Jean-François Mertens (11 de marzo de 1946 - 17 de julio de 2012) fue un teórico de juegos y economista matemático belga. [1]
Mertens contribuyó a la teoría económica en lo que respecta a los juegos de mercado de cartera de órdenes, los juegos cooperativos, los juegos no cooperativos, los juegos repetidos, los modelos epistémicos de comportamiento estratégico y los refinamientos del equilibrio de Nash (véase el concepto de solución ). En la teoría de los juegos cooperativos contribuyó a los conceptos de solución denominados el núcleo y el valor de Shapley .
En lo que respecta a los juegos repetidos y los juegos estocásticos , los artículos de investigación de Mertens de 1982 [2] y 1986 [3] , y su investigación de 1994 [4] en coautoría con Sylvain Sorin y Shmuel Zamir, son compendios de resultados sobre este tema, incluidas sus propias contribuciones. Mertens también realizó contribuciones a la teoría de la probabilidad [5] y publicó artículos sobre topología elemental. [6] [7]
Mertens y Zamir [8] [9] implementaron la propuesta de John Harsanyi de modelar juegos con información incompleta al suponer que cada jugador se caracteriza por un tipo conocido en privado que describe sus estrategias y pagos factibles, así como una distribución de probabilidad sobre los tipos de otros jugadores. Construyeron un espacio universal de tipos en el que, sujeto a condiciones de consistencia especificadas, cada tipo corresponde a la jerarquía infinita de sus creencias probabilísticas sobre las creencias probabilísticas de los demás. También demostraron que cualquier subespacio puede ser aproximado de manera arbitrariamente cercana por un subespacio finito, que es la táctica habitual en las aplicaciones. [10]
Los juegos repetidos con información incompleta fueron iniciados por Aumann y Maschler. [11] [12] Dos de las contribuciones de Jean-François Mertens a este campo son las extensiones de juegos repetidos de suma cero para dos personas con información incompleta en ambos lados, tanto para (1) el tipo de información disponible para los jugadores como para (2) la estructura de señalización. [13]
En esas configuraciones, Jean-François Mertens proporcionó una extensión de la caracterización del valor minmax y maxmin para el juego infinito en el caso dependiente con señales independientes del estado. [14] Además, con Shmuel Zamir, [15] Jean-François Mertens mostró la existencia de un valor límite. Tal valor puede considerarse como el límite de los valores de los juegos de etapa, a medida que tiende al infinito, o el límite de los valores de los juegos -descontados, a medida que los agentes se vuelven más pacientes y .
Un componente fundamental del enfoque de Mertens y Zamir es la construcción de un operador, ahora simplemente denominado operador MZ en el campo en su honor. En tiempo continuo ( juegos diferenciales con información incompleta), el operador MZ se convierte en un operador infinitesimal en el núcleo de la teoría de tales juegos. [16] [17] [18] Solución única de un par de ecuaciones funcionales, Mertens y Zamir demostraron que el valor límite puede ser una función trascendental a diferencia del maxmin o el minmax (valor en el caso de información completa). Mertens también encontró la tasa exacta de convergencia en el caso del juego con información incompleta en un lado y estructura de señalización general. [19] Un análisis detallado de la velocidad de convergencia del valor del juego de n etapas (finitamente repetido) a su límite tiene vínculos profundos con el teorema del límite central y la ley normal, así como la variación máxima de las martingalas acotadas . [20] [21] Abordando el estudio del difícil caso de los juegos con señales dependientes del estado y sin estructura recursiva, Mertens y Zamir introdujeron nuevas herramientas en la introducción basada en un juego auxiliar, reduciendo el conjunto de estrategias a un núcleo que es 'estadísticamente suficiente'. [22] [23]
En conjunto, las contribuciones de Jean-François Mertens con Zamir (y también con Sorin) proporcionan la base para una teoría general de los juegos repetidos de suma cero para dos personas que abarca aspectos de información estocástica e incompleta y donde se utilizan conceptos de amplia relevancia como, por ejemplo, reputación, límites en niveles racionales para los pagos, pero también herramientas como el lema de división, la señalización y la accesibilidad. Si bien en muchos sentidos el trabajo de Mertens aquí se remonta a las raíces originales de von Neumann de la teoría de juegos con un sistema de suma cero para dos personas, la vitalidad y las innovaciones con una aplicación más amplia han sido omnipresentes.
Los juegos estocásticos fueron introducidos por Lloyd Shapley en 1953. [24] El primer artículo estudió el juego estocástico descontado de suma cero para dos personas con un número finito de estados y acciones y demostró la existencia de un valor y estrategias óptimas estacionarias. El estudio del caso no descontado evolucionó en las siguientes tres décadas, con soluciones de casos especiales por parte de Blackwell y Ferguson en 1968 [25] y Kohlberg en 1974. La existencia de un valor no descontado en un sentido muy fuerte, tanto un valor uniforme como un valor promedio límite, fue probada en 1981 por Jean-François Mertens y Abraham Neyman. [26] El estudio de la suma no cero con un estado general y espacios de acción atrajo mucha atención, y Mertens y Parthasarathy [27] probaron un resultado de existencia general bajo la condición de que las transiciones, como función del estado y las acciones, sean norma continua en las acciones.
