En teoría de juegos , un concepto de solución es una regla formal para predecir cómo se jugará un juego. Estas predicciones se denominan "soluciones" y describen qué estrategias adoptarán los jugadores y, por tanto, el resultado del juego. Los conceptos de solución más utilizados son los conceptos de equilibrio , el más famoso es el equilibrio de Nash .
Muchos conceptos de solución, para muchos juegos, darán como resultado más de una solución. Esto pone en duda cualquiera de las soluciones, por lo que un teórico de juegos puede aplicar un refinamiento para limitar las soluciones. Cada concepto de solución sucesivo que se presenta a continuación mejora a su predecesor al eliminar equilibrios inverosímiles en juegos más ricos.
Sea la clase de todos los juegos y, para cada juego , sea el conjunto de perfiles estratégicos de . Un concepto de solución es un elemento del producto directo , es decir , una función tal que para todos
En este concepto de solución, se supone que los jugadores son racionales y, por lo tanto, las estrategias estrictamente dominadas se eliminan del conjunto de estrategias que podrían utilizarse. Una estrategia está estrictamente dominada cuando hay alguna otra estrategia disponible para el jugador que siempre tiene un beneficio mayor, independientemente de las estrategias que elijan los demás jugadores. (Las estrategias estrictamente dominadas también son importantes en la búsqueda del árbol de juegos minimax ). Por ejemplo, en el dilema de los prisioneros (de un solo período) (que se muestra a continuación), la cooperación está estrictamente dominada por el defecto para ambos jugadores porque cualquiera de los jugadores siempre está mejor jugando con el defecto. , independientemente de lo que haga su oponente.
Un equilibrio de Nash es un perfil de estrategia (un perfil de estrategia especifica una estrategia para cada jugador, por ejemplo, en el juego del dilema del prisionero anterior ( cooperar , desertar ) especifica que el prisionero 1 juega cooperar y el prisionero 2 juega desertar ) en el que cada estrategia jugada por cada El agente (agente i) es la mejor respuesta a cualquier otra estrategia jugada por todos los demás oponentes (agentes j para cada j≠i). Una estrategia de un jugador es la mejor respuesta a la estrategia de otro jugador si no existe otra estrategia que pueda jugarse y que produzca un mayor beneficio en cualquier situación en la que se juegue la estrategia del otro jugador.
En algunos juegos existen múltiples equilibrios de Nash, pero no todos son realistas. En juegos dinámicos, la inducción hacia atrás se puede utilizar para eliminar equilibrios de Nash poco realistas. La inducción hacia atrás supone que los jugadores son racionales y tomarán las mejores decisiones en función de sus expectativas futuras. Esto elimina las amenazas no creíbles, que son amenazas que un jugador no llevaría a cabo si alguna vez se le pidiera que lo hiciera.
Por ejemplo, consideremos un juego dinámico entre una empresa establecida y un entrante potencial a la industria. El operador tradicional tiene un monopolio y quiere mantener su cuota de mercado. Si el entrante ingresa, el titular puede pelear o complacer al entrante. Si el titular se adapta, el entrante entrará y obtendrá ganancias. Si el operador tradicional lucha, bajará sus precios, sacará del negocio al entrante (incurriendo en costos de salida) y dañará sus propias ganancias.
La mejor respuesta para el titular si el entrante ingresa es adaptarse, y la mejor respuesta para el entrante si el titular se adapta es ingresar. Esto da como resultado un equilibrio de Nash. Sin embargo, si el titular decide luchar, la mejor respuesta para el entrante es no participar. Si el entrante no ingresa, no importa lo que decida hacer el titular. Por lo tanto, la lucha puede considerarse la mejor respuesta para el titular si el entrante no ingresa, lo que resulta en otro equilibrio de Nash.
Sin embargo, este segundo equilibrio de Nash puede eliminarse mediante inducción hacia atrás porque depende de una amenaza no creíble del titular. Cuando el titular llega al nodo de decisión donde puede elegir luchar, sería irracional hacerlo porque el entrante ya ha entrado. Por tanto, la inducción hacia atrás elimina este equilibrio de Nash poco realista.
