Mano temblorosa equilibrio perfecto

Variante del equilibrio de Nash en la teoría de juegos

En teoría de juegos , el equilibrio perfecto de la mano temblorosa es un tipo de refinamiento del equilibrio de Nash que fue propuesto por primera vez por Reinhard Selten . ^[1] Un equilibrio perfecto con mano temblorosa es un equilibrio que tiene en cuenta la posibilidad de un juego fuera del equilibrio al suponer que los jugadores, a través de un "desliz de la mano" o temblor, pueden elegir estrategias no deseadas , aunque con una probabilidad insignificante. .

Definición

Primero defina un juego perturbado . Un juego perturbado es una copia de un juego base, con la restricción de que sólo se permiten jugar estrategias totalmente mixtas . Una estrategia totalmente mixta es una estrategia mixta en la que cada estrategia (tanto pura como mixta) se juega con una probabilidad distinta de cero. Estas son las "manos temblorosas" de los jugadores; a veces utilizan una estrategia diferente a la que pretendían utilizar. Luego defina un conjunto de estrategias S (en un juego base) como mano temblorosa perfecta si hay una secuencia de juegos perturbados que convergen al juego base en el que hay una serie de equilibrios de Nash que convergen a S.

Nota: Todos los equilibrios de Nash completamente mixtos son perfectos.

Nota 2: La extensión de estrategia mixta de cualquier juego finito de forma normal tiene al menos un equilibrio perfecto. ^[2]

Ejemplo

El juego representado en la siguiente matriz de forma normal tiene dos equilibrios de Nash de estrategia pura , a saber, y . Sin embargo, sólo la mano temblorosa es perfecta. ${\displaystyle \langle {\text{Up}},{\text{Left}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle {\text{Down}},{\text{Right}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

Supongamos que el jugador 1 (el jugador de la fila) está jugando una estrategia mixta , por . ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

El pago esperado del jugador 2 al jugar L es:

${\displaystyle 1(1-\varepsilon )+2\varepsilon =1+\varepsilon }$

El beneficio esperado del jugador 2 al jugar la estrategia R es:

${\displaystyle 0(1-\varepsilon )+2\varepsilon =2\varepsilon }$

Para valores pequeños de , el jugador 2 maximiza su pago esperado colocando un peso mínimo en R y un peso máximo en L. Por simetría, el jugador 1 debe colocar un peso mínimo en D y un peso máximo en U si el jugador 2 está jugando la estrategia mixta . Por lo tanto, la mano temblorosa es perfecta. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

Sin embargo, un análisis similar falla para el perfil de estrategia . ${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

Supongamos que el jugador 2 está jugando una estrategia mixta . El beneficio esperado del jugador 1 al jugar con U es: ${\displaystyle (\varepsilon ,1-\varepsilon )}$

${\displaystyle 1\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-\varepsilon }$

El pago esperado del jugador 1 al jugar D es:

${\displaystyle 0(\varepsilon )+2(1-\varepsilon )=2-2\varepsilon }$

Para todos los valores positivos de , el jugador 1 maximiza su pago esperado colocando un peso mínimo en D y un peso máximo en U. Por lo tanto, no es una mano temblorosa perfecta porque el jugador 2 (y, por simetría, el jugador 1) maximiza su pago esperado desviándose más a menudo a L si hay una pequeña posibilidad de error en el comportamiento del jugador 1. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

Equilibrios de juegos de dos jugadores.

Para juegos 2x2, el conjunto de equilibrios perfectos de la mano temblorosa coincide con el conjunto de equilibrios que consisten en dos estrategias no dominadas. En el ejemplo anterior, vemos que el equilibrio <Abajo,Derecha> es imperfecto, ya que la izquierda (débilmente) domina a la derecha para el jugador 2 y arriba (débilmente) domina a abajo para el jugador 1. ^[3]

Equilibrios de juegos en forma extensiva

Hay dos formas posibles de extender la definición de perfección de mano temblorosa a juegos de forma extensiva .

• Se puede interpretar la forma extensiva como una mera descripción concisa de un juego en forma normal y aplicar los conceptos descritos anteriormente a este juego en forma normal. En los juegos perturbados resultantes, cada estrategia del juego en forma extensiva debe jugarse con probabilidad distinta de cero. Esto lleva a la noción de un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal .
• Alternativamente, se puede recordar que los temblores deben interpretarse como errores de modelado cometidos por los jugadores con una probabilidad insignificante cuando se juega. Un error de este tipo probablemente consistiría en que un jugador hiciera otro movimiento distinto al previsto en algún momento durante el juego. Difícilmente consistiría en que el jugador eligiera una estrategia diferente a la prevista, es decir, un plan equivocado para jugar todo el juego. Para captar esto, se puede definir el juego perturbado exigiendo que cada movimiento en cada conjunto de información se realice con una probabilidad distinta de cero. Los límites de equilibrio de juegos perturbados en los que las probabilidades de temblor llegan a cero se denominan equilibrios perfectos de mano temblorosa de forma extensiva .

Las nociones de equilibrio perfecto en forma normal y mano temblorosa en forma extensiva son incomparables, es decir, un equilibrio de un juego en forma extensiva puede ser mano temblorosa en forma normal perfecta pero no mano temblorosa en forma extensiva perfecta y viceversa. Como ejemplo extremo de esto, Jean-François Mertens ha dado un ejemplo de un juego en forma extensiva para dos jugadores en el que no es admisible ningún equilibrio perfecto con mano temblorosa en forma extensiva, es decir, los conjuntos de mano temblorosa en forma extensiva y normal son admisibles. Los equilibrios de este juego son disjuntos. ^{[ cita necesaria ]}

Un equilibrio perfecto de mano temblorosa de forma extensiva también es un equilibrio secuencial . Un equilibrio perfecto con mano temblorosa en forma normal de un juego en forma extensiva puede ser secuencial, pero no lo es necesariamente. De hecho, un equilibrio perfecto con mano temblorosa en forma normal ni siquiera tiene que ser perfecto en subjuegos .

Problemas con la perfección

Myerson (1978) ^[4] señaló que la perfección es sensible a la adición de una estrategia estrictamente dominada y, en su lugar, propuso otro refinamiento, conocido como equilibrio adecuado .

Referencias

1. Selten, R. (1975). "Un reexamen del concepto de perfección para los puntos de equilibrio en juegos extensivos". Revista Internacional de Teoría de Juegos . 4 (1): 25–55. doi :10.1007/BF01766400.
2. Selten, R.: Reexamen del concepto de perfección para puntos de equilibrio en juegos extensivos. En t. J. Teoría de juegos4, 1975, 25–55.
3. Van Damme, Eric (1987). Estabilidad y perfección de los equilibrios de Nash . doi :10.1007/978-3-642-96978-2. ISBN 978-3-642-96980-5.
4. Myerson, Roger B. "Refinamientos del concepto de equilibrio de Nash". Revista internacional de teoría de juegos 7.2 (1978): 73-80.

Otras lecturas

• Osborne, Martín J.; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos. Prensa del MIT. págs. 246-254. ISBN 9780262650403.