Equilibrio estable de Mertens

Concepto de solución para juegos no cooperativos

En teoría de juegos , la estabilidad de Mertens es un concepto de solución utilizado para predecir el resultado de un juego no cooperativo . Elon Kohlberg y Jean-François Mertens ^[1] propusieron una definición tentativa de estabilidad para juegos con un número finito de jugadores y estrategias. Más tarde, Mertens ^{[2] [3]} propuso una definición más sólida que fue elaborada más a fondo por Srihari Govindan y Mertens. ^[4] Este concepto de solución ahora se llama estabilidad de Mertens o simplemente estabilidad .

Al igual que otros refinamientos del equilibrio de Nash ^[5] utilizados en la teoría de juegos, la estabilidad selecciona subconjuntos del conjunto de equilibrios de Nash que tienen propiedades deseables. La estabilidad invoca criterios más fuertes que otros refinamientos y, por lo tanto, garantiza que se satisfagan más propiedades deseables.

Propiedades deseables de un refinamiento

Los refinamientos a menudo han sido motivados por argumentos de admisibilidad, inducción hacia atrás e inducción hacia adelante. En un juego de dos jugadores, una regla de decisión admisible para un jugador es aquella que no utiliza ninguna estrategia que esté débilmente dominada por otro (ver Dominio estratégico ). La inducción hacia atrás postula que la acción óptima de un jugador en cualquier caso anticipa que sus acciones y las de los demás subsiguientes son óptimas. El refinamiento llamado equilibrio perfecto en subjuegos implementa una versión débil de la inducción hacia atrás, y versiones cada vez más fuertes son equilibrio secuencial , equilibrio perfecto , equilibrio cuasiperfecto y equilibrio propio . La inducción hacia adelante postula que la acción óptima de un jugador en cualquier caso presupone la optimalidad de las acciones pasadas de los demás siempre que esto sea consistente con sus observaciones. La inducción hacia adelante ^[6] se satisface mediante un equilibrio secuencial para el cual la creencia de un jugador en un conjunto de información asigna probabilidad solo a las estrategias óptimas de los demás que permiten que se alcance esa información.

Kohlberg y Mertens enfatizaron además que un concepto de solución debería satisfacer el principio de invariancia , es decir, que no depende de cuál de las muchas representaciones equivalentes de la situación estratégica se utilice como un juego de forma extensiva . Por lo tanto, debería depender únicamente del juego de forma normal reducido obtenido después de la eliminación de estrategias puras que son redundantes porque sus pagos para todos los jugadores pueden ser replicados por una mezcla de otras estrategias puras. Mertens ^{[7] [8]} también enfatizó la importancia del principio de mundos pequeños , según el cual un concepto de solución debería depender únicamente de las propiedades ordinales de las preferencias de los jugadores, y no debería depender de si el juego incluye jugadores extraños cuyas acciones no tienen efecto sobre las estrategias y pagos factibles de los jugadores originales.

Kohlberg y Mertens demostraron mediante ejemplos que no todas estas propiedades pueden obtenerse a partir de un concepto de solución que seleccione equilibrios de Nash individuales. Por lo tanto, propusieron que un concepto de solución debería seleccionar subconjuntos cerrados y conexos del conjunto de equilibrios de Nash. ^[9]

Propiedades de los conjuntos estables

• Admisibilidad y Perfección: Cada equilibrio en un conjunto estable es perfecto y, por lo tanto, admisible.
• Inducción hacia atrás e inducción hacia adelante: un conjunto estable incluye un equilibrio adecuado de la forma normal del juego que induce un equilibrio cuasi perfecto y, por lo tanto, secuencial en cada juego de forma extensiva con recuperación perfecta que tenga la misma forma normal. Un subconjunto de un conjunto estable sobrevive a la eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas y estrategias que son respuestas inferiores en cada equilibrio del conjunto.
• Invariancia y mundos pequeños: Los conjuntos estables de un juego son las proyecciones de los conjuntos estables de cualquier juego más grande en el que esté inserto, preservando al mismo tiempo las estrategias y los pagos factibles de los jugadores originales. ^[10]
• Descomposición y división de jugadores. Los conjuntos estables del producto de dos juegos independientes son los productos de sus conjuntos estables. Los conjuntos estables no se ven afectados por la división de un jugador en agentes, de modo que ninguna ruta a través del árbol de juego incluya acciones de dos agentes.

En el caso de juegos de dos jugadores con recuerdo perfecto y pagos genéricos, la estabilidad es equivalente a solo tres de estas propiedades: un conjunto estable utiliza solo estrategias no dominadas, incluye un equilibrio cuasi perfecto y es inmune a la incorporación a un juego más grande. ^[11]

Definición de un conjunto estable

Un conjunto estable se define matemáticamente por la esencialidad del mapa de proyección de un entorno cerrado y conectado en el gráfico de los equilibrios de Nash sobre el espacio de juegos perturbados obtenidos al perturbar las estrategias de los jugadores hacia estrategias completamente mixtas. Esta definición requiere más que cada juego cercano que tenga un equilibrio cercano. La esencialidad requiere además que no haya deformación de los mapas de proyección hacia el límite, lo que garantiza que las perturbaciones del problema de punto fijo que define los equilibrios de Nash tengan soluciones cercanas. Esto es aparentemente necesario para obtener todas las propiedades deseables enumeradas anteriormente.

Mertens proporcionó varias definiciones formales dependiendo del módulo de coeficiente utilizado para homología o cohomología .

