enumeradas a continuación de modo que nunca tomen números cardinales finitos como valores; esto requiere modificar algunas de las definiciones. se indica a continuación, por ejemplo agregando " " al lado derecho de las definiciones, etc.) ${\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}$

• Quizás los invariantes cardinales más simples de un espacio topológico sean su cardinalidad y la cardinalidad de su topología, denotadas respectivamente por y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle o(X).}$
• El peso de un espacio topológico es la cardinalidad de la base más pequeña para cuando se dice que el espacio es segundo contable . ${\displaystyle \operatorname {w} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {w} (X)=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle X}$
  • El peso de un espacio es la cardinalidad de la base más pequeña para (Una base es un conjunto de conjuntos abiertos no vacíos cuyos superconjuntos incluyen todos los abiertos). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \pi }$
  • El peso de la red es la cardinalidad más pequeña de una red para Una red es una familia de conjuntos, para los cuales, para todos los puntos y vecindades abiertas que contienen existe en para los cuales ${\displaystyle \operatorname {nw} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$
• El carácter de un espacio topológico en un punto es la cardinalidad de la base local más pequeña para El carácter del espacio es Cuando se dice que el espacio es primero contable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$ ${\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle X}$
• La densidad de un espacio es la cardinalidad del subconjunto denso más pequeño de Cuando se dice que el espacio es separable . ${\displaystyle \operatorname {d} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}$ ${\displaystyle X}$
• El número de Lindelöf de un espacio es la cardinalidad infinita más pequeña tal que cada cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad no mayor que Cuando se dice que el espacio es un espacio de Lindelöf . ${\displaystyle \operatorname {L} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X).}$ ${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$ ${\displaystyle X}$
• La celularidad o número de Suslin de un espacio es ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}{\text{ is a family of mutually disjoint non-empty open subsets of }}X\}.}$

• La celularidad hereditaria (a veces llamada dispersión ) es el límite superior mínimo de celularidades de sus subconjuntos: o donde "discreto" significa que es un espacio topológico discreto . $${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$$ $${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ with the subspace topology is discrete}}\}}$$

• La extensión de un espacio es So tiene una extensión contable exactamente cuando no tiene un subconjunto discreto cerrado incontable . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ is closed and discrete}}\}.}$$ ${\displaystyle X}$
• La estrechez de un espacio topológico en un punto es el número cardinal más pequeño tal que, siempre que para algún subconjunto de exista un subconjunto de tal que Simbólicamente, la estrechez de un espacio es Cuando se dice que el espacio es contablemente generado o contablemente apretado . ${\displaystyle t(x,X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle |Z|\leq \alpha ,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z).}$ $${\displaystyle t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.}$$ ${\displaystyle t(X)=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle X}$
  • La rigidez aumentada de un espacio es el cardinal regular más pequeño tal que para cualquiera hay un subconjunto de con cardinalidad menor que tal que ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle t^{+}(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).}$

Desigualdades básicas

$${\displaystyle c(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)\leq 2^{|X|}}$$ $${\displaystyle e(X)\leq s(X)}$$ $${\displaystyle \chi (X)\leq w(X)}$$ $${\displaystyle \operatorname {nw} (X)\leq w(X){\text{ and }}o(X)\leq 2^{\operatorname {nw} (X)}}$$

Funciones cardinales en álgebras de Boole

Las funciones cardinales se utilizan a menudo en el estudio de álgebras de Boole . ^{[5] [6]} Podemos mencionar, por ejemplo, las siguientes funciones:

• La celularidad de un álgebra booleana es la suprema de las cardinalidades de anticadenas en . ${\displaystyle c(\mathbb {B} )}$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$
• La longitud de un álgebra booleana es ${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )}$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a chain}}{\big \}}}$

• La profundidad de un álgebra booleana es ${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )}$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a well-ordered subset}}{\big \}}}$.

• La incomparabilidad de un álgebra booleana es ${\displaystyle {\rm {Inc}}(\mathbb {B} )}$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ such that }}\forall a,b\in A{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}$.

• El pseudopeso de un álgebra booleana es ${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}{\text{ such that }}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}$

Funciones cardinales en álgebra

Ejemplos de funciones cardinales en álgebra son:

• El índice de un subgrupo H de G es el número de clases laterales .
• La dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo K es la cardinalidad de cualquier base de Hamel de V.
• De manera más general, para un módulo libre M sobre un anillo R definimos rango como la cardinalidad de cualquier base de este módulo . ${\displaystyle {\rm {rank}}(M)}$
• Para un subespacio lineal W de un espacio vectorial V definimos la codimensión de W (con respecto a V ).
• Para cualquier estructura algebraica es posible considerar la cardinalidad mínima de los generadores de la estructura.
• Para extensiones de campos algebraicos , a menudo se emplean el grado algebraico y el grado separable (el grado algebraico es igual a la dimensión de la extensión como un espacio vectorial sobre el campo más pequeño).
• Para extensiones de campos no algebraicos, también se utiliza el grado de trascendencia .

enlaces externos

• Un glosario de definiciones de topología general [1] [2]

Ver también

• diagrama de cichoń

Referencias

1. Holz, Michael; Steffens, Karsten; Weitz, Edmund (1999). Introducción a la aritmética cardinal . Birkhäuser. ISBN 3764361247.
2. Juhász, István (1979). Funciones cardinales en topología (PDF) . Matemáticas. Centre Tracts, Ámsterdam. ISBN 90-6196-062-2. Archivado desde el original (PDF) el 18 de marzo de 2014 . Consultado el 30 de junio de 2012 .
3. Juhász, István (1980). Funciones cardinales en topología, diez años después (PDF) . Matemáticas. Centre Tracts, Ámsterdam. ISBN 90-6196-196-3. Archivado desde el original (PDF) el 17 de marzo de 2014 . Consultado el 30 de junio de 2012 .
4. Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Serie Sigma en Matemática Pura. vol. 6 (edición revisada). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.
5. Monk, J. Donald: Funciones cardinales en álgebras booleanas . "Conferencias de Matemáticas ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basilea, 1990. ISBN 3-7643-2495-3 . 
6. Monk, J. Donald: Invariantes cardinales en álgebras booleanas . "Progreso en matemáticas", 142. Birkhäuser Verlag, Basilea, ISBN 3-7643-5402-X . 

• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Monografías de Springer en Matemáticas (edición del Tercer Milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.