Dispersión espacial

En la física de medios continuos , la dispersión espacial suele describirse como un fenómeno en el que los parámetros del material, como la permitividad o la conductividad, dependen del vector de onda . Normalmente, se supone que dicha dependencia no existe para simplificar, pero la dispersión espacial existe en distintos grados en todos los materiales.

La razón física subyacente para la dependencia del vector de onda es a menudo que el material tiene una estructura espacial más pequeña que la longitud de onda de cualquier señal (como la luz o el sonido) que se esté considerando. Dado que estas pequeñas estructuras espaciales no pueden ser resueltas por las ondas, solo los efectos indirectos (por ejemplo, la dependencia del vector de onda) siguen siendo detectables. Un ejemplo de dispersión espacial es el de la luz visible que se propaga a través de un cristal como la calcita , donde el índice de refracción depende de la dirección de viaje (la orientación del vector de onda) con respecto a la estructura del cristal . En tal caso, aunque la luz no puede resolver los átomos individuales, sin embargo pueden, como un agregado, afectar la forma en que se propaga la luz. Otro mecanismo común es que la (por ejemplo) luz está acoplada a una excitación del material, como un plasmón .

La dispersión espacial se puede comparar con la dispersión temporal, a la que a menudo se denomina dispersión . La dispersión temporal representa efectos de memoria en los sistemas, que se observan comúnmente en óptica y electrónica. La dispersión espacial, por otro lado, representa efectos de propagación y, por lo general, solo es significativa en escalas de longitud microscópicas. La dispersión espacial contribuye con perturbaciones relativamente pequeñas a la óptica, lo que proporciona efectos débiles como la actividad óptica . La dispersión espacial y la dispersión temporal pueden ocurrir en el mismo sistema.

Origen: respuesta no local

El origen de la dispersión espacial se puede modelar como una respuesta no local, donde la respuesta a un campo de fuerza aparece en muchos lugares, y puede aparecer incluso en lugares donde la fuerza es cero. Esto suele surgir debido a una propagación de los efectos por los grados de libertad microscópicos ocultos. ^[1]

Como ejemplo, considere la corriente que se impulsa en respuesta a un campo eléctrico , que varía en el espacio (x) y en el tiempo (t). Las leyes simplificadas, como la ley de Ohm , dirían que son directamente proporcionales entre sí, , pero esto no es válido si el sistema tiene memoria (dispersión temporal) o propagación (dispersión espacial). La respuesta lineal más general viene dada por: ${\displaystyle J(x,t)}$ ${\displaystyle E(x,t)}$ ${\displaystyle J=\sigma E}$

${\displaystyle J(x,t)=\int _{-\infty }^{-\infty }dx'\int _{-\infty }^{-\infty }dt'\,\sigma (x,x',t,t')E(x',t'),}$

donde es la función de conductividad no local . ${\displaystyle \sigma (x,x',t,t')dx'\,dt'}$

Si el sistema es invariante en el tiempo ( simetría de traslación temporal ) e invariante en el espacio (simetría de traslación espacial), entonces podemos simplificar porque para algún núcleo de convolución . También podemos considerar soluciones de ondas planas para y de la siguiente manera: ${\displaystyle \sigma (x,x',t,t')=\sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x,t)=\operatorname {Re} (J_{0}e^{ikx-i\omega t})}$

${\displaystyle E(x,t)=\operatorname {Re} (E_{0}e^{ikx-i\omega t})}$

lo que produce una relación notablemente simple entre las amplitudes complejas de las dos ondas planas:

${\displaystyle J_{0}={\tilde {\sigma }}(k,\omega )E_{0}.}$

donde la función viene dada por una transformada de Fourier de la función de respuesta espacio-temporal: ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )}$

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )=\int _{-\infty }^{-\infty }dx''\int _{-\infty }^{-\infty }dt''\,e^{-ikx''+i\omega t''}\sigma _{\rm {sym}}(x'',t'').}$

La función de conductividad tiene dispersión espacial si depende del vector de onda k . Esto ocurre si la función espacial no tiene una respuesta puntual ( función delta ) en xx' . ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')}$

Dispersión espacial en electromagnetismo

En electromagnetismo , la dispersión espacial desempeña un papel en algunos efectos materiales, como la actividad óptica y el ensanchamiento Doppler . La dispersión espacial también desempeña un papel importante en la comprensión de los metamateriales electromagnéticos . Lo más común es que la dispersión espacial en permitividad ε sea de interés.

Óptica de cristal

Dentro de los cristales puede haber una combinación de dispersión espacial, dispersión temporal y anisotropía. ^[2] La relación constitutiva para el vector de polarización se puede escribir como:

${\displaystyle P_{i}({\vec {k}},\omega )=\sum _{j}(\epsilon _{ij}({\vec {k}},\omega )-\epsilon _{0}\delta _{ij})E_{j}({\vec {k}},\omega ),}$

es decir, la permitividad es un tensor dependiente del vector de onda y de la frecuencia .