Una definición formal requiere alguna notación. Para un juego dado, sea producto de los símplices de las estrategias mixtas de los jugadores. Para cada , sea y sea su límite topológico . Para sea la probabilidad mínima de cualquier estrategia pura. Para cualquier defina el juego perturbado como el juego donde el conjunto de estrategias de cada jugador es el mismo que en , pero donde la recompensa de un perfil de estrategias es la recompensa en del perfil . Digamos que es un equilibrio perturbado de si es un equilibrio de . Sea el gráfico de la correspondencia de equilibrio perturbado sobre , es decir, el gráfico es el conjunto de esos pares tales que es un equilibrio perturbado de . Para , es el equilibrio correspondiente de . Denote por la función de proyección natural de a . Para , sea , y para sea . Finalmente, se refiere a la cohomología de Čech con coeficientes enteros. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 0<\delta \leq 1}$ ${\displaystyle P_{\delta }=\{\,\epsilon \tau \mid 0\leq \epsilon \leq \delta ,\tau \in \Sigma \,\}}$ ${\displaystyle \partial P_{\delta }}$ ${\displaystyle \eta \in P_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta \in P_{1}}$ ${\displaystyle G(\eta )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma =(1-{\bar {\eta }})\tau +\eta }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G(\eta )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G(\eta )}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle (\eta ,\sigma )\in P_{1}\times \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G(\eta )}$ ${\displaystyle (\eta ,\sigma )\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \tau (\eta ,\sigma )\equiv (\sigma -\eta )/(1-{\bar {\eta }})}$ ${\displaystyle G(\eta )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle E\subseteq {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle E_{0}=\{\,(0,\sigma )\in E\,\}}$ ${\displaystyle 0<\delta \leq 1}$ ${\displaystyle (E_{\delta },\partial E_{\delta })=p^{-1}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\cap E}$ ${\displaystyle {\check {H}}}$

La siguiente es una versión de la definición más inclusiva de Mertens, llamada *-estabilidad.

Definición de un conjunto *-estable :es un conjunto *-estable si para algún subconjunto cerradodecontiene las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle S\subseteq \Sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle E_{0}=\{\,0\,\}\times S}$

• Conectividad : Para cada vecindad de en , el conjunto tiene un componente conexo cuyo cierre es una vecindad de en . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V\setminus \partial E_{1}}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E}$
• Esencialidad cohomológica : es distinta de cero para algunos . ${\displaystyle p^{*}:{\check {H}}^{*}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\to {\check {H}}^{*}(E_{\delta },\partial E_{\delta })}$ ${\displaystyle \delta >0}$

Si la esencialidad en cohomología u homología se relaja a la homotopía , entonces se obtiene una definición más débil, que difiere principalmente en una forma más débil de la propiedad de descomposición. ^[12]

Referencias

1. Kohlberg, Elon; Mertens, Jean-François (1986). "Sobre la estabilidad estratégica de los equilibrios" (PDF) . Econometrica . 54 (5): 1003–1037. CiteSeerX  10.1.1.295.4592 . doi :10.2307/1912320. JSTOR  1912320.
2. Mertens, Jean-François (1989). "Equilibrios estables: una reformulación, parte I. Definición y propiedades básicas". Matemáticas de la investigación de operaciones . 14 (4): 575–625. doi :10.1287/moor.14.4.575. JSTOR  3689732.
3. Mertens, Jean-François (1991). "Equilibrios estables: una reformulación, parte II. Discusión de la definición y resultados adicionales". Matemáticas de la investigación de operaciones . 16 (4): 694–753. doi :10.1287/moor.16.4.694. JSTOR  3689907.
4. Govindan, Srihari; Mertens, Jean-François (2004). "Una definición equivalente de equilibrios estables". Revista internacional de teoría de juegos . 32 (3): 339–357. doi :10.1007/s001820400165. hdl :10.1007/s001820400165.
5. Govindan, Srihari y Robert Wilson, 2008. "Refinements of Nash Equilibrium", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2.ª edición. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de junio de 2010. Consultado el 12 de febrero de 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
6. Govindan, Srihari; Wilson, Robert (2009). "Sobre la inducción hacia delante". Econometrica . 77 (1): 1–28. doi :10.3982/ECTA6956.
7. Mertens, Jean-François (2003). "Ordinalidad en juegos no cooperativos". Revista internacional de teoría de juegos . 32 : 387–430. doi :10.1007/s001820400166.
8. Mertens, Jean-François (1992). "El axioma de mundos pequeños para equilibrios estables". Juegos y comportamiento económico . 4 (4): 553–564. doi :10.1016/0899-8256(92)90036-R.
9. El requisito de que el conjunto esté conectado excluye el refinamiento trivial que selecciona todos los equilibrios. Si sólo se selecciona un único subconjunto (posiblemente no conectado), entonces sólo el refinamiento trivial satisface las condiciones invocadas por Norde, Henk; Potters, Jos; Reijnierse, Hans; Vermeulen, Dries (1996). "Selección y consistencia del equilibrio". Juegos y comportamiento económico . 12 (2): 219–225. doi :10.1006/game.1996.0014. hdl : 2066/27895 .
10. Véase el Apéndice D de Govindan & Wilson (2012)
11. Govindan, Srihari; Wilson, Robert (2012). "Teoría axiomática de la selección de equilibrio para juegos genéricos de dos jugadores" (PDF) . Econometrica . 80 (4): 1639–1699. doi :10.3982/ECTA9579.
12. Govindan, Srihari; Wilson, Robert (2008). "Equilibrios metaestables". Matemáticas de la investigación de operaciones . 33 (4): 787–820. doi :10.1287/moor.1080.0336.