transformada de radón

transformación integral

Transformación del radón. Asigna f en el dominio ( x , y ) a Rf en el dominio ( α , s ).  

En matemáticas , la transformada de radón es la transformada integral que toma una función f definida en el plano a una función Rf definida en el espacio (bidimensional) de líneas en el plano, cuyo valor en una línea particular es igual a la integral de línea. de la función sobre esa línea. La transformada fue introducida en 1917 por Johann Radon , ^[1] quien también proporcionó una fórmula para la transformada inversa. Radon también incluyó fórmulas para la transformada en tres dimensiones , en las que la integral se toma en planos (la integración en líneas se conoce como transformada de rayos X ). Posteriormente se generalizó a espacios euclidianos de dimensiones superiores y más ampliamente en el contexto de la geometría integral . El análogo complejo de la transformada de radón se conoce como transformada de Penrose . La transformada de radón es ampliamente aplicable a la tomografía , la creación de una imagen a partir de los datos de proyección asociados con escaneos transversales de un objeto.

Explicación

Transformada de radón de la función indicadora de dos cuadrados que se muestra en la imagen siguiente. Las regiones más claras indican valores de función más grandes. El negro indica cero.

La función original es igual a uno en la región blanca y cero en la región oscura.

Si una función representa una densidad desconocida, entonces la transformada de radón representa los datos de proyección obtenidos como resultado de una exploración tomográfica. Por lo tanto, la inversa de la transformada de radón se puede utilizar para reconstruir la densidad original a partir de los datos de proyección y, por lo tanto, constituye la base matemática para la reconstrucción tomográfica , también conocida como reconstrucción iterativa . ${\displaystyle f}$

Los datos de la transformada de radón a menudo se denominan sinograma porque la transformada de radón de una fuente puntual descentrada es una sinusoide. En consecuencia, la transformada de radón de varios objetos pequeños aparece gráficamente como una serie de ondas sinusoidales borrosas con diferentes amplitudes y fases.

La transformada de radón es útil en tomografía axial computarizada (TAC), escáneres de códigos de barras , microscopía electrónica de conjuntos macromoleculares como virus y complejos de proteínas , sismología de reflexión y en la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas .

Las proyecciones horizontales a través de la forma dan como resultado una señal acumulada (barra central). El sinograma de la derecha se genera recopilando muchas de estas proyecciones a medida que la forma gira. Aquí, el color se utiliza para resaltar qué objeto produce qué parte de la señal. Observe cómo las características rectas, cuando se alinean con la dirección de proyección, generan señales más fuertes.

Ejemplo de reconstrucción mediante la transformada de radón utilizando observaciones desde diferentes ángulos. La inversión aplicada a los datos de proyección luego reconstruye la imagen de corte. ^[2]

Definición

Sea una función que satisfaga las tres condiciones de regularidad: ^[3] ${\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}$

1. ${\displaystyle f({\textbf {x}})}$es continuo;
2. la integral doble , que se extiende sobre todo el plano, converge; ${\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$
3. para cualquier punto arbitrario del plano se cumple que ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

La transformada de radón , es una función definida en el espacio de líneas rectas por la integral de línea a lo largo de cada línea como: ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$$

${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\alpha ,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$

espacio euclidianolos hiperplanos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$

medida de la hipersuperficievector unitario ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$ ${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$

transformada de rayos X ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Relación con la transformada de Fourier

Calcular la transformada bidimensional de radón en términos de dos transformadas de Fourier.

La transformada de Radón está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier . Aquí definimos la transformada de Fourier univariada como:

$${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$

$${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$

teorema del corte de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$

$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$

${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

Por tanto, la transformada de Fourier bidimensional de la función inicial a lo largo de una línea en el ángulo de inclinación es la transformada de Fourier variable de la transformada de radón (adquirida en el ángulo ) de esa función. Este hecho se puede utilizar para calcular tanto la transformada de radón como su inversa. El resultado se puede generalizar en n dimensiones: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

Transformación dual

La transformada dual de radón es una especie de complemento de la transformada de radón. Comenzando con una función g en el espacio , la transformada dual de radón es la función en R ⁿ definida por: ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$