Mertens tuvo la idea de utilizar economías competitivas lineales como un libro de órdenes (comercio) para modelar órdenes limitadas y generalizar subastas dobles a una configuración multivariada. [28] Los precios relativos aceptables de los jugadores se transmiten por sus preferencias lineales, el dinero puede ser uno de los bienes y está bien que los agentes tengan una utilidad marginal positiva para el dinero en este caso (después de todo, los agentes son realmente solo órdenes). De hecho, este es el caso para la mayoría de las órdenes en la práctica. Más de una orden (y agente de órdenes correspondiente) puede provenir del mismo agente real. En equilibrio, el bien vendido debe haber sido a un precio relativo en comparación con el bien comprado no menor que el implícito por la función de utilidad. Los bienes llevados al mercado (cantidades en la orden) se transmiten por dotaciones iniciales. Las órdenes limitadas se representan de la siguiente manera: el agente de órdenes trae un bien al mercado y tiene utilidades marginales distintas de cero en ese bien y en otro (dinero o numerario). Una orden de venta en el mercado tendrá una utilidad cero para el bien vendido en el mercado y positiva para el dinero o el numerario. Mertens despeja las órdenes creando un motor de emparejamiento mediante el uso del equilibrio competitivo, a pesar de que se violan las condiciones de interioridad más habituales para la economía lineal auxiliar. El mecanismo de Mertens proporciona una generalización de los puestos de negociación de Shapley-Shubik y tiene el potencial de una implementación en la vida real con órdenes limitadas en todos los mercados en lugar de con un solo especialista en un mercado.
La fórmula diagonal en la teoría de los juegos cooperativos no atómicos atribuye elegantemente el valor de Shapley de cada jugador infinitesimal como su contribución marginal al valor de una muestra perfecta de la población de jugadores cuando se promedia sobre todos los tamaños de muestra posibles. Tal contribución marginal se ha expresado más fácilmente en forma de una derivada, lo que conduce a la fórmula diagonal formulada por Aumann y Shapley. Esta es la razón histórica por la que originalmente se requirieron algunas condiciones de diferenciabilidad para definir el valor de Shapley de los juegos cooperativos no atómicos. Pero primero intercambiando el orden de tomar el "promedio sobre todos los tamaños de muestra posibles" y tomando tal derivada, Jean-François Mertens usa el efecto suavizante de tal proceso de promediado para extender la aplicabilidad de la fórmula diagonal. [29] Este truco por sí solo funciona bien para los juegos mayoritarios (representados por una función escalonada aplicada sobre el porcentaje de población en la coalición). Jean-François Mertens, que explota aún más esta idea de conmutación de tomar promedios antes de tomar la derivada, analiza las transformaciones invariantes y toma promedios sobre ellas antes de tomar la derivada. De este modo, Mertens extiende la fórmula diagonal a un espacio de juegos mucho más grande, definiendo al mismo tiempo un valor de Shapley. [30] [31]
Los conceptos de solución que son refinamientos [32] del equilibrio de Nash han sido motivados principalmente por argumentos a favor de la inducción hacia atrás y la inducción hacia adelante. La inducción hacia atrás postula que la acción óptima de un jugador ahora anticipa la optimalidad de sus acciones futuras y las de los demás. El refinamiento llamado equilibrio perfecto en subjuegos implementa una versión débil de la inducción hacia atrás, y versiones cada vez más fuertes son el equilibrio secuencial , el equilibrio perfecto , el equilibrio cuasiperfecto y el equilibrio propio , donde los últimos tres se obtienen como límites de estrategias perturbadas. La inducción hacia adelante postula que la acción óptima de un jugador ahora presupone la optimalidad de las acciones pasadas de los demás siempre que esto sea consistente con sus observaciones. La inducción hacia adelante [33] se satisface mediante un equilibrio secuencial para el cual la creencia de un jugador en un conjunto de información asigna probabilidad solo a las estrategias óptimas de los demás que permiten que se alcance esa información. En particular, dado que los equilibrios de Nash completamente mixtos son secuenciales, dichos equilibrios, cuando existen, satisfacen tanto la inducción hacia adelante como la inducción hacia atrás. En su trabajo, Mertens logra por primera vez seleccionar equilibrios de Nash que satisfacen tanto la inducción hacia adelante como hacia atrás. El método consiste en dejar que dicha característica se herede de los juegos perturbados que se ven obligados a tener estrategias completamente mixtas, y el objetivo solo se logra con equilibrios estables de Mertens , no con los equilibrios de Kohlberg Mertens más simples.
