Característica cardinal del continuo

Concepto de teoría de conjuntos

En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , una característica cardinal del continuo es un número cardinal infinito que puede estar consistentemente estrictamente entre (la cardinalidad del conjunto de números naturales ) y la cardinalidad del continuo , es decir, la cardinalidad del conjunto de todos los números reales . El último cardinal se denota o . Una variedad de tales características cardinales surgen naturalmente, y se ha trabajado mucho para determinar qué relaciones entre ellas son demostrables y construir modelos de teoría de conjuntos para varias configuraciones consistentes de ellas. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Fondo

El argumento diagonal de Cantor muestra que es estrictamente mayor que , pero no especifica si es el cardinal menor mayor que (es decir, ). De hecho, la suposición de que es la conocida Hipótesis del Continuo , que Kurt Gödel demostró que era consistente con los axiomas estándar de ZFC para la teoría de conjuntos y Paul Cohen demostró que era independiente de ella . Si la Hipótesis del Continuo falla y también lo es al menos , surgen preguntas naturales sobre los cardinales estrictamente entre y , por ejemplo con respecto a la mensurabilidad de Lebesgue. Al considerar el cardinal menor con alguna propiedad, se puede obtener una definición para un cardinal incontable que es consistentemente menor que . Generalmente, solo se consideran definiciones para cardinales que son demostrablemente mayores que y como máximo como características cardinales del continuo, por lo que si la Hipótesis del Continuo se cumple, todos son iguales a . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Ejemplos

Como es estándar en la teoría de conjuntos, denotamos por el ordinal infinito menor , que tiene cardinalidad ; puede identificarse con el conjunto de números naturales. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Una serie de características cardinales surgen naturalmente como invariantes cardinales para ideales que están estrechamente conectados con la estructura de los reales, como el ideal de los conjuntos nulos de Lebesgue y el ideal de los conjuntos magros .

no(norte)

La característica cardinal es la menor cardinalidad de un conjunto no medible ; equivalentemente, es la menor cardinalidad de un conjunto que no es un conjunto nulo de Lebesgue . ${\displaystyle {\text{non}}({\mathcal {N}})}$

Número delimitador y número dominante

Denotamos por el conjunto de funciones de a . Para dos funciones cualesquiera y denotamos por la afirmación de que para todos excepto un número finito de . El número acotado es la menor cardinalidad de un conjunto no acotado en esta relación, es decir, ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f:\omega \to \omega }$ ${\displaystyle g:\omega \to \omega }$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$ ${\displaystyle n\in \omega ,f(n)\leq g(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(g\nleq ^{*}f)\}).}$

El número dominante es la menor cardinalidad de un conjunto de funciones de a tal que cada una de esas funciones está dominada por (es decir, ) un miembro de ese conjunto, es decir, ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \leq ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(f\leq ^{*}g)\}).}$

Claramente, cualquier conjunto dominante de este tipo es ilimitado, por lo que es como máximo , y un argumento de diagonalización muestra que . Por supuesto, si esto implica que , pero Hechler ^[1] ha demostrado que también es consistente tener estrictamente menos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}>\aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {d}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}.}$

Número de división y número de cosecha

Denotamos por el conjunto de todos los subconjuntos infinitos de . Para cualquier , decimos que se desdobla si tanto y son infinitos. El número de desdoblamiento es la menor cardinalidad de un subconjunto de tal que para todo , existe alguno tal que desdobla . Es decir, ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle a,b\in [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\cap a}$ ${\displaystyle b\setminus a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle b\in [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}=\min(\{|S|:S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S(|b\cap a|=\aleph _{0}\land |b\setminus a|=\aleph _{0})\}).}$

El número de cosecha es la cardinalidad más pequeña de un subconjunto de tal que ningún elemento de divide a todos los elementos de . Es decir, ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=\min(\{|R|:R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R(|b\cap a|<\aleph _{0}\lor |b\setminus a|<\aleph _{0})\}).}$

