Soporte de toda

En matemáticas, el corchete de Toda es una operación sobre clases de homotopía de mapas, en particular sobre grupos de homotopía de esferas , llamados así en honor a Hiroshi Toda , quien los definió y los utilizó para calcular grupos de homotopía de esferas en (Toda 1962).

Definición

Véase (Kochman 1990) o (Toda 1962) para obtener más información. Supongamos que

${\displaystyle W{\stackrel {f}{\ \to \ }}X{\stackrel {g}{\ \to \ }}Y{\stackrel {h}{\ \to \ }}Z}$

es una secuencia de aplicaciones entre espacios, tales que las composiciones y son ambas nulas homotópicas . Dado un espacio , denotemos el cono de . Entonces obtenemos una aplicación (no única) ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle h\circ g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F\colon CW\to Y}$

inducida por una homotopía de a un mapa trivial, que cuando se poscompone con da un mapa ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\circ F\colon CW\to Z}$.

De manera similar obtenemos un mapa no único inducido por una homotopía de a un mapa trivial, que cuando se compone con , el cono del mapa , da otro mapa, ${\displaystyle G\colon CX\to Z}$ ${\displaystyle h\circ g}$ ${\displaystyle C_{f}\colon CW\to CX}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle G\circ C_{f}\colon CW\to Z}$.

Al unir estos dos conos en y los mapas de ellos a , obtenemos un mapa ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \langle f,g,h\rangle \colon SW\to Z}$

representando un elemento en el grupo de clases de homotopía de los mapas desde la suspensión hasta , llamado corchete de Toda de , , y . El mapa no está definido de forma única hasta la homotopía, porque hubo alguna elección al elegir los mapas de los conos. Al cambiar estos mapas se cambia el corchete de Toda al agregar elementos de y . ${\displaystyle [SW,Z]}$ ${\displaystyle SW}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \langle f,g,h\rangle }$ ${\displaystyle h[SW,Y]}$ ${\displaystyle [SX,Z]f}$

También existen corchetes superiores de Toda de varios elementos, que se definen cuando desaparecen los corchetes inferiores de Toda adecuados. Esto es paralelo a la teoría de los productos de Massey en cohomología .

El corchete de Toda para grupos de homotopía estables de esferas

La suma directa

${\displaystyle \pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}}$

de los grupos de homotopía estable de esferas es un anillo graduado supercommutativo , donde la multiplicación (llamada producto de composición) se da por la composición de los mapas que la representan, y cualquier elemento de grado distinto de cero es nilpotente (Nishida 1973).

Si f , g y h son elementos de con y , existe un corchete de Toda de estos elementos. El corchete de Toda no es exactamente un elemento de un grupo de homotopía estable, porque solo se define hasta la adición de productos de composición de otros elementos determinados. Hiroshi Toda utilizó el producto de composición y los corchetes de Toda para etiquetar muchos de los elementos de los grupos de homotopía. Cohen (1968) demostró que cada elemento de los grupos de homotopía estables de esferas se puede expresar utilizando productos de composición y corchetes de Toda superiores en términos de ciertos elementos bien conocidos, llamados elementos de Hopf. ${\displaystyle \pi _{\ast }^{S}}$ ${\displaystyle f\cdot g=0}$ ${\displaystyle g\cdot h=0}$ ${\displaystyle \langle f,g,h\rangle }$

El corchete de Toda para categorías trianguladas generales

En el caso de una categoría triangulada general, el corchete de Toda se puede definir de la siguiente manera. Nuevamente, supongamos que

${\displaystyle W{\stackrel {f}{\ \to \ }}X{\stackrel {g}{\ \to \ }}Y{\stackrel {h}{\ \to \ }}Z}$

es una sucesión de morfismos en una categoría triangulada tal que y . Sea f el cono de f para que obtengamos un triángulo exacto ${\displaystyle g\circ f=0}$ ${\displaystyle h\circ g=0}$ ${\displaystyle C_{f}}$

${\displaystyle W{\stackrel {f}{\ \to \ }}X{\stackrel {i}{\ \to \ }}C_{f}{\stackrel {q}{\ \to \ }}W[1]}$

La relación implica que g se factoriza (de manera no única) a través de como ${\displaystyle g\circ f=0}$ ${\displaystyle C_{f}}$

${\displaystyle X{\stackrel {i}{\ \to \ }}C_{f}{\stackrel {a}{\ \to \ }}Y}$

para algunos . Entonces, la relación implica que los factores (no unívocamente) a través de W[1] como ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h\circ a\circ i=h\circ g=0}$ ${\displaystyle h\circ a}$

${\displaystyle C_{f}{\stackrel {q}{\ \to \ }}W[1]{\stackrel {b}{\ \to \ }}Z}$

para algún b . Este b es (una elección de) el corchete Toda en el grupo . ${\displaystyle \langle f,g,h\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (W[1],Z)}$

Teorema de convergencia

Existe un teorema de convergencia originalmente debido a Moss ^[1] que establece que los productos Massey especiales de elementos en la página de la secuencia espectral de Adams contienen un ciclo permanente, lo que significa que tienen un elemento asociado en , suponiendo que los elementos son ciclos permanentes ^{[2] pág. 18-19} . Además, estos productos Massey tienen una elevación a una secuencia espectral de Adams motívica que da un elemento en el corchete de Toda en para elementos que elevan . ${\displaystyle \langle a,b,c\rangle }$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{s}(\mathbb {S} )}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta ,\gamma \rangle }$ ${\displaystyle \pi _{*,*}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle a,b,c}$

Referencias

1. Moss, R. Michael F. (1 de agosto de 1970). "Composiciones secundarias y la secuencia espectral de Adams". Mathematische Zeitschrift . 115 (4): 283–310. doi :10.1007/BF01129978. ISSN  1432-1823. S2CID  122909581.
2. Isaksen, Daniel C.; Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (17 de junio de 2020). "Tallos más estables". arXiv : 2001.04511 [matemáticas.AT].

• Cohen, Joel M. (1968), "La descomposición de la homotopía estable". Annals of Mathematics , Segunda serie, 87 (2): 305–320, doi :10.2307/1970586, JSTOR  1970586, MR  0231377, PMC  224450 , PMID  16591550.
• Kochman, Stanley O. (1990), "Toda brackets", Grupos de homotopía estables de esferas. Un enfoque asistido por ordenador , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1423, Berlín: Springer-Verlag , pp. 12–34, doi :10.1007/BFb0083797, ISBN 978-3-540-52468-7, Sr.  1052407.
• Nishida, Goro (1973), "La nilpotencia de los elementos de los grupos de homotopía estable de esferas", Journal of the Mathematical Society of Japan , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969/jmsj/02540707 , hdl : 2433/220059 , ISSN  0025-5645, MR  0341485.
• Toda, Hiroshi (1962), Métodos de composición en grupos de homotopía de esferas , Annals of Mathematics Studies, vol. 49, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09586-8, Sr.  0143217.