$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$

medida de probabilidad ${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Concretamente, para la transformada bidimensional de radón, la transformada dual viene dada por:

$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$

retroproyección ^[4]

Propiedad entrelazada

Denotemos al laplaciano definido por: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$$

Este es un operador diferencialoperadores entrelazados^[5] ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}$$

^[6][7][8]

Enfoques de reconstrucción

El proceso de reconstrucción produce la imagen (o función en la sección anterior) a partir de sus datos de proyección. La reconstrucción es un problema inverso . ${\displaystyle f}$

Fórmula de inversión del radón

En el caso bidimensional, la fórmula analítica más utilizada para recuperarse de su transformada de radón es la Fórmula de retroproyección filtrada o Fórmula de inversión de radón ^[9] : ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }$$

^[9] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$ ${\displaystyle h}$

mala postura

Intuitivamente, en la fórmula de retroproyección filtrada , por analogía con la diferenciación, para la cual , vemos que el filtro realiza una operación similar a una derivada. Entonces, en términos generales, el filtro hace que los objetos sean más singulares. Una declaración cuantitativa del mal planteamiento de la inversión del radón es la siguiente: ${\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)}$

$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$$

adjunto ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$

$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$$

^[9] ${\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$

Métodos de reconstrucción iterativos.

En comparación con el método de retroproyección filtrada , la reconstrucción iterativa cuesta mucho tiempo de cálculo, lo que limita su uso práctico. Sin embargo, debido a la mala posición de la inversión de radón, el método de retroproyección filtrada puede resultar inviable en presencia de discontinuidad o ruido. Los métodos de reconstrucción iterativos ( por ejemplo, varianza mínima asintótica dispersa iterativa ^[10] ) podrían proporcionar una reducción de artefactos metálicos, ruido y reducción de dosis para el resultado reconstruido que atraen mucho interés de investigación en todo el mundo.

Fórmulas de inversión

Se encuentran disponibles fórmulas de inversión explícitas y computacionalmente eficientes para la transformada de radón y su dual. La transformada de radón en dimensiones se puede invertir mediante la fórmula: ^[11] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$

operador pseudodiferencialtransformada de Fourier ${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$ ${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$

$${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$

^[12] ${\displaystyle R^{*}}$

$${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$

transformada de Hilberts ? ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}H_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$

de procesamiento de señales digitales ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle s}$

Explícitamente, la fórmula de inversión obtenida por este último método es: ^[4]

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$

$${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

Transformada de radón en geometría algebraica

En geometría algebraica , una transformada de radón (también conocida como transformada de Brylinski-Radón ) se construye de la siguiente manera.

Escribir

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

para el hiperplano universal , es decir, H consta de pares ( x , h ) donde x es un punto en el espacio proyectivo d -dimensional y h es un punto en el espacio proyectivo dual (en otras palabras, x es una línea que pasa por el origen en ( d +1) espacio afín dimensional , y h es un hiperplano en ese espacio) tal que x está contenido en h . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$

Entonces la transformada de Brylinksi-Radon es el functor entre categorías derivadas apropiadas de haces de étale

${\displaystyle \operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}$

El teorema principal sobre esta transformada es que esta transformada induce una equivalencia de las categorías de haces perversos en el espacio proyectivo y su espacio proyectivo dual, hasta haces constantes. ^[14]

Ver también

• Periodograma
• Filtro coincidente
• Deconvolución
• transformada de rayos X
• transformación funk
• La transformada de Hough , cuando se escribe en forma continua, es muy similar, si no equivalente, a la transformada de radón. ^[15]
• El teorema de Cauchy-Crofton es una fórmula estrechamente relacionada para calcular la longitud de curvas en el espacio.
• Transformada rápida de Fourier