Número de ultrafiltro

El número de ultrafiltro se define como la cardinalidad mínima de una base de filtro de un ultrafiltro no principal en . Kunen ^[2] presentó un modelo de teoría de conjuntos en el que pero y utilizando una iteración de soporte contable de forzamientos de Sacks , Baumgartner y Laver ^[3] construyeron un modelo en el que y . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\aleph _{1}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{2}}$

Número de casi disyunción

Se dice que dos subconjuntos y de son casi disjuntos si es finito, y se dice que una familia de subconjuntos de es casi disjunta si sus miembros son casi disjuntos por pares. Una familia casi disjunta (" loca ") máxima de subconjuntos de es, por tanto, una familia casi disjunta tal que para cada subconjunto de que no esté en , existe un conjunto tal que y no son casi disjuntos (es decir, su intersección es infinita). El número de casi disjunción es la cardinalidad mínima de una familia casi disjunta máxima infinita. Un resultado básico ^[4] es que ; Shelah ^[5] demostró que es consistente tener la desigualdad estricta . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |A\cap B|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}<{\mathfrak {a}}}$

Diagrama de Cichoń

Un diagrama bien conocido de características cardinales es el diagrama de Cichoń , que muestra todas las relaciones por pares demostrables en ZFC entre 10 características cardinales.

Referencias

1. Stephen Hechler. Sobre la existencia de ciertos subconjuntos cofinales de . En T. Jech (ed), Axiomatic Set Theory, Part II. Volumen 13(2) de Proc. Symp. Pure Math. , págs. 155–173. American Mathematical Society, 1974 ${\displaystyle {}^{\omega }\omega }$
2. Kenneth Kunen . Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, vol. 102, Elsevier, 1980.
3. James Earl Baumgartner y Richard Laver . Forzamiento iterado de conjuntos perfectos. Annals of Mathematical Logic 17 (1979) pp 271–288.
4. Eric van Douwen . Los números enteros y la topología. En K. Kunen y JE Vaughan (eds.) Handbook of Set-Theoretic Topology. Holanda Septentrional, Amsterdam, 1984.
5. Saharon Shelah . Sobre los invariantes cardinales del continuo. En J. Baumgartner, D. Martin y S. Shelah (eds.) Axiomatic Set Theory , Contemporary Mathematics 31, American Mathematical Society, 1984, pp. 183-207.

Lectura adicional

• Tomek Bartoszyński y Haim Judah. ​​Teoría de conjuntos sobre la estructura de la línea real . AK Peters, 1995.
• Vaughan, Jerry E. (1990). "Capítulo 11: Cardinales incontables pequeños y topología" (PDF) . En van Mill, Jan; Reed, George M. (eds.). Problemas abiertos en topología . Ámsterdam: North-Holland Publishing Company . págs. 196–218. ISBN. 0-444-88768-7. Recuperado el 5 de diciembre de 2011 .
• Blass, Andreas (12 de enero de 2010). "Capítulo 6: Características cardinales combinatorias del continuo". En capataz, Mateo ; Kanamori, Akihiro (eds.). Manual de teoría de conjuntos (PDF) . vol. 1. Saltador . págs. 395–490. ISBN 978-1-4020-4843-2. Recuperado el 5 de diciembre de 2011 .
• Bartoszyński, Tomek (12 de enero de 2010). "Capítulo 7: Invariantes de medida y categoría". En Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (eds.). Handbook of Set Theory . Vol. 1. Springer. págs. 491–556. arXiv : math.LO/9910015 . ISBN. 978-1-4020-4843-2.
• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-44085-7.Zbl 1007.03002  .
• Halbeisen, Lorenz J. (2012). Teoría de conjuntos combinatorios: con una introducción sutil al forzamiento . Springer Monographs in Mathematics. Springer Monographs in Mathematics. Londres: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4471-2173-2. ISBN 978-1-4471-2172-5.