Función aditiva

Función que se puede escribir como suma de factores primos.

En teoría de números , unLa función aditiva es una función aritmética f ( n ) de la variable entera positiva n tal que siempre que a y b sean coprimos , la función aplicada al producto ab es la suma de los valores de la función aplicada a a y b : ^[1]

$${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}$$

Completamente aditivo

Se dice que una función aditiva f ( n ) es completamente aditiva si se cumple para todos los números enteros positivos a y b , incluso cuando no son coprimos. Totalmente aditiva también se utiliza en este sentido por analogía con funciones totalmente multiplicativas . Si f es una función completamente aditiva entonces f (1) = 0. ${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$

Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no al revés.

Ejemplos

Ejemplos de funciones aritméticas que son completamente aditivas son:

• La restricción de la función logarítmica a ${\displaystyle \mathbb {N} .}$
• La multiplicidad de un factor primo p en n , que es el mayor exponente m para el cual p ^m divide a n .
• a ₀ ( n ) – la suma de los primos que dividen n contando la multiplicidad, a veces llamada sopfr( n ), la potencia de n o el logaritmo entero de n (secuencia A001414 en el OEIS ). Por ejemplo:

un ₀ (4) = 2 + 2 = 4

un ₀ (20) = un ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

un ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

un ₀ (144) = un ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = un ₀ (2 ⁴ ) + un ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54.032.858.972.279) = 1240658

a ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

a ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1240681

• La función Ω( n ), definida como el número total de factores primos de n , contando múltiples factores varias veces, a veces se denomina "gran función Omega" (secuencia A001222 en OEIS ). Por ejemplo;

Ω(1) = 0, ya que 1 no tiene factores primos

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54.032.858.972.279) = Ω(11 ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 4 ;

Ω(54.032.858.972.302) = Ω(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ² ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 7.

Ejemplos de funciones aritméticas que son aditivas pero no completamente aditivas son:

• ω( n ), definido como el número total de factores primos distintos de n (secuencia A001221 en la OEIS ). Por ejemplo:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54.032.858.972.279) = 3

ω(54.032.858.972.302) = 5

ω(20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ): la suma de los distintos números primos que dividen a n , a veces llamada sopf( n ) (secuencia A008472 en OEIS ). Por ejemplo:

un ₁ (1) = 0

un ₁ (4) = 2

un ₁ (20) = 2 + 5 = 7

un ₁ (27) = 3

un ₁ (144) = un ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = un ₁ (2 ⁴ ) + un ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

un ₁ (2000) = un ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = un ₁ (2 ⁴ ) + un ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

un ₁ (2001) = 55

un ₁ (2002) = 33

un ₁ (2003) = 2003

un ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

un ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

Funciones multiplicativas

A partir de cualquier función aditiva es posible crear una función multiplicativa relacionada que es una función con la propiedad de que siempre que y sean coprimos entonces: ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(n),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}$$

${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}$

Funciones sumatorias

Dada una función aditiva , definamos su función sumatoria por . El promedio de se da exactamente como ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$$

Las funciones sumatorias se pueden ampliar como donde ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}$$

El promedio de la función también se expresa mediante estas funciones como ${\displaystyle f^{2}}$

$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$$

Siempre existe una constante absoluta tal que para todos los números naturales , ${\displaystyle C_{f}>0}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

$${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$$

Dejar

$${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.}$$

Supongamos que es una función aditiva tal que como , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

$${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$$

Entonces ¿dónde está la función de distribución gaussiana? ${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$

$${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}$$

Ejemplos de este resultado relacionado con la función omega prima y los números de divisores primos de primos desplazados incluyen lo siguiente para fijo donde las relaciones se cumplen para : ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\gg 1}$

$${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$$

$${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}$$

Ver también

• Aditividad sigma
• Función omega principal
• función multiplicativa
• función aritmética

Referencias

1. Erdös, P. y M. Kac. Sobre la ley gaussiana de los errores en la teoría de funciones aditivas. Proc Natl Acad Sci Estados Unidos. 1939 abril; 25(4): 206–207. en línea

Otras lecturas

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij ( Anillo de funciones aritméticas ), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, págs. 97-108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec y Kowalski, Teoría analítica de números , AMS (2004).