Considerando las ecuaciones de Maxwell , se pueden encontrar los modos normales de onda plana dentro de dichos cristales. Estos ocurren cuando se cumple la siguiente relación para un vector de campo eléctrico distinto de cero : ^[2] ${\displaystyle {\vec {E}}}$

${\displaystyle \omega ^{2}\mu _{0}\epsilon ({\vec {k}},\omega ){\vec {E}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {k}}){\vec {E}}+({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}){\vec {k}}=0.}$

La dispersión espacial puede dar lugar a fenómenos extraños, como la existencia de múltiples modos en la misma frecuencia y dirección de vector de onda, pero con diferentes magnitudes de vector de onda. ${\displaystyle \epsilon ({\vec {k}},\omega )}$

En las superficies y límites de los cristales cercanos, ya no es válido describir la respuesta del sistema en términos de vectores de onda. Para una descripción completa es necesario volver a una función de respuesta no local completa (sin simetría traslacional), sin embargo, el efecto final a veces se puede describir mediante "condiciones de contorno adicionales" (ABC).

En medios isotrópicos

En materiales que no tienen una estructura cristalina relevante, la dispersión espacial puede ser importante.

Aunque la simetría exige que la permitividad sea isotrópica para un vector de onda cero, esta restricción no se aplica para un vector de onda distinto de cero. La permitividad no isotrópica para un vector de onda distinto de cero conduce a efectos como la actividad óptica en soluciones de moléculas quirales. En materiales isotrópicos sin actividad óptica, el tensor de permitividad se puede descomponer en componentes transversales y longitudinales, que hacen referencia a la respuesta a campos eléctricos perpendiculares o paralelos al vector de onda. ^[1]

Para frecuencias cercanas a una línea de absorción (por ejemplo, un excitón ), la dispersión espacial puede desempeñar un papel importante. ^[1]

Amortiguación Landau

En la física del plasma, una onda puede ser amortiguada sin colisión por partículas en el plasma cuya velocidad coincide con la velocidad de fase de la onda. Esto se representa típicamente como una pérdida espacialmente dispersiva en la permitividad del plasma.

Ambigüedad de permitividad-permeabilidad a frecuencias distintas de cero

En frecuencias distintas de cero, es posible representar todas las magnetizaciones como polarizaciones variables en el tiempo . Además, dado que los campos eléctrico y magnético están directamente relacionados por , la magnetización inducida por un campo magnético puede representarse en cambio como una polarización inducida por el campo eléctrico, aunque con una relación altamente dispersiva. ${\displaystyle \nabla \times E=-\partial B/\partial t}$

Esto significa que, a una frecuencia distinta de cero, cualquier contribución a la permeabilidad μ puede representarse alternativamente mediante una contribución espacialmente dispersiva a la permitividad ε . Los valores de la permeabilidad y la permitividad son diferentes en esta representación alternativa, pero esto no conduce a diferencias observables en cantidades reales como el campo eléctrico, la densidad de flujo magnético, los momentos magnéticos y la corriente.

Como resultado, es más común en frecuencias ópticas establecer μ en la permeabilidad al vacío μ ₀ y solo considerar una permitividad dispersiva ε . ^[1] Existe cierta discusión sobre si esto es apropiado en metamateriales donde se utilizan aproximaciones de medio efectivas para μ , y un debate sobre la realidad de la "permeabilidad negativa" observada en metamateriales de índice negativo . ^[3]

Dispersión espacial en acústica

En acústica , especialmente en sólidos, la dispersión espacial puede ser significativa para longitudes de onda comparables al espaciamiento reticular, lo que normalmente ocurre a frecuencias muy altas ( gigahercios y superiores).

En los sólidos, la diferencia en la propagación de los modos acústicos transversales y longitudinales del sonido se debe a una dispersión espacial en el tensor de elasticidad que relaciona la tensión y la deformación. En el caso de las vibraciones polares ( fonones ópticos ), la distinción entre los modos longitudinales y transversales puede verse como una dispersión espacial en las fuerzas de restauración, a partir del grado de libertad no mecánico "oculto" que es el campo electromagnético.

Muchos efectos de las ondas electromagnéticas de la dispersión espacial tienen un análogo en las ondas acústicas . Por ejemplo, existe una actividad acústica (la rotación del plano de polarización de las ondas sonoras transversales) en los materiales quirales ^[4] , análoga a la actividad óptica.

Referencias

1. LD Landau ; EM Lifshitz ; LP Pitaevskii (1984). Electrodinámica de medios continuos . Vol. 8 (2.ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-7506-2634-7.
2. Agranovich & Ginzburg . Óptica de cristales con dispersión espacial y excitones [2.ª ed.]. 978-3-662-02408-9, 978-3-662-02406-5
3. Agranovich, Vladimir M.; Gartstein, Yu.N. (2006). "REVISIONES DE PROBLEMAS DE ACTUALIDAD: Dispersión espacial y refracción negativa de la luz". Physics-Uspekhi . 49 (10): 1029. Bibcode :2006PhyU...49.1029A. doi :10.1070/PU2006v049n10ABEH006067. S2CID  119408077.
4. Portigal, DL; Burstein, E. (1968). "Actividad acústica y otros efectos de dispersión espacial de primer orden en cristales". Physical Review . 170 (3): 673–678. Bibcode :1968PhRv..170..673P. doi :10.1103/PhysRev.170.673. ISSN  0031-899X.