Elon Kohlberg y Mertens [34] enfatizaron que un concepto de solución debería ser consistente con una regla de decisión admisible . Además, debería satisfacer el principio de invariancia de que no debería depender de cuál de las muchas representaciones equivalentes de la situación estratégica se utiliza como un juego de forma extensiva . En particular, debería depender solo de la forma normal reducida del juego obtenida después de la eliminación de estrategias puras que son redundantes porque sus pagos para todos los jugadores pueden replicarse mediante una mezcla de otras estrategias puras. Mertens [35] [36] enfatizó también la importancia del principio de mundos pequeños de que un concepto de solución debería depender solo de las propiedades ordinales de las preferencias de los jugadores, y no debería depender de si el juego incluye jugadores extraños cuyas acciones no tienen efecto sobre las estrategias y pagos factibles de los jugadores originales.
Kohlberg y Mertens definieron tentativamente un concepto de solución con valores de conjunto llamado estabilidad para juegos con números finitos de estrategias puras que satisface la admisibilidad, la invariancia y la inducción hacia adelante, pero un contraejemplo mostró que no necesita satisfacer la inducción hacia atrás; es decir, el conjunto podría no incluir un equilibrio secuencial. Posteriormente, Mertens [37] [38] definió un refinamiento, también llamado estabilidad y ahora a menudo llamado un conjunto de equilibrios estables de Mertens , que tiene varias propiedades deseables:
En el caso de juegos de dos jugadores con recuerdo perfecto y pagos genéricos, la estabilidad es equivalente a sólo tres de estas propiedades: un conjunto estable utiliza sólo estrategias no dominadas, incluye un equilibrio cuasi perfecto y es inmune a la incorporación en un juego más grande. [39]
Un conjunto estable se define matemáticamente (en breve) por la esencialidad del mapa de proyección de un entorno cerrado y conectado en el gráfico de los equilibrios de Nash sobre el espacio de juegos perturbados obtenidos al perturbar las estrategias de los jugadores hacia estrategias completamente mixtas. Esta definición implica más que la propiedad de que cada juego cercano tiene un equilibrio cercano. La esencialidad requiere además que no haya deformación de los mapas de proyección hacia el límite, lo que garantiza que las perturbaciones del problema de punto fijo que define los equilibrios de Nash tengan soluciones cercanas. Esto es aparentemente necesario para obtener todas las propiedades deseables enumeradas anteriormente.
Una función de bienestar social (SWF) mapea perfiles de preferencias individuales a preferencias sociales sobre un conjunto fijo de alternativas. En un artículo seminal Arrow (1950) [40] mostró el famoso "Teorema de Imposibilidad" , es decir, no existe una SWF que satisfaga un sistema muy mínimo de axiomas: Dominio Irrestricto , Independencia de Alternativas Irrelevantes , el criterio de Pareto y No-dictadura . Una amplia literatura documenta varias formas de relajar los axiomas de Arrow para obtener resultados de posibilidad. El Utilitarismo Relativo (UR) (Dhillon y Mertens, 1999) [41] es un SWF que consiste en normalizar utilidades individuales entre 0 y 1 y sumarlas, y es un resultado de "posibilidad" que se deriva de un sistema de axiomas que son muy cercanos a los originales de Arrow pero modificados para el espacio de preferencias sobre loterías. A diferencia del Utilitarismo clásico, el UR no supone utilidad cardinal o comparabilidad interpersonal. Partiendo de las preferencias individuales sobre las loterías, que se supone que satisfacen los axiomas de von-Neumann-Morgenstern (o equivalentes), el sistema de axiomas fija de forma única las comparaciones interpersonales. El teorema puede interpretarse como una base axiomática para las comparaciones interpersonales "correctas", un problema que ha afectado a la teoría de la elección social durante mucho tiempo. Los axiomas son:
El teorema principal muestra que RU satisface todos los axiomas y si el número de individuos es mayor que tres, el número de candidatos es mayor que 5, entonces cualquier SWF que satisfaga los axiomas anteriores es equivalente a RU, siempre que existan al menos 2 individuos que no tengan exactamente las mismas o exactamente las preferencias opuestas.
El utilitarismo relativo [41] puede servir para racionalizar el uso del 2% como una tasa de descuento social intergeneracionalmente justa para el análisis de costo-beneficio . Mertens y Rubinchik [42] muestran que una función de bienestar invariante al cambio definida en un espacio rico de políticas (temporales), si es diferenciable, tiene como derivada una suma descontada de la política (cambio), con una tasa de descuento fija, es decir, la tasa de descuento social inducida. (La invariancia al cambio requiere una función evaluada en una política cambiada para devolver una transformación afín del valor de la política original, mientras que los coeficientes dependen solo del cambio en el tiempo). En un modelo de generaciones superpuestas con crecimiento exógeno (siendo el tiempo toda la línea real), la función utilitaria relativa es invariante al cambio cuando se evalúa en políticas (temporales pequeñas) alrededor de un equilibrio de crecimiento equilibrado (con el stock de capital creciendo exponencialmente). Cuando las políticas se representan como cambios en las dotaciones de los individuos (transferencias o impuestos), y las utilidades de todas las generaciones se ponderan por igual, la tasa de descuento social inducida por el utilitarismo relativo es la tasa de crecimiento del PIB per cápita (2% en los EE.UU. [43] ). Esto también es coherente con las prácticas actuales descritas en la Circular A-4 de la Oficina de Administración y Presupuesto de los EE.UU., que establece:
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