Función de signo

Función matemática que devuelve -1, 0 o 1

función de signo ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$

En matemáticas , la función signo o función signum (del latín signum , "signo") es una función que tiene el valor −1 , +1 o 0 según si el signo de un número real dado es positivo o negativo, o el el número dado es en sí mismo cero. En notación matemática, la función de signo suele representarse como o . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

Definición

La función signum de un número real es una función por partes que se define de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

La ley de la tricotomía establece que todo número real debe ser positivo, negativo o cero. La función signum denota en qué categoría única cae un número al asignarlo a uno de los valores −1 , +1 o 0, que luego se puede usar en expresiones matemáticas o cálculos adicionales.

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\operatorname {sgn}(2)&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(\pi )&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(-8)&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(-{\frac {1}{2}})&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(0)&=&0\,.\end{array}}}$$

Propiedades básicas

Cualquier número real se puede expresar como el producto de su valor absoluto por su función de signo: $${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x\,.}$$

De ello se deduce que siempre que no sea igual a 0 tenemos ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.}$$

De manera similar, para cualquier número real , también podemos estar seguros de que: y así ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(xy)=(\operatorname {sgn} x)(\operatorname {sgn} y)\,,}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn} x)^{n}\,.}$$

Algunas identidades algebraicas

El signum también se puede escribir usando la notación entre corchetes de Iverson : $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}$$

El signo también se puede escribir usando las funciones piso y de valor absoluto: si se acepta que es igual a 1, el signo también se puede escribir para todos los números reales como $${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.}$$ ${\displaystyle 0^{0}}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.}$$

Propiedades en el análisis matemático.

Discontinuidad en cero

La función de signo no es continua en . ${\displaystyle x=0}$

Aunque la función de signo toma el valor −1 cuando es negativa, el punto anillado (0, −1) en el gráfico de indica que este no es el caso cuando . En cambio, el valor salta abruptamente al punto sólido en (0, 0) donde . Luego hay un salto similar a cuando es positivo. Cualquiera de los saltos demuestra visualmente que la función de signo es discontinua en cero, aunque es continua en cualquier punto donde sea positiva o negativa. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x}$

Estas observaciones son confirmadas por cualquiera de las diversas definiciones formales equivalentes de continuidad en el análisis matemático . Una función , como es continua en un punto si el valor puede aproximarse arbitrariamente mediante la secuencia de valores donde componen cualquier secuencia infinita que se acerque arbitrariamente a medida que se vuelva suficientemente grande. En la notación de límites matemáticos , la continuidad de at requiere que, como para cualquier secuencia para la cual se pueda leer que el símbolo de la flecha significa que se aproxima o tiende a , y se aplica a la secuencia en su conjunto. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x),}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a_{n})\to f(a)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{n}\to a.}$

Este criterio falla para la función de signo en . Por ejemplo, podemos elegir ser la secuencia que tiende hacia cero a medida que aumenta hacia el infinito. En este caso, según sea necesario, pero y para cada uno para que . Este contraejemplo confirma más formalmente la discontinuidad de en cero que es visible en el gráfico. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\to a}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})=+1}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$

A pesar de que la función de signo tiene una forma muy simple, el cambio de paso en cero causa dificultades para las técnicas de cálculo tradicionales , que son bastante estrictas en sus requisitos. La continuidad es una limitación frecuente. Una solución puede ser aproximar la función de signo mediante una función continua suave; otros podrían implicar enfoques menos estrictos que se basen en métodos clásicos para dar cabida a clases de funciones más amplias.

Aproximaciones y límites suaves

La función signum coincide con los límites y además, $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.}$$Aquí está la tangente hiperbólica y el superíndice de -1, encima, es la notación abreviada de la función inversa de la función trigonométrica , tangente. ${\displaystyle \tanh(x)}$

Porque , una aproximación suave de la función de signo es Otra aproximación es la que se vuelve más nítida a medida que ; tenga en cuenta que esta es la derivada de . Esto se inspira en el hecho de que lo anterior es exactamente igual para todos los valores distintos de cero si , y tiene la ventaja de una generalización simple a análogos de dimensiones superiores de la función de signo (por ejemplo, las derivadas parciales de ). ${\displaystyle k>1}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.}$$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Ver Función escalonada de Heaviside § Aproximaciones analíticas .

