Ideal (teoría de conjuntos)

Familia no vacía de conjuntos que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un ideal es una colección parcialmente ordenada de conjuntos que se consideran "pequeños" o "despreciables". Todo subconjunto de un elemento del ideal también debe estar en el ideal (esto codifica la idea de que un ideal es una noción de pequeñez), y la unión de dos elementos cualesquiera del ideal también debe estar en el ideal.

Más formalmente, dado un conjunto , un ideal en es un subconjunto no vacío del conjunto potencia de tal que: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

1. si y entonces y ${\displaystyle A\in I}$ ${\displaystyle B\subseteq A,}$ ${\displaystyle B\in I,}$
2. Si entonces ${\displaystyle A,B\in I}$ ${\displaystyle A\cup B\in I.}$

Algunos autores añaden una cuarta condición que no está en ; los ideales con esta propiedad adicional se denominan ideales propios . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Los ideales en el sentido de la teoría de conjuntos son exactamente ideales en el sentido de la teoría de orden , donde el orden relevante es la inclusión de conjuntos. También son exactamente ideales en el sentido de la teoría de anillos en el anillo booleano formado por el conjunto potencia del conjunto subyacente. La noción dual de un ideal es un filtro .

Terminología

Se dice que un elemento de un ideal es -nulo o -despreciable , o simplemente nulo o despreciable si el ideal se entiende a partir del contexto. Si es un ideal en entonces se dice que un subconjunto de es -positivo (o simplemente positivo ) si no es un elemento de La colección de todos los subconjuntos -positivos de se denota ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I^{+}.}$

Si es un ideal propio en y para cada o entonces es un ideal primo . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\in I}$ ${\displaystyle X\setminus A\in I,}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplos de ideales

Ejemplos generales

• Para cualquier conjunto y cualquier subconjunto elegido arbitrariamente, los subconjuntos de forman un ideal en Para un número finito, todos los ideales son de esta forma. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$
• Los subconjuntos finitos de cualquier conjunto forman un ideal en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Para cualquier espacio de medida , los subconjuntos de conjuntos de medida son cero.
• Para cualquier espacio de medida , los conjuntos de medida finita. Esto abarca subconjuntos finitos (usando la medida de conteo ) y los conjuntos pequeños a continuación.
• Una bornología en un set es un ideal que abarca ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Una familia no vacía de subconjuntos de es un ideal propio en si y solo si su dual en el que se denota y define por es un filtro propio en (un filtro es propio si no es igual a ). El dual del conjunto potencia es él mismo; es decir, Por lo tanto, una familia no vacía es un ideal en si y solo si su dual es un ideal dual en (que por definición es el conjunto potencia o un filtro propio en ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X\setminus \wp (X)=\wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$

Ideales sobre los números naturales

• El ideal de todos los conjuntos finitos de números naturales se denota Fin.
• El ideal sumable de los números naturales, denominado como el conjunto de todos los conjuntos de números naturales tales que la suma es finita. Véase conjunto pequeño . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{1/n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n+1}}}$
• El ideal de los conjuntos de densidad asintóticamente cero sobre los números naturales, denotado es la colección de todos los conjuntos de números naturales tales que la fracción de números naturales menores que la que pertenecen a tiende a cero cuando tiende a infinito. (Es decir, la densidad asintótica de es cero.) ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{0},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

Ideales sobre los números reales

• La medida ideal es la colección de todos los conjuntos de números reales tales que la medida de Lebesgue es cero. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• El ideal magro es la colección de todos los conjuntos magros de números reales.

Ideales en otros conjuntos

• Si es un número ordinal de cofinalidad incontable , el ideal no estacionario en es la colección de todos los subconjuntos de que no son conjuntos estacionarios . Este ideal ha sido estudiado extensamente por W. Hugh Woodin . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Operaciones sobre ideales

Dados los ideales I y J sobre los conjuntos subyacentes X e Y respectivamente, se forma el producto sobre el producto cartesiano de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto Es decir, un conjunto es despreciable en el ideal del producto si solo una colección despreciable de coordenadas x corresponde a una porción no despreciable de A en la dirección y . (Quizás más claro: un conjunto es positivo en el ideal del producto si positivamente muchas coordenadas x corresponden a porciones positivas). ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$ $${\displaystyle A\in I\times J\quad {\text{ if and only if }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I}$$

Un ideal I en un conjunto X induce una relación de equivalencia en el conjunto potencia de X , considerando A y B como equivalentes (para subconjuntos de X ) si y solo si la diferencia simétrica de A y B es un elemento de I . El cociente de por esta relación de equivalencia es un álgebra de Boole , denotada (léase "P de X mod I "). ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \wp (X)/I}$

A cada ideal le corresponde un filtro , llamado filtro dual . Si I es un ideal en X , entonces el filtro dual de I es el conjunto de todos los conjuntos donde A es un elemento de I. (Aquí denota el complemento relativo de A en X ; es decir, el conjunto de todos los elementos de X que no están en A ). ${\displaystyle X\setminus A,}$ ${\displaystyle X\setminus A}$

Relaciones entre ideales

Si y son ideales en y respectivamente, y son isomorfos Rudin-Keisler si son el mismo ideal excepto por el cambio de nombre de los elementos de sus conjuntos subyacentes (ignorando los conjuntos despreciables). Más formalmente, el requisito es que haya conjuntos y elementos de y respectivamente, y una biyección tal que para cualquier subconjunto si y solo si la imagen de bajo ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,}$ ${\displaystyle C\subseteq X,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varphi \in J.}$

Si y son isomorfos de Rudin-Keisler, entonces y son isomorfos como álgebras de Boole. Los isomorfismos de álgebras de Boole cocientes inducidos por isomorfismos de ideales de Rudin-Keisler se denominan isomorfismos triviales . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \wp (X)/I}$ ${\displaystyle \wp (Y)/J}$

Véase también

• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Filtro (matemáticas)  – En matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado.
• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Ideal (teoría del orden)  : subconjunto no vacío, acotado superiormente y cerrado hacia abajo
• Ideal (teoría de anillos)  : subgrupo aditivo de un anillo matemático que absorbe la multiplicación
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• σ-ideal  – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contablesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• Farah, Ilijas (noviembre de 2000). Cocientes analíticos: teoría de elevaciones para cocientes sobre ideales analíticos en los números enteros. Memorias de la AMS. American Mathematical Society. ISBN 9780821821176.