Diagrama de Cichoń

En teoría de conjuntos, el diagrama de Cichoń o diagrama de Cichon es una tabla de 10 números cardinales infinitos relacionados con la teoría de conjuntos de los reales que muestra las relaciones demostrables entre estas características cardinales del continuo . Todos estos cardinales son mayores o iguales que , el cardinal incontable más pequeño, y están acotados superiormente por , la cardinalidad del continuo . Cuatro cardinales describen propiedades del ideal de conjuntos de medida cero ; cuatro más describen las propiedades correspondientes del ideal de conjuntos magros (conjuntos de primera categoría) . ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Definiciones

Sea I un ideal de un conjunto infinito fijo X , que contiene todos los subconjuntos finitos de X . Definimos los siguientes " coeficientes cardinales " de I :

• ${\displaystyle \operatorname {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}}.}$

La "aditividad" de I es el número más pequeño de conjuntos a partir de I cuya unión ya no está en I. Como cualquier ideal está cerrado bajo uniones finitas, este número es siempre al menos ; si I es un σ-ideal, entonces add( I ) ≥  . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

• ${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{\big \}}.}$

El "número de cobertura" de I es el número más pequeño de conjuntos a partir de I cuya unión es todo X. Como X en sí mismo no está en I , debemos tener add( I ) ≤ cov( I ).

• ${\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq X\ \wedge \ {\mathcal {A}}\notin I{\big \}},}$

El "número de uniformidad" de I (a veces también escrito ) es el tamaño del conjunto más pequeño que no está en I. Según nuestra suposición sobre I , add( I ) ≤ non( I ). ${\displaystyle \operatorname {unif} (I)}$

• ${\displaystyle \operatorname {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge (\forall B\in I)(\exists A\in {\mathcal {A}})(B\subseteq A){\big \}}.}$

La "cofinalidad" de I es la cofinalidad del orden parcial ( I , ⊆). Es fácil ver que debemos tener non( I ) ≤ cof( I ) y cov( I ) ≤ cof( I ).

Además, el " número delimitador " o "número ilimitado" y el " número dominante " se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}$

donde " " significa: "hay infinitos números naturales n tales que …", y " " significa "para todos excepto un número finito de números naturales n tenemos …". ${\displaystyle \exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }}$

Diagrama

Sea el σ-ideal de aquellos subconjuntos de la recta real que son magros (o "de primera categoría") en la topología euclidiana , y sea el σ-ideal de aquellos subconjuntos de la recta real que son de medida de Lebesgue cero. Entonces se cumplen las siguientes desigualdades: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Donde una flecha de a significa que . Además, se cumplen las siguientes relaciones: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle \operatorname {add} ({\mathcal {B}})=\min\{\operatorname {cov} ({\mathcal {B}}),{\mathfrak {b}}\}}$ y

${\displaystyle \operatorname {cof} ({\mathcal {B}})=\max\{\operatorname {non} ({\mathcal {B}}),{\mathfrak {d}}\}.}$^[1]

Resulta que las desigualdades descritas por el diagrama, junto con las relaciones mencionadas anteriormente, son todas las relaciones entre estos cardinales que son demostrables en ZFC , en el siguiente sentido limitado. Sea A cualquier asignación de los cardinales y a los 10 cardinales en el diagrama de Cichoń. Entonces, si A es consistente con las relaciones del diagrama, y ​​si A también satisface las dos relaciones adicionales, entonces A puede realizarse en algún modelo de ZFC. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Para tamaños de continuo mayores, la situación es menos clara. Es consistente con ZFC que todos los cardinales del diagrama de Cichoń son simultáneamente diferentes, excepto y (que son iguales a otras entradas). ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \operatorname {add} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {cof} ({\mathcal {B}})}$

Algunas desigualdades del diagrama (como "add ≤ cov") se deducen inmediatamente de las definiciones. Las desigualdades y son teoremas clásicos y se deducen del hecho de que la línea real se puede dividir en un conjunto magro y un conjunto de medida cero. ${\displaystyle \operatorname {cov} ({\mathcal {B}})\leq \operatorname {non} ({\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} ({\mathcal {L}})\leq \operatorname {non} ({\mathcal {B}})}$

Observaciones

El matemático británico David Fremlin bautizó el diagrama en honor al matemático polaco de Wrocław , Jacek Cichoń  [pl] . ^[5]

La hipótesis del continuo , de ser igual a , haría que todas estas relaciones fueran igualdades. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

El axioma de Martin , un debilitamiento de la hipótesis del continuo, implica que todos los cardinales en el diagrama (excepto quizás ) son iguales a . ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Se pueden dibujar diagramas similares para las características cardinales de cardinales superiores para fuertemente inaccesibles , que clasifican varios cardinales entre y . ^[6] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Referencias

1. Bartoszyński, Tomek (2009), "Invariantes de medida y categoría", en Foreman, Matthew (ed.), Handbook of Set Theory , Springer-Verlag, págs. 491–555, arXiv : math/9910015 , doi :10.1007/978-1-4020-5764-9_8, ISBN 978-1-4020-4843-2, S2CID15079978 ​
2. Martin Goldstern ; Jakob Kellner; Saharon Shelah (2019), "El máximo de Cichoń", Anales de Matemáticas , 190 (1): 113–143, arXiv : 1708.03691 , doi :10.4007/annals.2019.190.1.2, S2CID  119654292
3. Martin Goldstern; Jakob Kellner; Diego A. Mejía; Saharon Shelah (2019), Máximo de Cichoń sin grandes cardinales , arXiv : 1906.06608
4. Martin Goldstern; Jakob Kellner, "Una profunda incursión matemática en por qué algunos infinitos son más grandes que otros", Scientific American , consultado el 23 de agosto de 2021
5. Fremlin, David H. (1984), "Diagrama de Cichon", Sémin. Anal de iniciación. 23ème Année-1983/84 , Publ. Matemáticas. Universidad Pierre y Marie Curie , vol. 66, Zbl  0559.03029, Exp. N° 5, 13 p..
6. Sela, Saharón; Goldstern, Martín; Baumhauer, Thomas (2021). "El diagrama de Cichoń superior". Fundamentos Mathematicae . 252 (3): 241–314. arXiv : 1806.08583 . doi :10.4064/fm666-4-2020. S2CID  111385070.