Diferenciación e integración

La función signum es diferenciable en todas partes excepto cuando su derivada es cero cuando es distinta de cero: ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Esto se desprende de la diferenciabilidad de cualquier función constante , para la cual la derivada es siempre cero en su dominio de definición. El signum actúa como una función constante cuando está restringido a la región abierta negativa donde es igual a -1 . De manera similar, puede considerarse como una función constante dentro de la región abierta positiva donde la constante correspondiente es +1. Aunque se trata de dos funciones constantes diferentes, su derivada es igual a cero en cada caso. ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x<0,}$ ${\displaystyle x>0,}$

No es posible definir una derivada clásica en , porque allí hay una discontinuidad. Sin embargo, la función signum tiene una integral definida entre cualquier par de valores finitos a y b , incluso cuando el intervalo de integración incluye cero. La integral resultante para a y b es entonces igual a la diferencia entre sus valores absolutos: ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.}$$

Por el contrario, la función signum es la derivada de la función de valor absoluto, excepto cuando hay un cambio abrupto en el gradiente antes y después de cero: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Podemos entender esto como antes considerando la definición del valor absoluto en las regiones separadas y. Por ejemplo, la función de valor absoluto es idéntica a en la región cuya derivada es el valor constante +1 , que es igual al valor de allí. ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x<0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$

Debido a que el valor absoluto es una función convexa , hay al menos una subderivada en cada punto, incluido el origen. En todas partes excepto en cero, el subdiferencial resultante consta de un solo valor, igual al valor de la función de signo. Por el contrario, hay muchas subderivadas en cero, y sólo una de ellas toma el valor . Aquí se produce un valor subderivado 0 porque la función de valor absoluto está en un mínimo. La familia completa de subderivadas válidas en cero constituye el intervalo subdiferencial , que podría considerarse informalmente como "rellenar" la gráfica de la función de signo con una línea vertical que pasa por el origen, haciéndola continua como una curva bidimensional. ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

En teoría de la integración, la función signum es una derivada débil de la función de valor absoluto. Las derivadas débiles son equivalentes si son iguales en casi todas partes , lo que las hace inmunes a anomalías aisladas en un solo punto. Esto incluye el cambio de gradiente de la función de valor absoluto en cero, lo que prohíbe que exista una derivada clásica.

Aunque no es diferenciable en el sentido ordinario, bajo la noción generalizada de diferenciación en la teoría de la distribución , la derivada de la función signum es dos veces la función delta de Dirac . Esto se puede demostrar usando la identidad ^[2] donde es la función escalón de Heaviside usando el formalismo estándar . Usando esta identidad, es fácil derivar la derivada distribucional: ^[3] ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de la función signum es ^[4] donde significa tomar el valor principal de Cauchy . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},}$$ ${\displaystyle PV}$

Generalizaciones

signo complejo

La función signum se puede generalizar a números complejos como: para cualquier número complejo excepto . El signo de un número complejo dado es el punto del círculo unitario del plano complejo más cercano a . Entonces, para , ¿dónde está la función de argumento complejo ? $${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\neq 0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$ ${\displaystyle \arg }$

Por razones de simetría, y para mantener una generalización adecuada de la función signum en los reales, también en el dominio complejo que uno suele definir, por : ${\displaystyle z=0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

Otra generalización de la función de signo para expresiones reales y complejas es , ^[5] que se define como: donde está la parte real de y es la parte imaginaria de . ${\displaystyle {\text{csgn}}}$ $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Entonces tenemos (para ): ${\displaystyle z\neq 0}$ $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

Descomposición polar de matrices.

Gracias al teorema de descomposición polar , una matriz ( y ) se puede descomponer como un producto donde es una matriz unitaria y es una matriz definida positiva autoadjunta, o hermitiana, ambas en . Si es invertible, entonces dicha descomposición es única y desempeña el papel de signum. Una construcción dual viene dada por la descomposición donde es unitaria, pero generalmente diferente a . Esto lleva a que cada matriz invertible tenga un signo izquierdo y un signo derecho únicos . ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

En el caso especial donde y la matriz (invertible) , que se identifica con el número complejo (distinto de cero) , entonces las matrices signum satisfacen y se identifican con el signum complejo de ,. En este sentido, la descomposición polar generaliza a matrices la descomposición signo-módulo de números complejos. ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$

Signum como función generalizada

En valores reales de , es posible definir una función generalizada –versión de la función signum, tal que en todas partes, incluido el punto , a diferencia de , para el cual . Este signum generalizado permite la construcción del álgebra de funciones generalizadas , pero el precio de tal generalización es la pérdida de conmutatividad . En particular, los anticonmutadores signum generalizados con la función delta de Dirac ^[6] además no pueden evaluarse en ; y el nombre especial, es necesario para distinguirlo de la función . ( no está definido, pero .) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$ $${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle \varepsilon (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$

Ver también

• Valor absoluto
• Función de paso pesado
• Numero negativo
• función rectangular
• Función sigmoidea ( sigmoidea dura )
• Función escalonada ( función constante por partes )
• Comparación de tres vías
• No hay paso
• Descomposición polar

Notas

1. "Función Signum - Maeckes". www.maeckes.nl .
2. Weisstein, Eric W. "Firmar". MundoMatemático .
3. Weisstein, Eric W. "Función de paso Heaviside". MundoMatemático .
4. Madrigueras, BL; Colwell, DJ (1990). "La transformada de Fourier de la función escalón unitario". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 21 (4): 629–635. doi :10.1080/0020739900210418.
5. Documentación de Arce V. 21 de mayo de 1998
6. Yu.M.Shirokov (1979). "Álgebra de funciones generalizadas unidimensionales". Física Teórica y Matemática . 39 (3): 471–477. doi :10.1007/BF01017992. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2012.