Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas de los espaciotiempos que resultan de la resolución de las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) de la relatividad general . La resolución de las ecuaciones de campo da como resultado una variedad de Lorentz . Las soluciones se clasifican en líneas generales como exactas o no exactas .

Las ecuaciones de campo de Einstein son

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\,=\kappa T_{\mu \nu },}$

donde es el tensor de Einstein , es la constante cosmológica (a veces tomada como cero para simplificar), es el tensor métrico , es una constante y es el tensor de tensión-energía . ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan el tensor de Einstein con el tensor de tensión-energía, que representa la distribución de energía, momento y tensión en la variedad espacio-temporal. El tensor de Einstein se construye a partir del tensor métrico y sus derivadas parciales; por lo tanto, dado el tensor de tensión-energía, las ecuaciones de campo de Einstein son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales en las que se puede resolver el tensor métrico.

Cuando sea apropiado, este artículo utilizará la notación de índice abstracto .

Resolviendo las ecuaciones

Es importante darse cuenta de que las ecuaciones de campo de Einstein por sí solas no son suficientes para determinar la evolución de un sistema gravitacional en muchos casos. Dependen del tensor de tensión-energía , que depende de la dinámica de la materia y la energía (como las trayectorias de partículas en movimiento), que a su vez depende del campo gravitacional. Si uno solo está interesado en el límite de campo débil de la teoría, la dinámica de la materia se puede calcular utilizando métodos de relatividad especial y/o leyes de gravedad newtonianas y luego el tensor de tensión-energía resultante se puede introducir en las ecuaciones de campo de Einstein. Pero si se requiere la solución exacta o una solución que describa campos fuertes, la evolución de la métrica y el tensor de tensión-energía se deben resolver juntos.

Para obtener soluciones, las ecuaciones relevantes son las EFE citadas anteriormente (en cualquier forma) más la ecuación de continuidad (para determinar la evolución del tensor de tensión-energía):

${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}\,=0\,.}$

Esto claramente no es suficiente, ya que sólo hay 14 ecuaciones (10 de las ecuaciones de campo y 4 de la ecuación de continuidad) para 20 incógnitas (10 componentes métricos y 10 componentes tensoriales de tensión-energía). Faltan las ecuaciones de estado . En el caso más general, es fácil ver que se requieren al menos 6 ecuaciones más, posiblemente más si hay grados de libertad internos (como la temperatura) que pueden variar a lo largo del espacio-tiempo.

En la práctica, suele ser posible simplificar el problema sustituyendo el conjunto completo de ecuaciones de estado por una aproximación simple. Algunas aproximaciones habituales son:

• Vacío :

${\displaystyle T_{ab}\,=0}$

• Fluido perfecto :

${\displaystyle T_{ab}\,=(\rho +p)u_{a}u_{b}+pg_{ab}}$dónde ${\displaystyle u^{a}u_{a}=-1}$

Aquí está la densidad de masa-energía medida en un marco en co-movimiento momentáneo, es el campo vectorial de 4 velocidades del fluido y es la presión. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u_{a}}$ ${\displaystyle p}$

• Polvo no interactuante (un caso especial de fluido perfecto):

${\displaystyle T_{ab}\,=\rho u_{a}u_{b}}$

Para que un fluido sea perfecto, se debe agregar otra ecuación de estado que relacione la densidad y la presión . Esta ecuación dependerá a menudo de la temperatura, por lo que se requiere una ecuación de transferencia de calor o el postulado de que la transferencia de calor puede ignorarse. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$

A continuación, observe que sólo 10 de las 14 ecuaciones originales son independientes, porque la ecuación de continuidad es una consecuencia de las ecuaciones de Einstein. Esto refleja el hecho de que el sistema es invariante de norma (en general, en ausencia de cierta simetría, cualquier elección de una red de coordenadas curvilíneas en el mismo sistema correspondería a una solución numéricamente diferente). Se necesita una "fijación de norma", es decir, necesitamos imponer 4 restricciones (arbitrarias) en el sistema de coordenadas para obtener resultados inequívocos. Estas restricciones se conocen como condiciones de coordenadas . ${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$

Una opción popular de calibre es el llamado "calibre De Donder", también conocido como calibre de condición armónica o calibre armónico.

${\displaystyle g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }=0\,.}$

En relatividad numérica , el calibre preferido es la denominada "descomposición 3+1", basada en el formalismo ADM . En esta descomposición, la métrica se escribe en la forma

${\displaystyle ds^{2}\,=(-N+N^{i}N^{j}\gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}\gamma _{ij}dtdx^{j}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$, dónde ${\displaystyle i,j=1\dots 3\,.}$

${\displaystyle N}$y son funciones de coordenadas espaciotemporales y pueden elegirse arbitrariamente en cada punto. Los restantes grados físicos de libertad están contenidos en , que representa la métrica de Riemann en 3-hipersuperficies con constante . Por ejemplo, una elección ingenua de , , correspondería a un llamado sistema de coordenadas sincrónico : uno donde la coordenada t coincide con el tiempo propio para cualquier observador comóvil (partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria fija ). ${\displaystyle N^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N_{i}=0}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Una vez que se han elegido las ecuaciones de estado y se ha fijado el calibre, se puede resolver el conjunto completo de ecuaciones. Desafortunadamente, incluso en el caso más simple del campo gravitacional en el vacío (tensor de tensión-energía que desaparece), el problema es demasiado complejo para poder resolverlo con exactitud. Para obtener resultados físicos, podemos recurrir a métodos numéricos , intentar encontrar soluciones exactas imponiendo simetrías o intentar enfoques intermedios como los métodos de perturbación o las aproximaciones lineales del tensor de Einstein .

Soluciones exactas

Las soluciones exactas son métricas de Lorentz que se ajustan a un tensor de tensión-energía físicamente realista y que se obtienen resolviendo la EFE exactamente en forma cerrada .

Referencia externa

Artículo de Scholarpedia sobre el tema escrito por Malcolm MacCallum

Soluciones no exactas

Las soluciones que no son exactas se denominan soluciones no exactas . Dichas soluciones surgen principalmente debido a la dificultad de resolver la EFE en forma cerrada y a menudo toman la forma de aproximaciones a sistemas ideales. Muchas soluciones no exactas pueden estar desprovistas de contenido físico, pero sirven como contraejemplos útiles para conjeturas teóricas.

Aplicaciones

Existen razones tanto prácticas como teóricas para estudiar soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein.

Desde un punto de vista puramente matemático, resulta interesante conocer el conjunto de soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. Algunas de estas soluciones están parametrizadas por uno o más parámetros. Desde un punto de vista físico, conocer las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein permite modelar con gran precisión fenómenos astrofísicos, incluidos los agujeros negros, las estrellas de neutrones y los sistemas estelares. Se pueden hacer predicciones analíticas sobre el sistema analizado; tales predicciones incluyen la precesión del perihelio de Mercurio , la existencia de una región co-rotativa en el interior de agujeros negros giratorios y las órbitas de objetos alrededor de cuerpos masivos.

Véase también

• Cálculo de Ricci
• Albert Einstein

Referencias

• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
• JA Wheeler; I. ​​Ciufolini (1995). Gravitación e inercia . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-03323-5.
• RJA Lambourne (2010). Relatividad, gravitación y cosmología . The Open University , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13138-4.