Ver también:
Una generalización de la inducción hacia atrás es la perfección en subjuegos. La inducción hacia atrás supone que todo juego futuro será racional. En los equilibrios perfectos en subjuegos, el juego en cada subjuego es racional (específicamente en un equilibrio de Nash). La inducción hacia atrás sólo se puede utilizar para terminar juegos (finitos) de duración definida y no se puede aplicar a juegos con información imperfecta . En estos casos, se puede utilizar la perfección en subjuegos. El equilibrio de Nash eliminado descrito anteriormente es imperfecto en subjuegos porque no es un equilibrio de Nash del subjuego que comienza en el nodo alcanzado una vez que el participante ha entrado.
A veces, la perfección en los subjuegos no impone una restricción suficientemente grande a los resultados irrazonables. Por ejemplo, dado que los subjuegos no pueden atravesar conjuntos de información , un juego de información imperfecta puede tener solo un subjuego (él mismo) y, por lo tanto, la perfección de los subjuegos no puede usarse para eliminar ningún equilibrio de Nash. Un equilibrio bayesiano perfecto (PBE) es una especificación de las estrategias y creencias de los jugadores sobre qué nodo del conjunto de información ha sido alcanzado durante el juego. Una creencia sobre un nodo de decisión es la probabilidad de que un jugador en particular piense que ese nodo está o estará en juego (en la ruta de equilibrio ). En particular, la intuición del PBE es que especifica estrategias del jugador que son racionales dadas las creencias del jugador que especifica y las creencias que especifica son consistentes con las estrategias que especifica.
En un juego bayesiano, una estrategia determina lo que juega un jugador en cada conjunto de información controlado por ese jugador. El requisito de que las creencias sean consistentes con las estrategias es algo que no especifica la perfección en los subjuegos. Por lo tanto, el PBE es una condición de coherencia en las creencias de los jugadores. Así como en un equilibrio de Nash la estrategia de ningún jugador está estrictamente dominada, en un PBE, para cualquier conjunto de información la estrategia de ningún jugador está estrictamente dominada a partir de ese conjunto de información. Es decir, por cada creencia que el jugador pueda tener en ese conjunto de información, no existe una estrategia que produzca un mayor beneficio esperado para ese jugador. A diferencia de los conceptos de solución anteriores, la estrategia de ningún jugador está estrictamente dominada a partir de cualquier conjunto de información, incluso si está fuera del camino del equilibrio. Por lo tanto, en PBE, los jugadores no pueden amenazar con jugar estrategias que estén estrictamente dominadas a partir de cualquier información que se desvíe del camino del equilibrio.
El bayesiano en el nombre de este concepto de solución alude a que los jugadores actualizan sus creencias según el teorema de Bayes . Calculan probabilidades teniendo en cuenta lo que ya ha ocurrido en el juego.
La inducción hacia adelante se llama así porque así como la inducción hacia atrás supone que el juego futuro será racional, la inducción hacia adelante supone que el juego pasado fue racional. Cuando un jugador no sabe qué tipo es otro jugador (es decir, hay información imperfecta y asimétrica), ese jugador puede formarse una creencia de qué tipo es ese jugador al observar sus acciones pasadas. De ahí la creencia formada por ese jugador de que la probabilidad de que el oponente sea de cierto tipo se basa en que el juego pasado de ese oponente sea racional. Un jugador puede optar por señalar su tipo a través de sus acciones.
Kohlberg y Mertens (1986) introdujeron el concepto de solución de equilibrio estable, un refinamiento que satisface la inducción directa. Se encontró un contraejemplo en el que dicho equilibrio estable no satisfacía la inducción hacia atrás. Para resolver el problema, Jean-François Mertens introdujo lo que los teóricos de juegos ahora llaman concepto de equilibrio estable de Mertens , probablemente el primer concepto de solución que satisface tanto la inducción hacia adelante como hacia atrás.
La inducción directa produce una solución única para el juego de quemar dinero .
