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Ideal (teoría de conjuntos)

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un ideal es una colección parcialmente ordenada de conjuntos que se consideran "pequeños" o "despreciables". Todo subconjunto de un elemento del ideal también debe estar en el ideal (esto codifica la idea de que un ideal es una noción de pequeñez), y la unión de dos elementos cualesquiera del ideal también debe estar en el ideal.

Más formalmente, dado un conjunto , un ideal en es un subconjunto no vacío del conjunto potencia de tal que:

  1. si y entonces y
  2. Si entonces

Algunos autores añaden una cuarta condición que no está en ; los ideales con esta propiedad adicional se denominan ideales propios .

Los ideales en el sentido de la teoría de conjuntos son exactamente ideales en el sentido de la teoría de orden , donde el orden relevante es la inclusión de conjuntos. También son exactamente ideales en el sentido de la teoría de anillos en el anillo booleano formado por el conjunto potencia del conjunto subyacente. La noción dual de un ideal es un filtro .

Terminología

Se dice que un elemento de un ideal es -nulo o -despreciable , o simplemente nulo o despreciable si el ideal se entiende a partir del contexto. Si es un ideal en entonces se dice que un subconjunto de es -positivo (o simplemente positivo ) si no es un elemento de La colección de todos los subconjuntos -positivos de se denota

Si es un ideal propio en y para cada o entonces es un ideal primo .

Ejemplos de ideales

Ejemplos generales

Ideales sobre los números naturales

Ideales sobre los números reales

Ideales en otros conjuntos

Operaciones sobre ideales

Dados los ideales I y J sobre los conjuntos subyacentes X e Y respectivamente, se forma el producto sobre el producto cartesiano de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto Es decir, un conjunto es despreciable en el ideal del producto si solo una colección despreciable de coordenadas x corresponde a una porción no despreciable de A en la dirección y . (Quizás más claro: un conjunto es positivo en el ideal del producto si positivamente muchas coordenadas x corresponden a porciones positivas).

Un ideal I en un conjunto X induce una relación de equivalencia en el conjunto potencia de X , considerando A y B como equivalentes (para subconjuntos de X ) si y solo si la diferencia simétrica de A y B es un elemento de I . El cociente de por esta relación de equivalencia es un álgebra de Boole , denotado (léase "P de X mod I ").

A cada ideal le corresponde un filtro , llamado filtro dual . Si I es un ideal en X , entonces el filtro dual de I es la colección de todos los conjuntos donde A es un elemento de I. (Aquí denota el complemento relativo de A en X ; es decir, la colección de todos los elementos de X que no están en A ).

Relaciones entre ideales

Si y son ideales en y respectivamente, y son isomorfos de Rudin-Keisler si son el mismo ideal excepto por el cambio de nombre de los elementos de sus conjuntos subyacentes (ignorando los conjuntos despreciables). Más formalmente, el requisito es que haya conjuntos y elementos de y respectivamente, y una biyección tal que para cualquier subconjunto si y solo si la imagen de bajo

Si y son isomorfos de Rudin-Keisler, entonces y son isomorfos como álgebras de Boole. Los isomorfismos de álgebras de Boole cocientes inducidos por isomorfismos de ideales de Rudin-Keisler se denominan isomorfismos triviales .

Véase también

Referencias