Notas

1. Radón 1917.
2. Odložilík, Michal (31 de agosto de 2023). "Estudio de inversión tomográfica de desprendimiento con cámaras rápidas visibles en el tokamak COMPASS". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
3. Radón 1986.
4. Roerdink 2001.
5. Helgason 1984, Lema I.2.1.
6. Laxo, PD; Philips, RS (1964). "Teoría de la dispersión". Toro. América. Matemáticas. Soc . 70 (1): 130-142. doi : 10.1090/s0002-9904-1964-11051-x .
7. Bonneel, N.; Rabin, J.; Peyre, G.; Pfister, H. (2015). "Baricentros de medidas en rodajas y radón Wasserstein". Revista de visión y imágenes matemáticas . 51 (1): 22-25. doi :10.1007/s10851-014-0506-3. S2CID  1907942.
8. Llanta, D. (2018). "División dimensional de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas mediante la transformada de radón". SIAM J. Ciencias. Computación . 40 (6): A4184–A4207. arXiv : 1705.03609 . Código Bib : 2018SJSC...40A4184R. doi :10.1137/17m1135633. S2CID  115193737.
9. Candès 2016b.
10. Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian; Merabtine, Nadjim (2013). "Enfoques iterativos basados ​​en varianza mínima asintótica escasa para el procesamiento de matrices" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . IEEE. 61 (4): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Código Bib : 2013ITSP...61..933A. doi :10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
11. Helgason 1984, Teorema I.2.13.
12. Helgason 1984, Teorema I.2.16.
13. Nygren 1997.
14. Kiehl y Weissauer (2001, capítulo IV, Cor. 2.4)
15. van Ginkel, Hendricks y van Vliet 2004.

Referencias

• Kiehl, Reinhardt ; Weissauer, Rainer (2001), Conjeturas de Weil, gavillas perversas y transformada de Fourier de l'adic , Springer, doi :10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 3-540-41457-6, señor  1855066
• Radon, Johann (1917), "Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten", Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Informes sobre las actuaciones de la Real Academia Sajona de Ciencias en Leipzig, Sección de Matemáticas y Física] , Leipzig: Teubner (69): 262–277;
  Traducción: Radon, J. (diciembre de 1986), traducido por Parks, PC, "Sobre la determinación de funciones a partir de sus valores integrales a lo largo de ciertas variedades", IEEE Transactions on Medical Imaging , 5 (4): 170–176, doi :10.1109 /TMI.1986.4307775, PMID  18244009, S2CID  26553287.
• Roerdink, JBTM (2001) [1994], "Tomografía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3.
• Candès, Emmanuel (2 de febrero de 2016a). "Análisis de Fourier aplicado y elementos del procesamiento de señales moderno - Conferencia 9" (PDF) .
• Candès, Emmanuel (4 de febrero de 2016b). "Análisis de Fourier aplicado y elementos del procesamiento de señales moderno - Conferencia 10" (PDF) .
• Nygren, Anders J. (1997). "Retroproyección filtrada". Reconstrucción tomográfica de datos SPECT .
• van Ginkel, M.; Hendricks, CL Luengo; van Vliet, LJ (2004). "Una breve introducción a las transformaciones de Radón y Hough y cómo se relacionan entre sí" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 29 de julio de 2016.

Otras lecturas

• Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 de abril de 2016). Transformaciones integrales y sus aplicaciones. Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Deans, Stanley R. (1983), La transformada del radón y algunas de sus aplicaciones , Nueva York: John Wiley & Sons
• Helgason, Sigurdur (2008), Análisis geométrico en espacios simétricos , Estudios y monografías matemáticas, vol. 39 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , doi :10.1090/surv/039, ISBN 978-0-8218-4530-1, señor  2463854
• Herman, Gabor T. (2009), Fundamentos de la tomografía computarizada: reconstrucción de imágenes a partir de proyecciones (2ª ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Minlos, RA (2001) [1994], "Transformación de radón", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Natterer, Frank (junio de 2001), Las matemáticas de la tomografía computarizada , Clásicos de las matemáticas aplicadas, vol. 32, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, ISBN 0-89871-493-1
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank (2001), Métodos matemáticos en la reconstrucción de imágenes , Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada, ISBN 0-89871-472-9

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Transformación de radón". MundoMatemático .
• Proyección analítica (la transformada de radón) (vídeo). Parte del curso "Tomografía Computarizada y ASTRA Toolbox". Universidad de Amberes . 10 de septiembre de 2015.