Variedad esférica de 3 vías

Subclase de variedad

En matemáticas , una 3-variedad esférica M es una 3-variedad de la forma

${\displaystyle M=S^{3}/\Gamma }$

donde es un subgrupo finito de O(4) que actúa libremente por rotaciones en la 3-esfera . Todas estas variedades son primas , orientables y cerradas . Las 3-variedades esféricas a veces se denominan 3-variedades elípticas . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S^{3}}$

Propiedades

Un caso especial del teorema de Bonnet-Myers dice que toda variedad lisa que tenga una métrica de Riemann lisa que sea geodésicamente completa y de curvatura positiva constante debe ser cerrada y tener un grupo fundamental finito . La conjetura de eliptización de William Thurston , demostrada por Grigori Perelman utilizando el flujo de Ricci de Richard Hamilton , establece una inversa: toda variedad tridimensional cerrada con un grupo fundamental finito tiene una métrica de Riemann lisa de curvatura positiva constante. (Esta inversa es especial para tres dimensiones). Como tal, las tres variedades esféricas son precisamente las tres variedades cerradas con un grupo fundamental finito.

Según el teorema de Synge , toda variedad esférica de 3 dimensiones es orientable y, en particular, debe estar incluida en SO(4) . El grupo fundamental es cíclico o es una extensión central de un grupo diedro , tetraédrico , octaédrico o icosaédrico mediante un grupo cíclico de orden par. Esto divide el conjunto de dichas variedades en cinco clases, que se describen en las siguientes secciones. ${\displaystyle \Gamma }$

Las variedades esféricas son exactamente las variedades con geometría esférica, una de las ocho geometrías de la conjetura de geometrización de Thurston .

Caso cíclico (espacios de lentes)

Las variedades con Γ cíclico son precisamente los espacios de lentes tridimensionales . Un espacio de lentes no está determinado por su grupo fundamental (existen espacios de lentes no homeomorfos con grupos fundamentales isomorfos ); pero cualquier otra variedad esférica sí lo está. ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$

Los espacios de lentes tridimensionales surgen como cocientes de por la acción del grupo que se genera por elementos de la forma ${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.}$

donde . Un espacio de lentes de este tipo tiene un grupo fundamental para todos los , por lo que los espacios con diferentes no son homotópicamente equivalentes. Además, se conocen clasificaciones hasta el homeomorfismo y la equivalencia homotópica, como sigue. Los espacios tridimensionales y son: ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}}$ ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L(p;q_{1})}$ ${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. homotopía equivalente si y sólo si para algún ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ;}$
2. homeomorfo si y sólo si ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.}$

En particular, los espacios de lentes L (7,1) y L (7,2) dan ejemplos de dos 3-variedades que son homotópicamente equivalentes pero no homeomorfas.

El espacio de lentes L (1,0) es la 3-esfera, y el espacio de lentes L (2,1) es un espacio proyectivo real tridimensional.

Los espacios de lentes se pueden representar como espacios de fibras de Seifert de muchas maneras, normalmente como espacios de fibras sobre la 2-esfera con como máximo dos fibras excepcionales, aunque el espacio de lentes con grupo fundamental de orden 4 también tiene una representación como un espacio de fibras de Seifert sobre el plano proyectivo sin fibras excepcionales.

Caso diedro (variedades prismáticas)

Una variedad prismática es una variedad tridimensional cerrada M cuyo grupo fundamental es una extensión central de un grupo diedro.

El grupo fundamental π ₁ ( M ) de M es un producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle }$

para números enteros k , m , n con k ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 2 y m coprimos con 2 n .

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación.

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle }$

para números enteros coprimos m , n con m ≥ 1, n ≥ 2. (El n aquí es igual al n anterior , y el m aquí es 2 ^{k -1} veces el m anterior ).

Continuamos con la última presentación. Este grupo es un grupo metacíclico de orden 4 mn con abelianización de orden 4 m (por lo que m y n están ambos determinados por este grupo). El elemento y genera un subgrupo normal cíclico de orden 2 n , y el elemento x tiene orden 4 m . El centro es cíclico de orden 2 m y es generado por x ² , y el cociente por el centro es el grupo diedro de orden 2 n .

Cuando m = 1 este grupo es un grupo diédrico binario o dicíclico . El ejemplo más simple es m = 1, n = 2, donde π ₁ ( M ) es el grupo cuaternion de orden 8.

Las variedades prismáticas están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales: si una 3-variedad cerrada tiene el mismo grupo fundamental que una variedad prismática M , es homeomorfa a M .

Las variedades prismáticas se pueden representar como espacios de fibra de Seifert de dos maneras.

Caso tetraédrico

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k}}=1\rangle }$

para números enteros k , m con k ≥ 1, m ≥ 1 y m coprimos con 6.

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación.

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\rangle }$

para un entero impar m ≥ 1. (El m aquí es 3 ^{k -1 veces el} m anterior ).

Continuamos con la última presentación. Este grupo tiene orden 24 m . Los elementos x e y generan un subgrupo normal isomorfo al grupo cuaternionario de orden 8. El centro es cíclico de orden 2 m . Está generado por los elementos z ³ y x ² = y ² , y el cociente por el centro es el grupo tetraédrico, equivalentemente, el grupo alternado A ₄ .

Cuando m = 1 este grupo es el grupo tetraédrico binario .

Estas variedades están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de forma esencialmente única como espacios de fibras de Seifert : la variedad cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 3.

Caja octaédrica

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprimo a 6 con el grupo octaédrico binario (de orden 48) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .}$

Estas variedades están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de forma esencialmente única como espacios de fibras de Seifert : la variedad cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 4.

Caso icosaédrico

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprimo a 30 con el grupo icosaédrico binario (orden 120) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .}$

Cuando m es 1, la variedad es la esfera de homología de Poincaré .

Estas variedades están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de una forma esencialmente única como espacios de fibras de Seifert: la variedad cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 5.

Referencias

• Peter Orlik , Variedades de Seifert , Lecture Notes in Mathematics, vol. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN  0-387-06014-6
• William Jaco , Conferencias sobre topología de 3 variedades ISBN 0-8218-1693-4 
• William Thurston , Geometría tridimensional y topología. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey , 1997. ISBN 0-691-08304-5